Exerciții rezolvate — Legi de compoziție (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Legi de compoziție", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Legea $\ast$ definită pe mulțimea $M$ este asociativă dacă:

   • a) $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in M$
   • b) există $e\in M$ cu $x\ast e=e\ast x=x$
   • c) tabla legii este simetrică față de diagonala principală
   • d) $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in M$

   Asociativitatea mută parantezele și păstrează ordinea literelor. Varianta a este comutativitatea, varianta b este definiția elementului neutru, iar c este criteriul de citire a comutativității din tablă. Confundarea primelor două este greșeala clasică a începutului de unitate: media aritmetică este comutativă și neasociativă, iar înmulțirea matricelor este asociativă și necomutativă.

   Lecția: Asociativitatea unei legi de compoziție →

2. În ${\mathbb{Z}}_6$, clasa numărului $-23$ este:

   • a) $\hat{5}$
   • b) $\hat{1}$
   • c) $\hat{3}$
   • d) $\hat{4}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\hat{1}$

   Scriem împărțirea completă: $-23=6\cdot (-4)+1$, cu restul $1$, care respectă condiția $0\le r<6$. Deci $-23\in \hat{1}$. Varianta $\hat{5}$ vine din calculul făcut pe $23=6\cdot 3+5$, cu semnul uitat; scrierea $-23=6\cdot (-3)-5$ dă un „rest” negativ, care nu este permis de teorema împărțirii cu rest.

   Lecția: Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor →

3. Care dintre legile de mai jos este comutativă?

   • a) $x\ast y=2x+3y$ pe $\mathbb{R}$
   • b) $x\ast y=xy+15x+15y+210$ pe $\mathbb{R}$
   • c) $x\ast y=x-y$ pe $\mathbb{Z}$
   • d) $x\ast y=x^y$ pe $(0,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x\ast y=xy+15x+15y+210$ pe $\mathbb{R}$

   Formula de la b este simetrică în $x$ și $y$ (se scrie $(x+15)(y+15)-15$), deci legea este comutativă. La a, coeficienții diferiți dau $1\ast 0=2\ne 3=0\ast 1$; la c, $5-3=2$, dar $3-5=-2$; la d, $2^3=8$, dar $3^2=9$. Fiecare respingere cere perechea concretă, cu ambele calcule.

   Lecția: Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei →

4. Clasa $\hat{a}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ dacă și numai dacă:

   • a) $\hat{a}\ne \hat{0}$
   • b) $a$ este număr prim
   • c) $(a,n)=1$
   • d) $n$ este număr prim
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $(a,n)=1$

   Aceasta este teorema centrală a lecției. Varianta a este adevărată numai în ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim: în ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\hat{4}$ este nenulă, dar $(4,12)=4\ne 1$, deci nu este inversabilă. Nici b, nici d nu sunt necesare: $\hat{9}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{20}$, deși nici $9$, nici $20$ nu sunt prime.

   Lecția: Elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi; ecuații cu clase de resturi →

5. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, cu elementul neutru $e=15$. Simetricul unui element $x\ne 14$ este:

   • a) $28-x$
   • b) $\frac{1}{x}$
   • c) $15-x$
   • d) $14+\frac{1}{x-14}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $14+\frac{1}{x-14}$

   Ecuația $x\ast x^{\prime }=15$ devine $(x-14)(x^{\prime }-14)+14=15$, adică $(x-14)(x^{\prime }-14)=1$, de unde $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$. Pentru $x=14$ egalitatea ar da $0=1$, deci $14$ nu este simetrizabil. Varianta b folosește inversul obișnuit, iar c și d sunt formule de tip aditiv, potrivite legilor $x+y-a$, nu acesteia.

   Lecția: Elemente simetrizabile și simetricul unui element →

6. Elementul neutru al legii $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, definită pe $\mathbb{R}$, este:

   • a) $14$
   • b) $13$
   • c) $1$
   • d) $15$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $15$

   Pentru legile de forma $(x-a)(y-a)+a$ elementul neutru este $e=a+1$, aici $15$; verificare: $x\ast 15=(x-14)\cdot 1+14=x$. Varianta $14$ confundă neutrul cu elementul absorbant, fiindcă $14\ast y=14$ pentru orice $y$ — exact pe dos decât cere definiția. Variantele $13$ și $1$ nu verifică ecuația $x\ast e=x$.

