Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul

O cutie de conserve, un pahar, un rezervor de apă, un tub de carton, o rolă de vopsea, un sul de pânză – toate au aceeași formă: sunt cilindri circulari drepți. Când vrei să afli câtă tablă intră într-o conservă sau câți litri de apă încap într-un butoi, folosești chiar formulele din această lecție. În lecția precedentă ai învățat cum arată cilindrul și cum se desfășoară suprafața lui (vezi Cilindrul circular drept: descriere și desfășurare). Acum transformăm acea desfășurare în trei formule pe care le vei folosi sigur la Evaluarea Națională: aria laterală, aria totală și volumul cilindrului.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci formula ariei laterale a cilindrului din desfășurarea suprafeței laterale.
• Vei ști să calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui cilindru circular drept când cunoști raza și înălțimea.
• Vei ști să afli raza sau înălțimea unui cilindru atunci când cunoști aria sau volumul.
• Vei ști să alegi formula potrivită pentru fiecare cerință și să folosești corect unitățile de măsură.
• Vei ști să exprimi rezultatul fie în funcție de $\pi$, fie aproximativ, cu $\pi \approx 3,14$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce știm deja despre cilindru

Un cilindru circular drept are:

• două baze – două cercuri egale (congruente), situate în plane paralele;
• raza bazei $R$ – raza fiecărui cerc de bază;
• înălțimea $h$ – distanța dintre planele celor două baze; la cilindrul drept, înălțimea este egală cu generatoarea (segmentul vertical care unește cele două baze), adică $G=h$;
• o suprafață laterală curbă, care „îmbracă" corpul între cele două baze.

Toate aceste elemente le-am descris în lecția anterioară. Ceea ce ne interesează acum este: cum măsurăm suprafețele și cât spațiu ocupă cilindrul? Pentru asta pornim de la desfășurare.

2. Desfășurarea cilindrului – cheia întregii lecții

Imaginează-ți o cutie de conserve fără capace, din care decupezi eticheta de hârtie și o întinzi pe masă. Ce obții?

Când „tai" suprafața laterală a cilindrului de-a lungul unei generatoare și o desfășori pe un plan, obții un dreptunghi. Iar cele două baze sunt două discuri (cercuri pline).

Să analizăm cu atenție dreptunghiul din desfășurare, pentru că el ne dă aria laterală. Dreptunghiul are:

• înălțimea egală cu înălțimea cilindrului, adică $h$ (latura verticală);
• lungimea (latura orizontală) egală cu lungimea cercului de bază.

De ce lungimea dreptunghiului este exact lungimea cercului de bază? Pentru că, atunci când eticheta este lipită pe conservă, marginea ei de jos înconjoară complet cercul bazei. Deci, dacă o desfaci, lungimea acelei margini este chiar circumferința cercului:

$$L_{\text{cerc}}=2\pi R$$

3. Deducerea ariei laterale $A_l$

Aria laterală a cilindrului este pur și simplu aria dreptunghiului din desfășurare. Iar aria unui dreptunghi este lungime înmulțită cu lățime:

$$A_l=\underset{\text{lungime}}{\underbrace{2\pi R}}\cdot \underset{\text{la˘țime}}{\underbrace{h}}$$

Am obținut prima formulă cheie:

$$\boxed{A_l=2\pi R\cdot h}$$

Reține analogia: aria laterală a cilindrului = „circumferința bazei" × „înălțimea". Aceasta este exact aceeași idee ca la prisma dreaptă, unde aria laterală era „perimetrul bazei × înălțimea" (vezi Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte). Cilindrul se comportă ca o „prismă cu baza cerc": în loc de perimetru folosim circumferința $2\pi R$.

Exemplu rapid: Pentru un cilindru cu $R=3$ cm și $h=10$ cm: $$A_l=2\pi \cdot 3\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2.$$ Dacă vrem o valoare aproximativă: $A_l\approx 60\cdot 3,14=188,4{\text{cm}}^2$.

4. Aria unei baze

Fiecare bază este un cerc de rază $R$. Aria unui disc (cerc plin) o știi din clasa a VII-a:

$$A_{\text{baza˘}}=\pi R^2$$

Atenție: cilindrul are două baze, deci suprafața totală a bazelor este $2\cdot \pi R^2=2\pi R^2$.

