Exerciții rezolvate — Integrala definită (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Integrala definită", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x\left(t^2-9\right)dt$. Atunci $F$ este:

   • a) strict descrescătoare pe $[-3,3]$
   • b) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • c) strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$
   • d) constantă pe $[-3,3]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $[-3,3]$

   Avem $F{}^{\prime }(x)=x^2-9$, negativă pe $(-3,3)$, deci $F$ este strict descrescătoare pe $[-3,3]$ și strict crescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și pe $[3,+\infty )$. Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia lui $f$.

   Lecția: Aplicații ale funcției integrale: limite, monotonie, extreme →

2. Care dintre următoarele funcții definite pe $[0,1]$ nu este integrabilă?

   • a) $f(x)=[x]$
   • b) $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$
   • c) $f(x)=x^2+1$
   • d) $f(x)=3$ pentru $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right)$ și $f(x)=5$ pentru $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=0$

   Funcția de la b) este nemărginită în vecinătatea lui $0$, iar criteriul negativ al mărginirii spune că o funcție nemărginită nu este integrabilă. Celelalte sunt mărginite: a) și d) sunt monotone (sau mărginite cu o singură discontinuitate), iar c) este continuă.

   Lecția: Clase de funcții integrabile: funcții continue, funcții monotone; mărginirea →

3. Norma diviziunii $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},2,\frac{7}{2},5\right)$ a intervalului $[0,5]$ este:

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{5}{4}$
   • c) $5$
   • d) $\frac{3}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\frac{3}{2}$

   Lungimile intervalelor parțiale sunt $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{3}{2}$ și $\frac{3}{2}$, iar norma este cea mai mare dintre ele, adică $\frac{3}{2}$. Varianta $\frac{5}{4}$ este media lungimilor, varianta $5$ este suma lor, iar $\frac{1}{2}$ este cea mai mică lungime — niciuna nu este norma.

   Lecția: Diviziuni ale unui interval; norma unei diviziuni; puncte intermediare →

4. Formula Leibniz–Newton se aplică funcției $f$ pe $[a,b]$ dacă:

   • a) $f$ este monotonă pe $[a,b]$
   • b) $f$ este derivabilă pe $[a,b]$
   • c) $f$ este mărginită pe $[a,b]$
   • d) $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo o primitivă $F$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo o primitivă $F$

   Acestea sunt exact cele două ipoteze din enunț. Ele sunt îndeplinite automat de orice funcție continuă pe $[a,b]$, dar nu de orice funcție mărginită sau monotonă: funcția semn este integrabilă și nu are primitive, deci formula nu i se aplică.

   Lecția: Formula Leibniz–Newton →

5. Derivata funcției $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x^2}\sin tdt$, este:

   • a) $\cos \left(x^2\right)\cdot 2x$
   • b) $\sin \left(x^2\right)$
   • c) $2x\sin \left(x^2\right)$
   • d) $-\cos \left(x^2\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $2x\sin \left(x^2\right)$

   Se înlocuiește $t$ cu capătul de sus și se înmulțește cu derivata acestuia: $G{}^{\prime }(x)=\sin \left(x^2\right)\cdot 2x$. Varianta $\sin \left(x^2\right)$ uită factorul $u{}^{\prime }(x)=2x$ — formula este o regulă a lanțului, nu o simplă înlocuire —, iar variantele cu cosinus confundă derivarea cu integrarea.

   Lecția: Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue; funcția integrală →

6. Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă dacă există $I\in \mathbb{R}$ astfel încât:

   • a) pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$
   • b) există o diviziune $\Delta$ și un sistem $\xi$ cu ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=I$
   • c) există $\delta >0$ astfel încât pentru orice $\epsilon >0$ are loc $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$
   • d) sumele Riemann pe diviziunile echidistante tind la $I$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$

   Definiția cere toate diviziunile fine și toate sistemele de puncte intermediare. Varianta b) se mulțumește cu o singură sumă, care nu dovedește nimic; varianta c) inversează cuantificatorii; varianta d) restrânge la diviziunile echidistante, deci ar declara integrabile funcții care nu sunt.

