Sfera: aria și volumul

Gândește-te la o minge de fotbal, la o bilă de rulment, la o picătură de apă în cădere liberă sau chiar la planeta pe care trăiești: toate au aceeași formă perfectă, în care fiecare punct de pe suprafață este la fel de departe de centru. Această formă se numește sferă și este, poate, cel mai armonios corp geometric din întreaga matematică. În lecția de față vei învăța cum se calculează aria sferei și volumul sferei, două mărimi de care ai nevoie ca să afli, de exemplu, câtă vopsea trebuie pentru un rezervor sferic sau câtă apă încape într-un balon. Sfera încheie familia corpurilor rotunde pe care le-ai studiat: după cilindru, con și trunchiul de con, sfera este piesa care completează tabloul și apare frecvent la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii sfera și corpul sferic, recunoscând centrul, raza $R$ și diametrul $d$.
• Vei ști să calculezi aria sferei cu formula $A=4\pi R^2$.
• Vei ști să calculezi volumul sferei cu formula $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.
• Vei ști să afli raza sferei atunci când cunoști aria sau volumul.
• Vei ști să recunoști sfera drept corp de rotație și să alegi formula potrivită pentru fiecare cerință de examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o sferă

Pornim de la o definiție riguroasă, așa cum ai învățat la cerc, dar de data aceasta în spațiu.

Definiție. Fiind date un punct fix $O$ și un număr pozitiv $R$, sfera de centru $O$ și rază $R$ este mulțimea tuturor punctelor din spațiu situate la distanța $R$ față de $O$.

Observă asemănarea cu cercul: cercul este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $R$ de centru, iar sfera este „varianta în spațiu" a aceleiași idei. De fapt, poți să te gândești la sferă ca la o infinitate de cercuri de rază $R$, toate cu același centru $O$, așezate în toate direcțiile posibile.

Trebuie să distingem clar două noțiuni:

• Sfera este doar suprafața (coaja, învelișul): gândește-te la o coajă de portocală, la un balon umflat sau la pojghița subțire a unui balon de săpun. Suprafața are arie, dar nu are „interior".
• Corpul sferic (numit uneori și bilă) este sfera împreună cu tot interiorul ei: gândește-te la o bilă de oțel plină sau la o portocală întreagă. Corpul sferic are volum.

De aceea vorbim despre aria sferei (suprafața cojii) și despre volumul corpului sferic (cât spațiu ocupă bila plină). În vorbirea de zi cu zi le amestecăm, dar la examen e bine să folosești termenii corect.

2. Elementele sferei: centru, rază, diametru

• Centrul $O$ este punctul fix față de care se măsoară totul.
• Raza $R$ este distanța de la centru la orice punct de pe suprafață. Toate razele unei sfere sunt egale.
• Diametrul $d$ este un segment care unește două puncte de pe suprafață și trece prin centru. Ca și la cerc, avem relația fundamentală:

$$d=2R\text{sau, echivalent,}R=\frac{d}{2}.$$

Această relație este cheia multor probleme: enunțul îți dă adesea diametrul, dar formulele lucrează cu raza. Prima ta grijă va fi mereu să treci de la $d$ la $R$ împărțind la 2.

Dacă tai o sferă cu un plan care trece prin centru, obții un cerc de rază $R$, cel mai mare cerc care se poate desena pe sferă. Acesta se numește cerc mare (de exemplu, ecuatorul globului pământesc). Orice alt plan care taie sfera, dar nu trece prin centru, o taie după un cerc mai mic (iar un plan aflat prea departe de centru, la o distanță mai mare decât $R$, nu atinge sfera deloc). Nu vom calcula aici aceste cercuri, dar e util să știi că suprafața sferei este „țesută" din astfel de cercuri.

3. Sfera drept corp de rotație

Toate corpurile rotunde se obțin rotind o figură plană în jurul unei axe. Ai văzut deja:

• cilindrul apare rotind un dreptunghi în jurul unei laturi;
• conul apare rotind un triunghi dreptunghic în jurul unei catete.

Pentru sferă, figura care se rotește este un semicerc (jumătate de disc). Dacă iei un semicerc de rază $R$ și îl rotești complet, cu $360^{\circ }$, în jurul diametrului său (latura dreaptă a semicercului), semicercul „mătură" tot spațiul din jur și generează un corp sferic plin.

