Unghiul a două drepte: pe scurt

Panta este, prin definiție, tangenta unghiului $\alpha$ pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$. Dacă fiecare dreaptă își spune înclinarea față de aceeași axă, atunci unghiul dintre ele este diferența înclinărilor — iar tangenta unei diferențe se calculează cu o formulă din clasa a IX-a. De aici se naște toată lecția.

Două drepte concurente formează patru unghiuri, două câte două egale, iar cele alăturate suplementare. Prin convenție, unghiul a două drepte este cel ascuțit (sau drept): $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$. Pentru drepte paralele sau confundate se ia $\theta =0^{\circ }$. Convenția face din $\theta$ o măsură a diferenței de direcție, cu valori de la $0^{\circ }$ la $90^{\circ }$.

Formula este $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|$, valabilă pentru drepte neverticale, cu $1+m_1{m}_2\ne 0$. Modulul aduce la aceeași valoare tangentele celor două unghiuri suplementare și face rezultatul independent de ordinea dreptelor. Primul pas al oricărei rezolvări este verificarea numitorului: anularea lui înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică drepte perpendiculare, deci $\theta =90^{\circ }$ fără alt calcul.

Dacă una dintre drepte este verticală, formula nici nu se poate scrie — verticala nu are pantă. Se folosește atunci $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$ pentru $m\ne 0$, iar pentru $m=0$ unghiul este drept. Când valoarea obținută nu este remarcabilă, răspunsul se scrie cu $\mathrm{arctg}$, nu se rotunjește.

Exerciții din această mini-lecție

1. Tangenta unghiului dintre dreptele $d_1:y=\frac{1}{3}x+2$ și $d_2:y=-2x+1$ este:

   • a) $\frac{7}{3}$
   • b) $7$
   • c) $-7$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $7$

   Numitorul este $1+\frac{1}{3}\cdot (-2)=\frac{1}{3}\ne 0$, deci formula se aplică: $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-2-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}\right|=\left|-\frac{7}{3}\cdot 3\right|=7$. Varianta $\frac{7}{3}$ este doar numărătorul, iar $-7$ apare dacă se uită modulul — o tangentă negativă ar însemna un unghi obtuz, exclus prin convenție.

2. Pentru dreptele $d_1:3x-y+2=0$ și $d_2:x+3y-5=0$, unghiul $\theta$ dintre ele este:

   • a) $0^{\circ }$, pentru că pantele sunt egale
   • b) $45^{\circ }$, pentru că $\mathrm{tg}\theta =1$
   • c) $\mathrm{arctg}\frac{10}{3}$, un unghi nestandard
   • d) $90^{\circ }$, fiindcă $1+m_1{m}_2=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $90^{\circ }$, fiindcă $1+m_1{m}_2=0$

   Pantele sunt $m_1=3$ și $m_2=-\frac{1}{3}$, iar $1+m_1{m}_2=1-1=0$: numitorul se anulează, deci formula nu se aplică. Anularea lui este răspunsul — înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică drepte perpendiculare. Control pe coeficienți: $3\cdot 1+(-1)\cdot 3=0$ ✓.

3. Tangenta unghiului dintre dreapta $x=5$ și dreapta $4x-3y+2=0$ este:

   • a) $\frac{4}{3}$
   • b) $1$
   • c) $\frac{3}{4}$
   • d) unghiul nu se poate calcula, pentru că $x=5$ nu are pantă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{3}{4}$

   Dreapta $x=5$ este verticală, deci se folosește $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$. Cum a doua dreaptă are panta $\frac{4}{3}$, rezultă $\mathrm{tg}\theta =\frac{3}{4}$. Reține răsturnarea: față de o verticală, o dreaptă abruptă face un unghi mic, exact pe dos față de cum se raportează la axa $Ox$.