5. Deducerea ariei totale $A_t$

Aria totală este suprafața întregii „coji" a cilindrului: suprafața laterală plus cele două baze. O obții adunând tot ce ai desfășurat pe masă (dreptunghiul + cele două discuri):

$$A_t=A_l+2\cdot A_{\text{baza˘}}=2\pi Rh+2\pi R^2.$$

Observă că în ambii termeni apare factorul comun $2\pi R$. Îl scoatem în față (folosind scoaterea factorului comun, din Descompunerea prin scoaterea factorului comun):

$$\boxed{A_t=2\pi R(R+h)}$$

Cele două scrieri sunt echivalente – poți folosi oricare, dar forma factorizată $2\pi R(R+h)$ este de multe ori mai rapidă la calcul.

Exemplu rapid: Pentru $R=3$ cm și $h=10$ cm: $$A_t=2\pi \cdot 3\cdot (3+10)=6\pi \cdot 13=78\pi {\text{cm}}^2\approx 244,92{\text{cm}}^2.$$

Verificare: $A_l+2A_{\text{baza˘}}=60\pi +2\cdot 9\pi =60\pi +18\pi =78\pi$. ✓ Se potrivește.

6. Deducerea volumului $V$

Volumul ne spune cât spațiu ocupă cilindrul (câtă apă încape într-un rezervor, de exemplu). Pentru orice corp care are aceeași secțiune de la bază până sus – ca prisma sau cilindrul – volumul se calculează la fel:

$$V=A_{\text{baza˘}}\cdot h.$$

Ideea intuitivă: dacă stivuiești multe discuri subțiri de rază $R$, unul peste altul, până la înălțimea $h$, obții cilindrul. Volumul total = aria unui disc × înălțimea la care ai ajuns. Cum aria bazei este $\pi R^2$, rezultă:

$$\boxed{V=\pi R^2\cdot h}$$

Exemplu rapid: Pentru $R=3$ cm și $h=10$ cm: $$V=\pi \cdot 3^2\cdot 10=\pi \cdot 9\cdot 10=90\pi {\text{cm}}^3\approx 282,6{\text{cm}}^3.$$

7. Cele trei formule, laolaltă

Reguli de aur pentru unități:

• Aria se măsoară în unități pătrate (cm², m², dm²).
• Volumul se măsoară în unități cubice (cm³, m³, dm³).
• Un litru este egal cu un dm³: $1\text{ L}=1{\text{ dm}}^3=1000{\text{ cm}}^3$. Această egalitate e foarte utilă la problemele cu rezervoare și capacitate.
• Toate datele trebuie exprimate în aceeași unitate înainte de a calcula. Dacă raza e în cm și înălțimea în m, transformă mai întâi!

8. Când exprimăm „în funcție de $\pi$" și când aproximăm?

• Dacă problema cere rezultatul în funcție de $\pi$, lași răspunsul de forma $90\pi {\text{cm}}^3$. Este forma exactă, preferată la examen când nu se cere aproximare.
• Dacă problema dă $\pi \approx 3,14$ sau cere o valoare aproximativă, înmulțești: $90\cdot 3,14=282,6{\text{cm}}^3$.

Citește întotdeauna cu atenție enunțul: la Evaluarea Națională, baremul acceptă forma cerută explicit. Dacă nu se precizează nimic, forma cu $\pi$ este cea sigură.

9. Cum aflăm raza sau înălțimea (problema „inversă")

De multe ori NU ți se dau $R$ și $h$, ci ți se dă o arie sau un volum și trebuie să găsești o dimensiune necunoscută. Metoda este mereu aceeași: scrii formula potrivită, înlocuiești datele cunoscute și rezolvi ecuația.

Din volum aflăm înălțimea: dacă știi $V$ și $R$, atunci din $V=\pi R^{2}h$ rezultă $$h=\frac{V}{\pi R^2}.$$

Din volum aflăm raza: dacă știi $V$ și $h$, atunci din $V=\pi R^{2}h$ rezultă $$R^2=\frac{V}{\pi h},R=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}.$$

Din aria laterală aflăm înălțimea: din $A_l=2\pi Rh$ rezultă $$h=\frac{A_l}{2\pi R}.$$

Nu memora aceste variante ca formule noi! E mai sigur să scrii de fiecare dată formula de bază și să „izolezi" necunoscuta, la fel cum rezolvi orice ecuație de la algebră.

Acum că avem toate instrumentele, să le punem la treabă în probleme complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele trei mărimi, calcul direct

Enunț: Un cilindru circular drept are raza bazei $R=5$ cm și înălțimea $h=8$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul. Exprimă rezultatele în funcție de $\pi$.