De ce este important acest lucru? Pentru că la Evaluarea Națională apare des cerința: „Se rotește un semicerc în jurul diametrului său. Ce corp se obține?" Răspunsul corect este: o sferă (un corp sferic), iar raza sferei este chiar raza semicercului. Reține și distincțiile:

4. Aria sferei

Iată prima formulă esențială a lecției. Suprafața (aria) unei sfere de rază $R$ este:

$$\boxed{A=4\pi R^2}$$

Cum înțelegem această formulă, ca să nu fie doar o înșiruire de litere învățată pe de rost? Există o comparație foarte frumoasă, cunoscută încă din Antichitate, de la matematicianul Arhimede:

Aria sferei este egală cu de patru ori aria unui cerc mare al ei.

Un cerc mare are aria $\pi R^2$. De patru ori această valoare dă exact $4\pi R^2$. Cu alte cuvinte, dacă ai putea „coji" sfera și ai întinde coaja, ai acoperi patru discuri egale, fiecare de rază $R$. E surprinzător de mult, dar așa este.

O a doua imagine utilă (tot de la Arhimede): dacă închizi perfect o sferă într-un cilindru cât mai strâns în jurul ei — un cilindru de rază $R$ și înălțime $2R$ —, atunci aria sferei este egală cu aria laterală a acestui cilindru. Aria laterală a cilindrului este $2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2$, exact aria sferei. Este unul dintre cele mai elegante rezultate din toată geometria.

Atenție la unități. Aria se măsoară întotdeauna în unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$. Dacă raza este în centimetri, aria va fi în centimetri pătrați.

Adesea rezultatul se lasă în funcție de $\pi$, adică sub forma „un număr $\cdot \pi$", pentru că este exact. Dacă enunțul cere o valoare aproximativă, înlocuiești $\pi \approx 3,14$.

5. Volumul sferei (al corpului sferic)

A doua formulă esențială: volumul corpului sferic de rază $R$ este:

$$\boxed{V=\frac{4\pi R^3}{3}}$$

Poți să o scrii și sub forma $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ — este exact același lucru.

Și aici Arhimede ne dă o imagine minunată. Închide sfera în cilindrul strâns de mai devreme (rază $R$, înălțime $2R$). Volumul acelui cilindru este $\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$. Ei bine:

Volumul sferei reprezintă exact două treimi din volumul cilindrului în care este înscrisă.

Verifică: $\frac{2}{3}\cdot 2\pi R^3=\frac{4\pi R^3}{3}$. Se potrivește perfect. Arhimede era atât de mândru de această descoperire încât a cerut ca pe mormântul lui să fie gravată o sferă înscrisă într-un cilindru.

Atenție la unități. Volumul se măsoară în unități cubice: ${\text{cm}}^3$, ${\text{m}}^3$, ${\text{dm}}^3$. Reține și echivalența foarte utilă la probleme cu lichide: $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}$.

6. Cum lucrăm cu formulele: un mic algoritm

Când primești o problemă cu sfera, urmează acești pași:

1. Citește ce ți se dă: raza $R$ sau diametrul $d$? Dacă ai diametrul, calculează imediat $R=\frac{d}{2}$.
2. Citește ce ți se cere: aria, volumul sau ambele?
3. Alege formula potrivită: $A=4\pi R^2$ pentru arie, $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ pentru volum.
4. Înlocuiește și calculează cu grijă puterea: $R^2$ pentru arie, $R^3$ pentru volum.
5. Scrie unitatea de măsură corectă (${\text{cm}}^2$ la arie, ${\text{cm}}^3$ la volum) și, dacă se cere, aproximează cu $\pi \approx 3,14$.

Greșeala numărul unu la elevi este să confunde $R^2$ cu $R^3$. Ține minte: aria „stă în plan", deci pătrat; volumul „umple spațiul", deci cub.

7. Drumul invers: aflarea razei din arie sau din volum

La Evaluarea Națională apare des cerința inversă: ți se dă aria sau volumul și trebuie să găsești raza. Nu ai nevoie de nimic nou, doar întorci formula.

