Exerciții rezolvate — Inele, corpuri și polinoame (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Inele, corpuri și polinoame", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Valoarea lui $\mathrm{cmmdc}\left(X^3-4X,X^2-4X+4\right)$ este:

   • a) $(X-2{)}^2$
   • b) $X-2$
   • c) $X(X-2)$
   • d) $1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $X-2$

   Descompunem: $X^3-4X=X(X-2)(X+2)$, iar $X^2-4X+4=(X-2{)}^2$. Singurul factor comun este $X-2$, luat la puterea cea mai mică, deci $\mathrm{cmmdc}=X-2$, deja monic. Varianta $(X-2{)}^2$ ar cere ca $X^3-4X$ să aibă pe $2$ ca rădăcină dublă, ceea ce nu se întâmplă; varianta $X(X-2)$ adaugă un factor care nu divide al doilea polinom.

   Lecția: Divizibilitatea polinoamelor: cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid →

2. Care dintre următoarele structuri nu este corp?

   • a) $(\mathbb{Q},+,\cdot )$
   • b) $({\mathbb{Z}}_{13},+,\cdot )$
   • c) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$
   • d) $(\mathbb{C},+,\cdot )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$

   Inelul $\mathbb{Z}$ este integru, dar nu este corp: singurele elemente inversabile sunt $-1$ și $1$, deci $3$ nu are invers întreg, iar ecuația $3x=5$ nu are soluție. $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{C}$ sunt corpuri clasice, iar ${\mathbb{Z}}_{13}$ este corp pentru că $13$ este număr prim.

   Lecția: Corpul: definiție și exemple; corpul claselor de resturi modulo un număr prim →

3. Grupul unităților inelului $\left({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$ este:

   • a) $\{I_3\}$
   • b) $\left\{A\mid \det A=1\right\}$
   • c) $G{L}_3(\mathbb{R})$
   • d) ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\setminus \{O_3\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $G{L}_3(\mathbb{R})$

   O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci $U({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}))=\{A\mid \det A\ne 0\}=G{L}_3(\mathbb{R})$, grupul liniar general. Mulțimea matricelor cu determinantul $1$ este doar un subgrup al lui, iar egalitatea cu ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\setminus \{O_3\}$ e falsă: există matrice nenule cu determinantul nul, deci neinversabile.

   Lecția: Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților →

4. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, restul împărțirii polinomului $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{4}X+\hat{6}$ la $X+\hat{3}$ este:

   • a) $\hat{0}$
   • b) $\hat{3}$
   • c) $\hat{1}$
   • d) $\hat{6}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\hat{6}$

   Rescriem întâi împărțitorul sub forma $X-a$: în ${\mathbb{Z}}_7$ avem $X+\hat{3}=X-\hat{4}$, deci se evaluează în $\hat{4}$. Calculăm reducând la fiecare pas: ${\hat{4}}^3=\widehat{64}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot {\hat{4}}^2=\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\hat{2}$, plus $\hat{6}$. Suma este $\hat{1}+\hat{4}+\hat{2}+\hat{6}=\widehat{13}=\hat{6}$. Varianta $\hat{0}$ este exact rezultatul evaluării greșite în $\hat{3}$.

   Lecția: Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout →

5. În inelul $M$ al matricelor $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, produsul $A(3,2)\cdot A(1,-4)$ este:

   • a) $A(-5,-10)$
   • b) $A(11,-10)$
   • c) $A(11,10)$
   • d) $A(3,-8)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A(11,-10)$

   Trecem prin numere complexe: $(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i$, deci produsul este $A(11,-10)$. Varianta $A(-5,-10)$ apare când se scrie $i^2=1$ în loc de $i^2=-1$; $A(11,10)$ vine din greșirea semnului din colțul de jos-stânga; $A(3,-8)$ este înmulțirea „pe componente”, care nu are nicio legătură cu produsul matricelor.

   Lecția: Inele de matrice cu structură remarcabilă; izomorfisme cu numere complexe →

6. Care dintre următoarele structuri nu este inel?

   • a) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$
   • b) $(\mathbb{N},+,\cdot )$
   • c) $({\mathbb{Z}}_9,+,\cdot )$
   • d) $\left({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(\mathbb{N},+,\cdot )$

   În $\mathbb{N}$ cade axioma A4: numărul $2$ nu are opus, pentru că nu există niciun număr natural $y$ cu $2+y=0$; deci $(\mathbb{N},+)$ nu e nici măcar grup. Celelalte trei sunt inele — primul și al treilea comutative, iar inelul matricelor de ordin $2$ necomutativ, ceea ce nu-l împiedică să fie inel.

