Exerciții rezolvate — Matrice și operații cu matrice (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Matrice și operații cu matrice", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 2& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -6& 7\end{array}\right)$. Matricea $A-B$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 7\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-4& 9\\ -8& 7\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ 8& -7\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ -4& -7\end{array}\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ 8& -7\end{array}\right)$

   Scădem element cu element, cu paranteza scrisă explicit: $3-(-1)=4$, $-5-4=-9$, $2-(-6)=8$, $0-7=-7$. Varianta a) este $A+B$, varianta b) este $B-A=-(A-B)$, iar varianta d) conține greșeala clasică $2-6$ în loc de $2-(-6)$.

   Lecția: Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor →

2. Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{5,2}(\mathbb{C})$. Produsul $A\cdot B$:

   • a) există și este de tipul $3\times 2$
   • b) există și este de tipul $5\times 5$
   • c) există și este de tipul $2\times 3$
   • d) nu există
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) există și este de tipul $3\times 2$

   Comparăm numerele din mijloc: $(3\times 5)\cdot (5\times 2)$ — ele coincid, deci produsul există. Dimensiunile rezultatului sunt cele de la margini: $3\times 2$. Numărul $5$ a fost doar lungimea sumelor, adică numărul de termeni ai fiecărui element.

   Lecția: Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul →

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$. Matricea $2A-3B$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& 15\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-1& 5\\ 14& 15\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 14& -15\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& -15\end{array}\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& -15\end{array}\right)$

   Calculăm separat $2A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 8& 0\end{array}\right)$ și $3B=\left(\begin{array}{cc}-3& 9\\ 6& 15\end{array}\right)$, apoi scădem: $2-(-3)=5$, $-4-9=-13$, $8-6=2$, $0-15=-15$. Varianta b) este $2A+3B$, iar celelalte două conțin câte o greșeală de semn.

   Lecția: Înmulțirea unei matrice cu un număr complex →

4. O fabrică produce două modele de rucsac. Consumurile, în „modele × materiale”, sunt date de $C=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$, iar prețurile materialelor la doi furnizori, în „materiale × furnizori”, de $P=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 5\end{array}\right)$. Costul materialelor pentru un rucsac de modelul al doilea, la primul furnizor, este:

   • a) $29$
   • b) $27$
   • c) $39$
   • d) $31$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $39$

   Costul cerut este elementul de pe linia $2$, coloana $1$ al produsului $C\cdot P$: folosim linia $2$ din $C$, adică $(1,5)$, și coloana $1$ din $P$, adică $(4,7)$, deci $1\cdot 4+5\cdot 7=39$. Variantele $29$, $27$ și $31$ sunt celelalte trei costuri din tabloul $C\cdot P$ — greșeala tipică este confundarea liniei cu coloana.

   Lecția: Matrice care modelează situații practice: costuri, fluxuri, stocuri →

5. Matricea rotației de unghi $\theta$ în jurul originii, în sens trigonometric, este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

   Semnul minus stă sus-dreapta. Verificarea rapidă se face pe $\theta =\frac{\pi }{2}$: matricea corectă devine $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și duce punctul $(1,0)$ în $(0,1)$, adică rotește în sens trigonometric. Varianta b) este $R(-\theta )$, iar prima nici nu este matrice de rotație, ci una de simetrie.

   Lecția: Matricea de rotație și puterile ei →

6. Se consideră $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=3i-2j$. Elementul $a_{32}$ este:

   • a) $5$
   • b) $0$
   • c) $-5$
   • d) $13$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $5$

   Primul indice este linia, al doilea coloana, deci $i=3$ și $j=2$: $a_{32}=3\cdot 3-2\cdot 2=9-4=5$. Varianta $0$ vine din inversarea indicilor ($a_{23}=3\cdot 2-2\cdot 3=0$), varianta $-5$ din scrierea pe dos a formulei, iar $13$ din pierderea semnului minus.