Cazul 1 — cunoști aria $A$. Din $A=4\pi R^2$ scoatem $R^2$:

$$R^2=\frac{A}{4\pi },\text{apoi}R=\sqrt{\frac{A}{4\pi }}.$$

Când aria este dată sub forma „număr $\cdot \pi$", calculul iese frumos. De exemplu, dacă $A=144\pi {\text{cm}}^2$, atunci $R^2=\frac{144\pi }{4\pi }=36$, deci $R=6\text{cm}$.

Cazul 2 — cunoști volumul $V$. Din $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ scoatem $R^3$:

$$R^3=\frac{3V}{4\pi },\text{apoi}R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}.$$

De exemplu, dacă $V=36\pi {\text{cm}}^3$, atunci $R^3=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=\frac{108}{4}=27$, deci $R=3\text{cm}$ (fiindcă $3^3=27$).

Cheia este să reții că izolăm mai întâi $R^2$ sau $R^3$, iar apoi luăm rădăcina potrivită: rădăcină pătrată pentru arie, rădăcină cubică pentru volum.

8. Un fapt util despre proporții

Dacă o sferă are raza de $k$ ori mai mare decât alta, atunci:

• aria ei este de $k^2$ ori mai mare (fiindcă aria depinde de $R^2$);
• volumul ei este de $k^3$ ori mai mare (fiindcă volumul depinde de $R^3$).

De exemplu, o minge cu raza dublă are aria de $4$ ori mai mare, dar volumul de $8$ ori mai mare. De aceea o minge doar puțin mai mare cântărește surprinzător de mult: volumul (și deci masa) crește foarte repede. Această observație te ajută să rezolvi rapid problemele cu „de câte ori".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — arie și volum din rază

Enunț. O sferă are raza $R=3\text{cm}$. Calculează aria și volumul sferei, exprimate în funcție de $\pi$.

Rezolvare.

Aria: $$A=4\pi R^2=4\pi \cdot 3^2=4\pi \cdot 9=36\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 3^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=\frac{108\pi }{3}=36\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns. $A=36\pi {\text{cm}}^2$ și $V=36\pi {\text{cm}}^3$. (Coincidența că ambele dau $36\pi$ apare doar pentru $R=3$; nu te păcăli, unitățile sunt diferite: ${\text{cm}}^2$ la arie, ${\text{cm}}^3$ la volum.)

Exemplul 2 — se dă diametrul

Enunț. O bilă metalică are diametrul $d=8\text{cm}$. Află aria suprafeței și volumul bilei, în funcție de $\pi$.

Rezolvare.

Trecem întâi de la diametru la rază: $$R=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4\text{cm}.$$

Aria: $$A=4\pi R^2=4\pi \cdot 4^2=4\pi \cdot 16=64\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 4^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 64}{3}=\frac{256\pi }{3}{\text{cm}}^3.$$

Răspuns. $A=64\pi {\text{cm}}^2$, $V=\frac{256\pi }{3}{\text{cm}}^3$.

Exemplul 3 — aflarea razei din arie

Enunț. Aria unei sfere este $A=100\pi {\text{cm}}^2$. Determină raza și apoi volumul sferei.

Rezolvare.

Din $A=4\pi R^2$ scoatem $R^2$: $$R^2=\frac{A}{4\pi }=\frac{100\pi }{4\pi }=25\Rightarrow R=\sqrt{25}=5\text{cm}.$$

Acum volumul: $$V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 5^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 125}{3}=\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3.$$

Răspuns. $R=5\text{cm}$ și $V=\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3$.

Exemplul 4 — aflarea razei din volum și apoi a diametrului

Enunț. Un balon sferic are volumul $V=288\pi {\text{cm}}^3$. Află raza și diametrul balonului.

Rezolvare.

Din $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ scoatem $R^3$: $$R^3=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3\cdot 288\pi }{4\pi }=\frac{864}{4}=216.$$

Cum $6^3=216$, rezultă: $$R=\sqrt[3]{216}=6\text{cm},d=2R=12\text{cm}.$$

Verificare. $\frac{4\pi \cdot 6^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=\frac{864\pi }{3}=288\pi {\text{cm}}^3$. Corect.

Răspuns. $R=6\text{cm}$, $d=12\text{cm}$.

Exemplul 5 — valoare aproximativă cu $\pi \approx 3,14$

Enunț. Un rezervor de apă are formă sferică, cu raza interioară $R=1\text{m}$. Aproximează, folosind $\pi \approx 3,14$, câți litri de apă încap în rezervor (rotunjește la litru).