   Lecția: Elementul neutru al unei legi de compoziție →

7. În ${\mathbb{Z}}_6$, o pereche de clase nenule al căror produs este $\hat{0}$ este:

   • a) $\hat{2}$ și $\hat{5}$
   • b) $\hat{3}$ și $\hat{5}$
   • c) nu există o astfel de pereche
   • d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$

   Avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, deși niciun factor nu este nul. Celelalte produse sunt $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{4}$ și $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{3}$. Fenomenul apare exact când $n$ este compus: factorii primi ai lui $6$ se împart între cei doi factori. În ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim el nu apare niciodată.

   Lecția: Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea →

8. Media aritmetică $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$. Care este motivul exact?

   • a) rezultatul poate ieși din $\mathbb{Z}$
   • b) expresia nu are sens pentru toate perechile de întregi
   • c) legea nu este comutativă
   • d) legea nu are element neutru
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) rezultatul poate ieși din $\mathbb{Z}$

   Expresia $\frac{x+y}{2}$ are sens pentru orice pereche de întregi, deci prima condiție e îndeplinită; pică a doua: $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$. Varianta a confundă cele două motive de respingere — „nu e definită” e cazul împărțirii pe $\mathbb{R}$, unde numitorul se anulează. Variantele c și d invocă proprietăți care nici măcar nu se pun în discuție înainte ca operația să fie lege de compoziție.

   Lecția: Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple →

9. Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă dacă și numai dacă:

   • a) $b=a^2+a$
   • b) $b=a^2-a$
   • c) $a=b$
   • d) pentru orice valori ale lui $a$ și $b$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $b=a^2-a$

   Din identitatea $(x\ast y)\ast z-x\ast (y\ast z)=(b+a-a^2)(z-x)$ rezultă că diferența este nulă pentru orice $x,y,z$ exact când $b+a-a^2=0$, adică $b=a^2-a$. Varianta b este condiția scrisă pentru cealaltă convenție de semn, $x\ast y=xy-ax-ay+b$, unde litera $a$ este opusul celei de aici — de aceea formulele memorate se aplică doar după ce verifici ce rol are fiecare literă.

   Lecția: Legi de compoziție cu parametri: determinarea parametrilor din proprietăți →

10. Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. Atunci $A(7)\cdot A(-2)$ este egală cu:

    • a) $A(-14)$
    • b) $A(9)$
    • c) $A(-5)$
    • d) $A(5)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $A(5)$

    Din regula familiei, $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, deci $A(7)\cdot A(-2)=A(7-2)=A(5)$. Varianta $A(-14)$ vine din înmulțirea parametrilor, ca și cum regula ar copia înmulțirea, nu adunarea. Varianta $A(9)$ schimbă semnul celui de-al doilea parametru, iar $A(-5)$ inversează ordinea scăderii — dar aici ordinea nici nu contează, fiindcă adunarea numerelor nu depinde de ea.

    Lecția: Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții →

11. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy+9x+9y+72$. Forma factorizată a legii este:

    • a) $(x-9)(y-9)+9$
    • b) $(x+9)(y+9)+9$
    • c) $(x+9)(y+9)-9$
    • d) $(x+9)(y+9)-72$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $(x+9)(y+9)-9$

    Coeficientul lui $x$ este $b=9$, deci $a=-b=-9$, iar criteriul cere $d=b^2-b=81-9=72$ — se verifică. Prin urmare $x\ast y=(x+9)(y+9)-9$; control: $(x+9)(y+9)-9=xy+9x+9y+81-9$. Varianta a inversează semnul lui $a$ (greșeala clasică: $a=-b$, nu $a=b$), iar b și d aleg greșit constanta care se adaugă la final, care este mereu $a$.

    Lecția: Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule →

12. Dacă mulțimea $M$ are $6$ elemente, atunci $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)$ este:

    • a) $64$
    • b) $36$
    • c) $12$
    • d) $720$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $64$

    Pentru fiecare dintre cele $6$ elemente alegi independent dacă îl pui sau nu în submulțime, deci $2^6=64$. Varianta $12$ este $2\cdot 6$, varianta $36$ este $6^2$, iar $720$ este $6!$ — niciuna nu numără submulțimi. Reține că în cele $64$ intră și $\varnothing$, și $M$ însăși, cele două care se uită cel mai des.

    Lecția: Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.