   Lecția: Tablouri de date și noțiunea de matrice →

7. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)$. Matricea $A\cdot B-B\cdot A$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 4\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$
   • c) $O_2$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}8& -2\\ 20& 16\end{array}\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$

   Calculăm ambele produse: $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 12& 6\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 8& 10\end{array}\right)$, deci diferența este $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$. Nu este matricea nulă, pentru că matricele nu comută. Varianta d) este suma celor două produse. Observă că suma elementelor de pe diagonala principală a diferenței este $0$ — asta se întâmplă întotdeauna.

   Lecția: Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea →

8. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)$. Atunci $A^7$ este egală cu:

   • a) $O_2$
   • b) $I_2$
   • c) $3^{6}A$
   • d) $A$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $A$

   Primul gest este calculul pătratului: $A^2=\left(\begin{array}{cc}9-6& -18+12\\ 3-2& -6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)=A$, deci $A$ este idempotentă. De aici, dacă $A^k=A$, atunci $A^{k+1}=A^k\cdot A=A^2=A$: toate puterile coincid cu $A$, în particular $A^7=A$.

   Lecția: Puterea unei matrice pătratice: definiție și calcul direct →

9. Formula $(A+B{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$, cu $A,B\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{C})$, este adevărată:

   • a) pentru orice $A$ și $B$
   • b) numai dacă $A\cdot B=B\cdot A$
   • c) numai dacă $A$ sau $B$ este nilpotentă
   • d) numai dacă $A=\alpha I_p$ și $B=O_p$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) numai dacă $A\cdot B=B\cdot A$

   Demonstrația binomului folosește, la fiecare pas, schimbarea ordinii factorilor — legală la numere, interzisă la matrice. Singura ipoteză, dar obligatorie, este comutarea: $AB=BA$. Nilpotența nu are legătură cu valabilitatea formulei, ci doar cu utilitatea ei: ea taie suma la câțiva termeni.

   Lecția: Ridicarea la putere cu binomul lui Newton →

10. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și se notează $A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$. Știind că $c_n=0$ și $d_n=1$ pentru orice $n$, șirul $(b_n)$ verifică recurența:

    • a) $b_{n+1}=5b_n$
    • b) $b_{n+1}=b_n+5^n$
    • c) $b_{n+1}=5b_n+1$
    • d) $b_{n+1}=b_n+1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $b_{n+1}=5b_n+1$

    Calculăm produsul: $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}5a_n+c_n& 5b_n+d_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$. Identificând cu $A^{n+1}$, obținem $b_{n+1}=5b_n+d_n=5b_n+1$ — o recurență afină, nu una geometrică. Cu $b_1=1$ și punctul fix $\ell =-\frac{1}{4}$ rezultă $b_n=\frac{5^n-1}{4}$.

    Lecția: Ridicarea la putere cu ajutorul șirurilor recurente →

11. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 1\end{array}\right)$. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, matricea $A^n$ este:

    • a) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& 1\end{array}\right)$
    • b) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5^n& 1\end{array}\right)$
    • c) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& n\end{array}\right)$
    • d) $\left(\begin{array}{cc}n& 0\\ 5n& n\end{array}\right)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& 1\end{array}\right)$

    Calculăm primele puteri: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 10& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 15& 1\end{array}\right)$ — trei poziții rămân neschimbate, iar colțul din stânga-jos crește din $5$ în $5$, deci presupunem $5n$. Pasul inductiv confirmă: din ipoteză, elementul de pe poziția $(2,1)$ al produsului $A^k\cdot A$ este $5k+5=5(k+1)$.

    Lecția: Ridicarea la putere prin inducție matematică →

12. Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$ este:

    • a) matricea unitate $I_3$
    • b) matrice scalară, dar nu matricea unitate
    • c) triunghiulară superioară, dar nu diagonală
    • d) matricea nulă $O_3$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) matrice scalară, dar nu matricea unitate

    Toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule, deci $A$ este diagonală, iar cele trei elemente diagonale sunt egale între ele, deci $A$ este scalară. Nu este $I_3$, pentru că matricea unitate cere valoarea comună $1$, nu $6$. Este și triunghiulară superioară, dar afirmația de la varianta c) o neagă pe cea corectă („dar nu diagonală”).

    Lecția: Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.