Rezolvare.

Volumul, în funcție de $\pi$: $$V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 1^3}{3}=\frac{4\pi }{3}{\text{m}}^3.$$

Aproximăm: $$V\approx \frac{4\cdot 3,14}{3}=\frac{12,56}{3}{\text{m}}^3.$$

Transformăm în litri, știind că $1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3=1000\text{litri}$: $$V\approx \frac{12,56}{3}\cdot 1000=\frac{12560}{3}\approx 4186,67\text{litri}\approx 4187\text{litri}.$$

Răspuns. În rezervor încap aproximativ $4187$ de litri de apă. (Am rotunjit la litru abia la final, ca să nu pierdem precizie pe drum.)

Exemplul 6 — comparație între două sfere (item de raționament)

Enunț. Sfera mare are raza de $3$ ori mai mare decât sfera mică. De câte ori este mai mare aria sferei mari? Dar volumul?

Rezolvare.

Notăm cu $r$ raza sferei mici, deci raza celei mari este $3r$.

Aria celei mici: $A_1=4\pi r^2$. Aria celei mari: $A_2=4\pi (3r{)}^2=4\pi \cdot 9r^2=9\cdot 4\pi r^2=9A_1$.

Volumul celei mici: $V_1=\frac{4\pi r^3}{3}$. Volumul celei mari: $V_2=\frac{4\pi (3r{)}^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27r^3}{3}=27\cdot \frac{4\pi r^3}{3}=27V_1$.

Răspuns. Aria este de $9$ ori mai mare, iar volumul de $27$ de ori mai mare. (Se confirmă regula: raportul razelor $k=3$ dă $k^2=9$ la arii și $k^3=27$ la volume.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii scriși îngrijit, așa cum se cere la examen. Unde apar sfere, poți face un desen scurt cu centrul și raza.

1. Completează: sfera este mulțimea punctelor din spațiu situate la distanța $R$ față de un punct fix numit … .

2. O sferă are raza $R=2\text{cm}$. Calculează aria ei, în funcție de $\pi$.

3. O sferă are raza $R=5\text{cm}$. Calculează volumul ei, în funcție de $\pi$.

4. O bilă are diametrul $d=10\text{cm}$. Află aria suprafeței bilei, în funcție de $\pi$.

5. O sferă are raza $R=6\text{cm}$. Calculează aria și volumul, în funcție de $\pi$.

6. Aria unei sfere este $A=16\pi {\text{cm}}^2$. Află raza sferei.

7. Volumul unui corp sferic este $V=36\pi {\text{cm}}^3$. Află raza corpului sferic.

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă dublăm raza unei sfere, aria ei se dublează și ea."

9. Aria unei sfere este $A=324\pi {\text{cm}}^2$. Determină raza și apoi diametrul sferei.

10. Volumul unei sfere este $V=972\pi {\text{cm}}^3$. Află raza sferei. (Indiciu: $9^3=729$.)

11. O sferă are raza $R=10\text{cm}$. Aproximează volumul ei folosind $\pi \approx 3,14$ și rotunjește la unități.

12. Item tip Evaluare Națională. Se rotește un semicerc de rază $R=4\text{cm}$ în jurul diametrului său. a) Ce corp geometric se obține? b) Calculează aria suprafeței corpului obținut, în funcție de $\pi$. c) Calculează volumul corpului obținut, în funcție de $\pi$.

13. Două sfere au razele $R_1=2\text{cm}$ și $R_2=4\text{cm}$. De câte ori este mai mare volumul sferei a doua față de al primei?

14. Problemă aplicată. O bilă de gheață sferică cu diametrul $d=6\text{cm}$ se topește complet. Ce volum de apă (în funcție de $\pi$) rezultă, presupunând că volumul se păstrează?

15. O sferă de rază $R=3\text{cm}$ este înscrisă exact într-un cilindru (cilindrul are raza $3\text{cm}$ și înălțimea $6\text{cm}$). Arată prin calcul că aria sferei este egală cu aria laterală a cilindrului.

16. Problemă aplicată. Un producător vopsește exteriorul unor bile decorative sferice cu raza $R=5\text{cm}$. Cât de mare este suprafața de vopsit pentru o bilă (în funcție de $\pi$)? Dacă un flacon de vopsea acoperă $200\pi {\text{cm}}^2$, câte bile poate vopsi cu un flacon?