Rezolvare:

Aria laterală: $$A_l=2\pi Rh=2\pi \cdot 5\cdot 8=80\pi {\text{cm}}^2.$$

Aria totală (folosim forma factorizată): $$A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 5\cdot (5+8)=10\pi \cdot 13=130\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 5^2\cdot 8=\pi \cdot 25\cdot 8=200\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns: $A_l=80\pi {\text{cm}}^2$, $A_t=130\pi {\text{cm}}^2$, $V=200\pi {\text{cm}}^3$.

Exemplul 2 — Aproximarea cu $\pi \approx 3,14$

Enunț: O cutie de conserve are forma unui cilindru cu raza $R=4$ cm și înălțimea $h=11$ cm. Câtă tablă (în cm²) este necesară pentru a fabrica întreaga cutie (cu ambele capace)? Folosește $\pi \approx 3,14$.

Rezolvare: „Toată tabla" înseamnă suprafața întregii cutii, adică aria totală.

$$A_t=2\pi R(R+h)=2\pi \cdot 4\cdot (4+11)=8\pi \cdot 15=120\pi {\text{cm}}^2.$$

Aproximăm: $$A_t\approx 120\cdot 3,14=376,8{\text{cm}}^2.$$

Răspuns: Sunt necesari aproximativ $376,8{\text{cm}}^2$ de tablă.

Exemplul 3 — Aflarea înălțimii din volum

Enunț: Un rezervor cilindric are raza bazei $R=2$ m și volumul $V=24\pi {\text{m}}^3$. Ce înălțime are rezervorul?

Rezolvare: Pornim de la formula volumului și izolăm $h$: $$V=\pi R^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi R^2}.$$ Înlocuim: $$h=\frac{24\pi }{\pi \cdot 2^2}=\frac{24\pi }{4\pi }=6\text{m}.$$

Observă cum $\pi$ se simplifică – de aceea forma „în funcție de $\pi$" e comodă.

Verificare: $V=\pi \cdot 2^2\cdot 6=\pi \cdot 4\cdot 6=24\pi {\text{m}}^3$. ✓

Răspuns: Înălțimea rezervorului este $6$ m.

Exemplul 4 — Aflarea razei din volum

Enunț: Un pahar cilindric are înălțimea $h=12$ cm și volumul $V=300\pi {\text{cm}}^3$. Cât este raza bazei?

Rezolvare: Din $V=\pi R^{2}h$ izolăm $R^2$: $$R^2=\frac{V}{\pi h}=\frac{300\pi }{\pi \cdot 12}=\frac{300}{12}=25.$$ Deci $$R=\sqrt{25}=5\text{cm}.$$ (Luăm doar rădăcina pozitivă, fiindcă raza este o lungime.)

Verificare: $V=\pi \cdot 5^2\cdot 12=\pi \cdot 25\cdot 12=300\pi {\text{cm}}^3$. ✓

Răspuns: Raza bazei este $5$ cm.

Exemplul 5 — De la aria laterală la volum (item tip Evaluare Națională)

Enunț: Un cilindru circular drept are aria laterală $A_l=48\pi {\text{cm}}^2$ și raza bazei $R=3$ cm. Calculează volumul cilindrului.

Rezolvare: Nu cunoaștem înălțimea, dar o putem afla din aria laterală.

Pasul 1 — aflăm $h$ din $A_l$: $$A_l=2\pi Rh\Rightarrow h=\frac{A_l}{2\pi R}=\frac{48\pi }{2\pi \cdot 3}=\frac{48\pi }{6\pi }=8\text{cm}.$$

Pasul 2 — calculăm volumul: $$V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 8=\pi \cdot 9\cdot 8=72\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns: $V=72\pi {\text{cm}}^3$.

Exemplul 6 — Capacitate în litri și înălțimea utilă

Enunț: Un butoi cilindric are raza bazei $R=3$ dm și înălțimea $h=10$ dm. a) Câți litri de apă încap în butoi (plin până sus)? Folosește $\pi \approx 3,14$. b) Dacă în butoi se toarnă $141,3$ litri de apă, până la ce înălțime se ridică apa?

Rezolvare:

a) Volumul butoiului: $$V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 10=90\pi {\text{dm}}^3\approx 90\cdot 3,14=282,6{\text{dm}}^3.$$ Cum $1{\text{ dm}}^3=1\text{ L}$, rezultă $V\approx 282,6$ litri.

b) Apa formează tot un cilindru, cu aceeași rază $R=3$ dm, dar cu o înălțime necunoscută $h_a$. Volumul de apă este $141,3\text{ L}=141,3{\text{dm}}^3$. $$V_{\text{apa˘}}=\pi R^2{h}_a\Rightarrow 141,3=3,14\cdot 9\cdot h_a=28,26\cdot h_a.$$ De aici: $$h_a=\frac{141,3}{28,26}=5\text{dm}.$$

Răspuns: a) Aproximativ $282,6$ litri. b) Apa se ridică până la $5$ dm (adică exact la jumătatea butoiului – ceea ce are sens, fiindcă $141,3$ este jumătate din $282,6$).

