Sinteză: conice la Bacalaureat M1: pe scurt

Orice problemă de conice începe cu normalizarea ecuației (coeficientul lui $x^2$ egal cu $1$) și cu decizia asupra tipului, luată în două întrebări: câte pătrate apar și ce semn stă între ele. Abia apoi se citesc elementele.

La elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$ și $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$; la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$, $e>1$, iar asimptotele au pantele date de raportul dintre semiaxa de sub termenul pozitiv și cealaltă; la parabolă nu există excentricitate, dar există directoarea $x=-\frac{p}{2}$, iar focarul stă la $\frac{p}{2}$ de vârf. Razele focale — $MF=a-ex$ la elipsă, $MF=|ex-a|$ la hiperbolă, $MF=x+\frac{p}{2}$ la parabolă — scurtează aproape orice subpunct în care apare o distanță la focar.

Tangenta într-un punct se scrie prin dedublare, dar numai după ce s-a verificat că punctul aparține conicei, și se confirmă cu derivata funcției-ramură. Intersecțiile se rezolvă ca sisteme: substituție, ecuație de gradul al doilea, iar semnul lui $\Delta$ decide — secantă, tangentă sau exterioară. Fiecare soluție găsită se substituie în toate ecuațiile din enunț, iar la Bacalaureat M1 fiecare pas se redactează separat, ca să poată fi punctat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cercul de ecuație $2x^2+2y^2+12x-8y-46=0$ are raza:

   • a) $6$
   • b) $7\sqrt{2}$
   • c) $\sqrt{23}$
   • d) $36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $6$

   Se normalizează întâi: împărțind prin $2$ se obține $x^2+y^2+6x-4y-23=0$, deci $m=3$, $n=-2$, $p=-23$, centrul $(-3,2)$ și $r^2=m^2+n^2-p=9+4+23=36$, adică $r=6$. Citind coeficienții fără normalizare se obține $r=7\sqrt{2}$, iar $36$ este $r^2$.

2. Asimptotele hiperbolei $\frac{y^2}{100}-\frac{x^2}{81}=1$ au pantele:

   • a) $\pm \frac{81}{100}$
   • b) $\pm \frac{9}{10}$
   • c) $\pm \frac{10}{9}$
   • d) $\pm \frac{100}{81}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\pm \frac{10}{9}$

   Axa transversă este $Oy$, deci scurtătura „$1\to 0$” dă $\frac{y^2}{100}=\frac{x^2}{81}$, adică $y=\pm \frac{10}{9}x$. Panta este raportul dintre semiaxa de sub termenul pozitiv ($10$) și cealaltă ($9$); scrierea automată „$\frac{b}{a}$” dă răspunsul răsturnat $\pm \frac{9}{10}$.

3. Excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{676}+\frac{y^2}{100}=1$ este:

   • a) $\frac{\sqrt{194}}{13}$
   • b) $\frac{12}{13}$
   • c) $\frac{13}{12}$
   • d) $\frac{5}{13}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{12}{13}$

   Din $a=26$ și $b=10$ rezultă $c=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$, deci $e=\frac{c}{a}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}<1$. Varianta $\frac{\sqrt{194}}{13}$ vine din formula hiperbolei, $c=\sqrt{a^2+b^2}$; $\frac{5}{13}$ este raportul $\frac{b}{a}$, iar $\frac{13}{12}$ răstoarnă excentricitatea: la elipsă ea este mereu subunitară.