17. Raționament. O sferă și un cub au același volum. Fără să afli numeric raza, explică în cuvinte ce formulă ai folosi pentru fiecare corp și cum ai proceda ca să compari mărimile lor. (Nu e nevoie de calcule numerice.)

18. Item tip Evaluare Națională (cu subpuncte). O sferă are aria $A=400\pi {\text{cm}}^2$. a) Află raza sferei. b) Află volumul sferei, în funcție de $\pi$. c) O a doua sferă are raza jumătate din raza primei. Câți ${\text{cm}}^2$ are aria celei de-a doua sfere?

Răspunsuri și explicații

1. centru (centrul $O$). Distanța constantă $R$ se numește rază.

2. $A=4\pi R^2=4\pi \cdot 2^2=4\pi \cdot 4=16\pi {\text{cm}}^2$.

3. $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 5^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 125}{3}=\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3$.

4. $R=\frac{d}{2}=5\text{cm}$; $A=4\pi \cdot 5^2=4\pi \cdot 25=100\pi {\text{cm}}^2$.

5. $A=4\pi \cdot 6^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{cm}}^2$; $V=\frac{4\pi \cdot 6^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 216}{3}=\frac{864\pi }{3}=288\pi {\text{cm}}^3$.

6. $R^2=\frac{A}{4\pi }=\frac{16\pi }{4\pi }=4\Rightarrow R=\sqrt{4}=2\text{cm}$.

7. $R^3=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=\frac{108}{4}=27\Rightarrow R=\sqrt[3]{27}=3\text{cm}$.

8. Fals. Aria depinde de $R^2$. Dacă raza se dublează ($R\to 2R$), aria devine $4\pi (2R{)}^2=4\pi \cdot 4R^2=4\cdot (4\pi R^2)$, adică de $4$ ori mai mare, nu de $2$ ori. (Volumul, la fel, ar deveni de $8$ ori mai mare.)

9. $R^2=\frac{324\pi }{4\pi }=81\Rightarrow R=\sqrt{81}=9\text{cm}$; $d=2R=18\text{cm}$.

10. $R^3=\frac{3\cdot 972\pi }{4\pi }=\frac{2916}{4}=729\Rightarrow R=\sqrt[3]{729}=9\text{cm}$.

11. $V=\frac{4\pi \cdot 10^3}{3}=\frac{4000\pi }{3}{\text{cm}}^3$. Aproximare: $\frac{4000\cdot 3,14}{3}=\frac{12560}{3}\approx 4186,67\approx 4187{\text{cm}}^3$.

12. a) Se obține o sferă (corp sferic) de rază $R=4\text{cm}$. b) $A=4\pi \cdot 4^2=4\pi \cdot 16=64\pi {\text{cm}}^2$. c) $V=\frac{4\pi \cdot 4^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 64}{3}=\frac{256\pi }{3}{\text{cm}}^3$.

13. $V_1=\frac{4\pi \cdot 2^3}{3}=\frac{32\pi }{3}$; $V_2=\frac{4\pi \cdot 4^3}{3}=\frac{256\pi }{3}$. Raportul: $\frac{V_2}{V_1}=\frac{256}{32}=8$. Volumul sferei a doua este de $8$ ori mai mare. (Se confirmă: raza s-a dublat, $k=2$, deci $k^3=8$.)

14. $R=\frac{d}{2}=3\text{cm}$; $V=\frac{4\pi \cdot 3^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 27}{3}=\frac{108\pi }{3}=36\pi {\text{cm}}^3$. Rezultă $36\pi {\text{cm}}^3$ de apă (adică $36\pi {\text{cm}}^3\approx 113{\text{cm}}^3\approx 113\text{ml}$).

15. Aria sferei: $A_{\text{sfera˘}}=4\pi \cdot 3^2=36\pi {\text{cm}}^2$. Aria laterală a cilindrului: $A_{\ell }=2\pi R\cdot h=2\pi \cdot 3\cdot 6=36\pi {\text{cm}}^2$. Cele două sunt egale: $36\pi =36\pi$. (Aceasta este exact proprietatea lui Arhimede: sfera și cilindrul strâns au aceeași arie a suprafeței curbe.)