   Lecția: Inelul: definiție, axiome și exemple →

7. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, produsul $(\hat{5}X+\hat{4})(\hat{3}X+\hat{6})$ este:

   • a) $X^2+\hat{2}X+\hat{3}$
   • b) $X^2+\hat{4}$
   • c) $X^2+\hat{3}$
   • d) $\widehat{15}{X}^2+\widehat{42}X+\widehat{24}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $X^2+\hat{3}$

   Înmulțim și reducem fiecare coeficient modulo $7$: coeficientul lui $X^2$ este $5\cdot 3=15\equiv 1$, coeficientul lui $X$ este $5\cdot 6+4\cdot 3=42\equiv 0$, iar termenul liber este $4\cdot 6=24\equiv 3$. Rezultă $X^2+\hat{3}$. Varianta a apare când se adună un singur produs încrucișat, varianta b dintr-o reducere greșită a lui $24$, iar varianta d lasă coeficienții nereduși — clasele trebuie scrise întotdeauna între $\hat{0}$ și $\hat{6}$.

   Lecția: Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ →

8. Funcția $g:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $g(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, nu este morfism de inele deoarece:

   • a) nu respectă adunarea
   • b) nu respectă înmulțirea
   • c) nu duce elementul unitate în elementul unitate
   • d) nu este injectivă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) nu duce elementul unitate în elementul unitate

   Se verifică direct că $g(x+y)=g(x)+g(y)$ și $g(xy)=g(x)g(y)$, deci ambele operații sunt respectate. Cade însă a treia condiție: $g(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\ne I_2$. Consecința se vede imediat — $1$ e inversabil în $\mathbb{R}$, dar imaginea lui are determinantul nul, deci nu e inversabilă. Funcția $g$ este de fapt injectivă, deci enunțul care neagă injectivitatea este fals.

   Lecția: Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri; transportul de structură →

9. Restul împărțirii polinomului $f=X^4+3$ la $X^2-4$ este:

   • a) $19$
   • b) $19X$
   • c) $16$
   • d) $4X+3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $19$

   Restul are gradul cel mult $1$, deci $r=cX+d$. Din $f=\left(X^2-4\right)q+r$ obținem $r(2)=f(2)=19$ și $r(-2)=f(-2)=19$, adică $2c+d=19$ și $-2c+d=19$. Scăzând, $c=0$, deci $d=19$ și restul este constanta $19$. Varianta $16$ apare când se uită termenul liber al lui $f$.

   Lecția: Polinoame în probleme de Bacalaureat M1: parametri, resturi, divizibilitate, rădăcini comune →

10. Polinomul $f=X^4+4$ nu are nicio rădăcină rațională. Rezultă că:

    • a) $f$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$
    • b) $f$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$
    • c) $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că $f=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$
    • d) $f$ are o rădăcină reală
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că $f=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$

    Este capcana gradului al patrulea: criteriul rădăcinii se aplică numai la gradele $2$ și $3$. Aici $\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)=X^4+4$, verificabil prin înmulțire directă, deci $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, deși nu are rădăcini raționale. Cei doi factori au $\Delta =-4<0$, deci sunt ireductibili chiar și peste $\mathbb{R}$, iar $f$ nu are rădăcini reale.

    Lecția: Polinoame ireductibile; descompunerea în factori ireductibili peste diferite corpuri →

11. Rădăcinile polinomului $X^2+\hat{3}X+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ sunt:

    • a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$
    • b) $\hat{1}$ și $\hat{2}$
    • c) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
    • d) nu are rădăcini
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$

    Verificăm toate cele cinci clase: $f(\hat{0})=\hat{2}$, $f(\hat{1})=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\hat{4}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{2}$, $f(\hat{3})=\hat{4}+\hat{4}+\hat{2}=\hat{0}$, $f(\hat{4})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{0}$. Rădăcinile sunt $\hat{3}$ și $\hat{4}$, coerent cu descompunerea $X^2+\hat{3}X+\hat{2}=(X+\hat{1})(X+\hat{2})$, fiindcă $-\hat{1}=\hat{4}$ și $-\hat{2}=\hat{3}$. Varianta b uită tocmai trecerea la opuse.

    Lecția: Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi →

12. Ordinul de multiplicitate al rădăcinii $1$ pentru polinomul $f=X^5-5X+4$ este:

    • a) $1$
    • b) $3$
    • c) $5$
    • d) $2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $2$

    Calculăm derivatele succesive: $f(1)=1-5+4=0$; $f^{\prime }=5X^4-5$, deci $f^{\prime }(1)=0$; $f^{\prime \prime }=20X^3$, deci $f^{\prime \prime }(1)=20\ne 0$. Primul indice cu derivata nenulă în $1$ este $k=2$, deci ordinul este exact $2$. Criteriul derivatelor succesive este valabil aici, fiindcă lucrăm peste $\mathbb{R}$.

    Lecția: Rădăcini multiple și derivata formală a unui polinom →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.