Exerciții rezolvate — Funcții derivabile (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Funcții derivabile", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+4x$, este:

   • a) strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$
   • b) constantă pe $\mathbb{R}$
   • c) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • d) crescătoare pe $(0,+\infty )$ și descrescătoare pe $(-\infty ,0)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$

   $f^{\prime }(x)=5x^4+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ este interval; prin Consecința 2, funcția e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Faptul că $x^5$ ia valori negative la stânga originii nu schimbă nimic: contează semnul derivatei, nu al funcției.

   Lecția: Consecințele teoremei lui Lagrange →

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$. Valoarea limitei $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ este:

   • a) $3$
   • b) $4$
   • c) $5$
   • d) $6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $5$

   Întâi valoarea: $f(2)=4+2=6$. Raportul devine $\frac{x^2+x-6}{x-2}=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3$, deci limita este $5$. Varianta $6$ este chiar $f(2)$, nu derivata; varianta $4$ apare dacă pierzi termenul $x$ și derivezi doar $x^2$.

   Lecția: Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct →

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x<2\\ x^2,& x\ge 2\end{array}$. Atunci:

   • a) $f$ nu este continuă în $2$, deci nu este derivabilă în $2$
   • b) $f$ este continuă în $2$, dar nu este derivabilă în $2$
   • c) $f$ este derivabilă în $2$, cu $f^{\prime }(2)=4$
   • d) $f$ nu este continuă în $2$, dar este derivabilă în $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $f$ nu este continuă în $2$, deci nu este derivabilă în $2$

   $f(2)=4$, iar limita la stânga este $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+3)=5\ne 4$: funcția nu este continuă în $2$. Prin contrapoziția teoremei, ea nu poate fi derivabilă acolo, deci calculul derivatelor laterale nici nu mai este necesar.

   Lecția: Legătura dintre derivabilitate și continuitate →

4. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin (5x)$, este:

   • a) $\cos (5x)$
   • b) $5\sin (5x)$
   • c) $-5\cos (5x)$
   • d) $5\cos (5x)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $5\cos (5x)$

   Interiorul este $u(x)=5x$, cu $u^{\prime }(x)=5$, iar $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$, deci $f^{\prime }(x)=5\cos (5x)$. Varianta $\cos (5x)$ este exact greșeala numărul unu de la funcțiile compuse: factorul $u^{\prime }$ lipsește. Semnul minus apare la derivata cosinusului, nu a sinusului.

   Lecția: Derivarea funcțiilor compuse →

5. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3+5x$, derivata de ordinul al doilea este:

   • a) $4x^3-6x^2+5$
   • b) $12x^2-12x$
   • c) $12x^2-12x+5$
   • d) $12x^3-12x^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $12x^2-12x$

   Derivăm de două ori, termen cu termen: $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+5$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x$. Termenul $5x$ dă $5$ la prima derivare și dispare la a doua. Prima variantă este chiar $f^{\prime }$, nu $f^{\prime \prime }$.

   Lecția: Derivata de ordinul al doilea →

6. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x,& x\le 2\\ 5x-4,& x>2\end{array}$. Atunci:

   • a) $f$ nu este derivabilă în $2$, pentru că ramurile nu se lipesc
   • b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=5$
   • c) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=6$
   • d) $f_s^{\prime }(2)=4$ și $f_d^{\prime }(2)=5$, deci $f$ nu este derivabilă în $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=5$

   $f(2)=6$, iar a doua ramură dă tot $10-4=6$: ramurile se lipesc. Apoi $f_s^{\prime }(2)=\lim \frac{x^2+x-6}{x-2}=\lim (x+3)=5$ și $f_d^{\prime }(2)=\lim \frac{5x-10}{x-2}=5$. Ambele finite și egale, deci $f^{\prime }(2)=5$. Valoarea $6$ este $f(2)$, nu derivata.

   Lecția: Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct →

7. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$, este:

   • a) $x\cdot 3^{x-1}$
   • b) $3^x$
   • c) $3^x\ln 3$
   • d) $\frac{3^x}{\ln 3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $3^x\ln 3$

   Se aplică rândul $a^x$ al tabelului: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, deci $f^{\prime }(x)=3^x\ln 3$ pe $\mathbb{R}$. Varianta $x\cdot 3^{x-1}$ vine din confuzia cu puterea $x^n$ (acolo variabila e la bază), iar $3^x$ ar fi corect numai pentru baza $e$.

   Lecția: Derivatele funcțiilor uzuale →

8. Nedeterminarea $0\cdot \infty$ se rezolvă:

   • a) aplicând direct regula lui L'Hôpital produsului
   • b) prin logaritmare
   • c) transformând produsul în fracție, $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ sau $\frac{g}{1/f}$
   • d) prin amplificare cu conjugata
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) transformând produsul în fracție, $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ sau $\frac{g}{1/f}$

   Enunțul regulii vorbește despre un raport, deci produsul trebuie mai întâi transformat în fracție. Logaritmarea este rețeta cazurilor cu exponent, iar conjugata, cea a diferențelor cu radicali. Alegi varianta de răsturnare care duce la derivate mai simple.

   Lecția: Nedeterminările reduse la L'Hopital: zero ori infinit, infinit minus infinit, unu la infinit →

9. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x-4|}$, punctul $x_0=4$ este:

   • a) punct unghiular
   • b) punct de întoarcere
   • c) punct în care graficul are tangentă verticală, dar nu se întoarce
   • d) punct în care $f$ este derivabilă, cu $f^{\prime }(4)=0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) punct de întoarcere

   $f(4)=0$ și funcția este continuă. Pentru $x>4$, $\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x-4}}\to +\infty$; pentru $x<4$, $\frac{\sqrt{4-x}}{x-4}=-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\to -\infty$. Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci punctul este de întoarcere.

   Lecția: Puncte unghiulare și puncte de întoarcere →

10. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-1)e^x$, este:

    • a) $e^x\left(x^2+2x-1\right)$
    • b) $2x{e}^x$
    • c) $e^x\left(x^2-2x-1\right)$
    • d) $e^x\left(x^2-1\right)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $e^x\left(x^2+2x-1\right)$

    Regula produsului dă $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+(x^2-1)e^x=e^x\left(x^2+2x-1\right)$. Varianta $2x{e}^x$ este greșeala $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$; varianta $e^x(x^2-1)$ păstrează doar al doilea termen.

    Lecția: Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât →

11. Valoarea limitei $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^3-27}{x^2-9}$ este:

    • a) $\frac{9}{2}$
    • b) $\frac{3}{2}$
    • c) $9$
    • d) $0$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{9}{2}$

    Ambele funcții tind la $0$ în $3$, sunt polinomiale, iar $g^{\prime }(x)=2x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $3$: caz $\frac{0}{0}$. Aplicând regula, $\lim \frac{3x^2}{2x}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$. Control algebric: $\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}\to \frac{27}{6}$.

    Lecția: Regulile lui L'Hopital pentru zero supra zero și infinit supra infinit →

12. Ecuația $x^3-12x+20=0$ are:

    • a) trei soluții reale
    • b) două soluții reale
    • c) nicio soluție reală
    • d) exact o soluție reală
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) exact o soluție reală

    Fie $f(x)=x^3-12x+20$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, deci pragurile sunt $-2$ și $2$; $f(-2)=36$ și $f(2)=4$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$. Șirul semnelor este $-,+,+,+$: o singură schimbare, deci exact o soluție, situată în $(-\infty ,-2)$.

    Lecția: Șirul lui Rolle →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.