16. Suprafața unei bile: $A=4\pi \cdot 5^2=4\pi \cdot 25=100\pi {\text{cm}}^2$. Un flacon acoperă $200\pi {\text{cm}}^2$, deci numărul de bile: $\frac{200\pi }{100\pi }=2$ bile.

17. Ai folosi $V_{\text{sfera˘}}=\frac{4\pi R^3}{3}$ pentru sferă și $V_{\text{cub}}=a^3$ pentru cub (unde $a$ este muchia). Punând cele două volume egale, $\frac{4\pi R^3}{3}=a^3$, ai putea exprima o mărime în funcție de cealaltă. Ideea corectă de răspuns: alegi formula de volum specifică fiecărui corp și scrii egalitatea volumelor; nu amesteci formula sferei cu cea a cubului.

18. a) $R^2=\frac{400\pi }{4\pi }=100\Rightarrow R=\sqrt{100}=10\text{cm}$. b) $V=\frac{4\pi \cdot 10^3}{3}=\frac{4000\pi }{3}{\text{cm}}^3$. c) Raza a doua: $r=\frac{10}{2}=5\text{cm}$; aria: $4\pi \cdot 5^2=100\pi {\text{cm}}^2$. (Observă: raza s-a înjumătățit, deci aria a scăzut de $2^2=4$ ori, de la $400\pi$ la $100\pi$.)

De reținut

• Aria sferei: $A=4\pi R^2$ (măsurată în unități pătratice, ex. ${\text{cm}}^2$). Egală cu aria a patru cercuri mari.
• Volumul corpului sferic: $V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4}{3}\pi R^3$ (măsurat în unități cubice, ex. ${\text{cm}}^3$).
• Legătura rază–diametru: $R=\frac{d}{2}$. Dacă enunțul dă diametrul, treci întâi la rază.
• Drumul invers: din arie, $R=\sqrt{\frac{A}{4\pi }}$; din volum, $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$. Izolezi întâi $R^2$ (sau $R^3$), apoi iei rădăcina.
• Sfera este corpul de rotație al unui semicerc în jurul diametrului său; raza sferei = raza semicercului.

Greșeli frecvente

• Confuzia $R^2$ cu $R^3$. Mulți elevi scriu $4\pi R^3$ la arie sau $\frac{4\pi R^2}{3}$ la volum. Reține: arie → pătrat ($R^2$), volum → cub ($R^3$).
• Uitarea împărțirii la 2 când se dă diametrul. Dacă $d=8$ și pui $R=8$ în formulă, tot calculul e greșit. Scrie mereu, ca prim rând, $R=\frac{d}{2}$.
• Unitatea de măsură greșită. Aria nu se scrie în ${\text{cm}}^3$, iar volumul nu se scrie în ${\text{cm}}^2$. La examen, unitatea greșită poate costa puncte chiar dacă numărul e corect.
• La drumul invers, împărțirea incompletă. După $R^2=\frac{A}{4\pi }$ trebuie neapărat să iei  ​; după $R^3=\frac{3V}{4\pi }$ trebuie să iei $\sqrt[3]{}$. Rămânerea la $R^2$ sau $R^3$ nu este răspunsul final.

Aplică acasă

1. Mingea din casă. Ia o minge (de fotbal, de tenis, de baschet). Măsoară-i circumferința cu un fir de ață și o riglă, apoi află raza din $C=2\pi R$, deci $R=\frac{C}{2\pi }$. Cu raza obținută, calculează aria și volumul mingii. Compară volumele a două mingi diferite și verifică regula: dacă una are raza dublă, volumul este de $8$ ori mai mare?

2. Rezervorul de apă. Caută online un rezervor sferic (sau imaginează unul cu raza de $1,5\text{m}$). Calculează câți litri de apă poate stoca, folosind $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ și $1{\text{m}}^3=1000\text{litri}$. Este suficient pentru consumul unei familii pe o săptămână (estimează $150$ litri/persoană/zi)?

3. Înghețata perfectă. O cupă de înghețată este aproximativ o sferă cu diametrul $5\text{cm}$. Calculează volumul unei cupe. Dacă o cutie de $1$ litru de înghețată se transformă integral în cupe, câte cupe ies (aproximativ)? Folosește $1\text{litru}=1000{\text{cm}}^3$ și $\pi \approx 3,14$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție închide capitolul corpurilor rotunde și este una dintre cele mai „prietenoase" din geometria clasei a VIII-a, pentru că are doar două formule de reținut: $A=4\pi R^2$ și $V=\frac{4\pi R^3}{3}$. Dificultatea reală nu stă în formule, ci în rigoarea execuției: trecerea de la diametru la rază, ridicarea corectă la pătrat sau la cub și scrierea unității de măsură potrivite.