   Lecția: Funcții integrabile și integrala definită →

7. Din $1\le 1+x^2\le 2$, pentru $x\in [0,1]$, rezultă:

   • a) $\frac{1}{3}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$
   • b) $1\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 2$
   • c) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 2$
   • d) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$

   La numitori pozitivi, cine este mai mare are inversul mai mic: din $1\le 1+x^2\le 2$ rezultă $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^2}\le 1$, iar lungimea intervalului fiind $1$, încadrarea integralei este aceeași. Valoarea exactă, $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$, se află într-adevăr între $0,5$ și $1$.

   Lecția: Încadrarea și compararea integralelor; inegalități cu integrale →

8. Funcția semn, $\mathrm{sgn}:[-1,1]\to \mathbb{R}$, este:

   • a) integrabilă și admite primitive
   • b) neintegrabilă, dar admite primitive
   • c) integrabilă, dar nu admite primitive
   • d) nici integrabilă, nici cu primitive
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) integrabilă, dar nu admite primitive

   Este mărginită și are o singură discontinuitate, deci este integrabilă. În $0$ are însă limite laterale finite și diferite, adică o discontinuitate de speța I, iar o astfel de funcție nu admite primitive — prin consecința teoremei lui Darboux. Integrala ei se calculează din definiție.

   Lecția: Integrabilitate și primitive: exemple și contraexemple →

9. ${\int }_0^5|2x-6|dx$ este egală cu:

   • a) $9$
   • b) $5$
   • c) $13$
   • d) $4$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $13$

   Expresia se anulează în $3\in [0,5]$: pe $[0,3]$ este negativă, deci se integrează $6-2x$, cu rezultatul $9$; pe $[3,5]$ este pozitivă, deci se integrează $2x-6$, cu rezultatul $4$. Total: $13$. Varianta $5$ este $\left|{\int }_0^5(2x-6)dx\right|$ — exact greșeala capitală.

   Lecția: Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul →

10. ${\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}$ este egală cu:

    • a) $\ln \frac{4}{3}$
    • b) $\ln \frac{3}{4}$
    • c) $\ln 6$
    • d) $\frac{1}{\ln 6}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\ln \frac{4}{3}$

    Descompunerea este $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$, deci integrala este $\ln \frac{x+1}{x+2}{|}_0^1=\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288$. Varianta $\ln \frac{3}{4}$ are semnul răsturnat, iar valoarea trebuie să fie pozitivă, integrandul fiind pozitiv.

    Lecția: Integrale definite din funcții raționale și reductibile la raționale →

11. Care dintre următoarele funcții, definite pe $\mathbb{R}$, este pară?

    • a) $f(x)=x^3\cos x$
    • b) $f(x)=x^2\sin x$
    • c) $f(x)=x\sin x$
    • d) $f(x)=x^5+x$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $f(x)=x\sin x$

    Verificăm prin definiție: $f(-x)=(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, deci $x\sin x$ este pară — produsul a două funcții impare este par. Celelalte trei sunt impare: $x^3\cos x$ este impară $\cdot$ pară, $x^2\sin x$ este pară $\cdot$ impară, iar $x^5+x$ este sumă de funcții impare. Greșeala tipică este să se declare impar produsul a două funcții impare.

    Lecția: Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice →

12. Formula de integrare prin părți pentru integrala definită este:

    • a) ${\int }_a^{b}fg{}^{\prime }={\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^{b}g{}^{\prime }$
    • b) ${\int }_a^{b}fg{}^{\prime }=fg-{\int }_a^{b}f{}^{\prime }g$
    • c) ${\int }_a^{b}fg{}^{\prime }=fg{|}_a^b+{\int }_a^{b}f{}^{\prime }g$
    • d) ${\int }_a^{b}fg{}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^{b}f{}^{\prime }g$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) ${\int }_a^{b}fg{}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^{b}f{}^{\prime }g$

    Termenul din capete se evaluează între limite, iar integrala rămasă intră cu semnul minus. Varianta b) lasă o funcție acolo unde trebuie să fie un număr, varianta c) pierde semnul din derivata produsului, iar varianta a) inventează o regulă a produsului care nu există.

    Lecția: Integrarea prin părți pentru integrala definită →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.