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu toți pașii scriși îngrijit. Exprimă rezultatele în funcție de $\pi$ dacă nu se cere altfel.

1. Un cilindru are $R=6$ cm și $h=10$ cm. Calculează aria laterală.

2. Pentru cilindrul cu $R=2$ cm și $h=7$ cm, calculează aria unei baze și apoi suprafața ambelor baze.

3. Un cilindru are $R=5$ cm și $h=9$ cm. Calculează aria totală (folosește forma $2\pi R(R+h)$).

4. Calculează volumul cilindrului cu $R=4$ cm și $h=6$ cm.

5. Un cilindru are $R=10$ cm și $h=20$ cm. Calculează aria laterală folosind $\pi \approx 3,14$.

6. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă dublezi înălțimea unui cilindru (raza rămâne aceeași), atunci volumul se dublează."

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă dublezi raza unui cilindru (înălțimea rămâne aceeași), atunci volumul se dublează."

8. Un cilindru are volumul $V=63\pi {\text{cm}}^3$ și raza $R=3$ cm. Află înălțimea.

9. Un cilindru are volumul $V=100\pi {\text{cm}}^3$ și înălțimea $h=4$ cm. Află raza bazei.

10. Un cilindru are aria laterală $A_l=40\pi {\text{cm}}^2$ și înălțimea $h=5$ cm. Află raza bazei.

11. Un cilindru are aria laterală $A_l=54\pi {\text{cm}}^2$ și raza $R=3$ cm. Află înălțimea, apoi calculează volumul cilindrului. (item tip Evaluare Națională)

12. O conservă cilindrică are $R=4$ cm și $h=10$ cm. Câtă hârtie de etichetă (fără capace) este necesară pentru a acoperi complet suprafața laterală o singură dată? Dă rezultatul și în funcție de $\pi$, și aproximativ cu $\pi \approx 3,14$.

13. Un rezervor cilindric are raza $R=2$ m și înălțimea $h=5$ m. Câți litri de apă încap în el? (Indicație: $1{\text{ m}}^3=1000$ L; folosește $\pi \approx 3,14$.)

14. Un cilindru are aria totală $A_t=90\pi {\text{cm}}^2$ și raza $R=3$ cm. Află înălțimea. (Indicație: pornește de la $A_t=2\pi R(R+h)$.)

15. Doi cilindri au aceeași înălțime $h=8$ cm. Primul are raza $R_1=2$ cm, al doilea are raza $R_2=4$ cm. De câte ori este volumul celui de-al doilea mai mare decât al primului?

16. Un tub de carton (cilindru fără baze) are înălțimea $h=30$ cm și circumferința bazei egală cu $16\pi$ cm. Află raza bazei și aria laterală a tubului.

17. Un cilindru are diametrul bazei $d=12$ cm și înălțimea $h=7$ cm. Calculează volumul. (Atenție: ți se dă diametrul, nu raza!)

18. (Evaluare Națională, mai multe cerințe) Un vas cilindric are raza bazei $R=6$ cm și înălțimea $h=15$ cm. a) Calculează aria totală a vasului (în funcție de $\pi$). b) Calculează volumul vasului (în funcție de $\pi$). c) În vas se toarnă $270\pi {\text{cm}}^3$ de suc. Până la ce înălțime se ridică sucul?

Răspunsuri și explicații

1. $A_l=2\pi \cdot 6\cdot 10=120\pi {\text{cm}}^2$.

2. $A_{\text{baza˘}}=\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{cm}}^2$; ambele baze: $2\cdot 4\pi =8\pi {\text{cm}}^2$.

3. $A_t=2\pi \cdot 5\cdot (5+9)=10\pi \cdot 14=140\pi {\text{cm}}^2$.

4. $V=\pi \cdot 4^2\cdot 6=\pi \cdot 16\cdot 6=96\pi {\text{cm}}^3$.

5. $A_l=2\pi \cdot 10\cdot 20=400\pi \approx 400\cdot 3,14=1256{\text{cm}}^2$.