Cum verificați că elevul a înțeles, cu întrebări scurte de control:

• „Care formulă are $R^2$ și care are $R^3$? De ce?" (Aria e o mărime „de suprafață", volumul „umple spațiul".)
• „Ți s-a dat diametrul $10\text{cm}$. Care e primul lucru pe care îl faci?" (Împart la 2: $R=5$.)
• „Din aria $A=36\pi$, cum afli raza?" (Izolez $R^2=9$, apoi $R=3$.)
• „De ce, dacă raza se dublează, volumul crește de $8$ ori, nu de $2$?" (Pentru că volumul depinde de $R^3$, iar $2^3=8$.)

Dacă elevul răspunde corect la aceste patru întrebări, stăpânește esența lecției. Încurajați-l să scrie fiecare pas pe rând și să nu sară direct la rezultat — la Evaluarea Națională, subiectele de geometrie în spațiu se punctează pe pași, iar redactarea îngrijită aduce puncte chiar și când rezultatul final nu e finalizat.

Unde apare la Evaluarea Națională: sfera intră în subiectul al III-lea (probleme de geometrie), fie ca item de sine stătător („o bilă de rază/diametru dat"), fie combinat cu alte corpuri (sferă înscrisă într-un cub sau cilindru, sferă topită turnată într-un alt vas). Cerințele tipice sunt: calcul de arie/volum din rază sau diametru, aflarea razei din arie sau volum și recunoașterea sferei drept corp de rotație al semicercului.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei sferei în clasa a 8-a? Aria (suprafața) unei sfere de rază $R$ este $A=4\pi R^2$. Se măsoară în unități pătratice, de exemplu ${\text{cm}}^2$ sau ${\text{m}}^2$. Dacă în enunț se dă diametrul $d$, calculezi întâi raza cu $R=\frac{d}{2}$.

Care este formula volumului sferei? Volumul corpului sferic (bilei) de rază $R$ este $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, adică $\frac{4}{3}\pi R^3$. Se măsoară în unități cubice, de exemplu ${\text{cm}}^3$ sau ${\text{m}}^3$, iar $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}$.

Care e diferența dintre sferă și corp sferic? Sfera este doar suprafața (coaja), ca un balon umflat, și are arie. Corpul sferic (sau bila) este sfera împreună cu tot interiorul ei, ca o bilă plină, și are volum. De aceea vorbim de aria sferei și de volumul corpului sferic.

Cum aflu raza sferei dacă știu aria? Pornești de la $A=4\pi R^2$, izolezi $R^2=\frac{A}{4\pi }$, apoi iei rădăcina pătrată: $R=\sqrt{\frac{A}{4\pi }}$. De exemplu, din $A=144\pi$ obții $R^2=36$, deci $R=6$.

Cum aflu raza sferei dacă știu volumul? Pornești de la $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, izolezi $R^3=\frac{3V}{4\pi }$, apoi iei rădăcina cubică: $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$. De exemplu, din $V=36\pi$ obții $R^3=27$, deci $R=3$.

Ce corp obții când rotești un semicerc? Rotind complet ($360^{\circ }$) un semicerc în jurul diametrului său, obții o sferă (un corp sferic). Raza sferei este exact raza semicercului. Aceasta este definiția sferei drept corp de rotație.

De ce, dacă dublez raza, volumul crește de 8 ori? Pentru că volumul depinde de $R^3$. Dacă raza devine $2R$, atunci volumul devine $\frac{4\pi (2R{)}^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 8R^3}{3}$, adică de $2^3=8$ ori mai mare. La arie, care depinde de $R^2$, dublarea razei mărește aria de $2^2=4$ ori.

Se folosește discriminantul sau alte formule de liceu la sferă? Nu. La clasa a VIII-a lucrezi doar cu cele două formule, $A=4\pi R^2$ și $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, plus relația $R=\frac{d}{2}$ și, la nevoie, rădăcina pătrată sau cubică pentru drumul invers. Nu ai nevoie de nimic din programa de liceu.