6. Adevărat. $V=\pi R^{2}h$. Dacă $h$ devine $2h$ (iar $R$ nu se schimbă), volumul devine $\pi R^2(2h)=2\cdot \pi R^{2}h=2V$. Volumul se dublează, pentru că $h$ apare la puterea întâi.

7. Fals. Dacă $R$ devine $2R$, volumul devine $\pi (2R{)}^{2}h=\pi \cdot 4R^2\cdot h=4\cdot \pi R^{2}h=4V$. Se face de 4 ori mai mare, nu de 2, fiindcă raza apare la pătrat.

8. $h=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{63\pi }{\pi \cdot 9}=\frac{63}{9}=7\text{cm}$.

9. $R^2=\frac{V}{\pi h}=\frac{100\pi }{\pi \cdot 4}=25$, deci $R=\sqrt{25}=5\text{cm}$.

10. $R=\frac{A_l}{2\pi h}=\frac{40\pi }{2\pi \cdot 5}=\frac{40\pi }{10\pi }=4\text{cm}$.

11. Întâi înălțimea: $h=\frac{A_l}{2\pi R}=\frac{54\pi }{2\pi \cdot 3}=\frac{54\pi }{6\pi }=9\text{cm}$. Apoi volumul: $V=\pi \cdot 3^2\cdot 9=\pi \cdot 9\cdot 9=81\pi {\text{cm}}^3$.

12. Eticheta = aria laterală: $A_l=2\pi \cdot 4\cdot 10=80\pi {\text{cm}}^2\approx 80\cdot 3,14=251,2{\text{cm}}^2$.

13. $V=\pi \cdot 2^2\cdot 5=20\pi {\text{m}}^3\approx 20\cdot 3,14=62,8{\text{m}}^3$. În litri: $62,8\cdot 1000=62800$ litri.

14. $A_t=2\pi R(R+h)\Rightarrow 90\pi =2\pi \cdot 3\cdot (3+h)=6\pi (3+h)$. Împărțim prin $6\pi$: $\frac{90\pi }{6\pi }=15=3+h$, deci $h=12\text{cm}$.

15. $V_1=\pi \cdot 2^2\cdot 8=32\pi {\text{cm}}^3$; $V_2=\pi \cdot 4^2\cdot 8=128\pi {\text{cm}}^3$. Raportul: $\frac{V_2}{V_1}=\frac{128\pi }{32\pi }=4$. Volumul al doilea este de 4 ori mai mare (raza s-a dublat, deci volumul crește de $2^2=4$ ori).

16. Din circumferință: $2\pi R=16\pi \Rightarrow R=8\text{cm}$. Aria laterală: $A_l=2\pi Rh=16\pi \cdot 30=480\pi {\text{cm}}^2$. (Am folosit că $2\pi R=16\pi$ direct în formulă.)

17. Diametrul este $d=12$ cm, deci raza este $R=\frac{d}{2}=6\text{cm}$. Volumul: $V=\pi \cdot 6^2\cdot 7=\pi \cdot 36\cdot 7=252\pi {\text{cm}}^3$.

18. a) $A_t=2\pi \cdot 6\cdot (6+15)=12\pi \cdot 21=252\pi {\text{cm}}^2$. b) $V=\pi \cdot 6^2\cdot 15=\pi \cdot 36\cdot 15=540\pi {\text{cm}}^3$. c) Sucul are aceeași rază $R=6$: $270\pi =\pi \cdot 6^2\cdot h_s=36\pi \cdot h_s$, deci $h_s=\frac{270\pi }{36\pi }=7,5\text{cm}$. (Este exact jumătate din $15$ cm, fiindcă $270\pi$ e jumătate din $540\pi$.)

De reținut

• Aria laterală: $A_l=2\pi Rh$ — obținută din dreptunghiul desfășurării (circumferința bazei × înălțimea).
• Aria totală: $A_t=A_l+2A_{\text{baza˘}}=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi R(R+h)$ — suprafața laterală plus cele două discuri de bază.
• Volumul: $V=A_{\text{baza˘}}\cdot h=\pi R^{2}h$ — cât spațiu ocupă (câtă apă încape).
• Unitățile: aria în unități pătrate (${\text{cm}}^2$), volumul în unități cubice (${\text{cm}}^3$); $1\text{ L}=1{\text{ dm}}^3=1000{\text{ cm}}^3$.
• Problema inversă: scrie formula de bază, înlocuiește ce știi și izolează necunoscuta ($h=\frac{V}{\pi R^2}$, $R=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}$ etc.).

Greșeli frecvente

• Confuzia arie ↔ volum. Aria se măsoară în ${\text{cm}}^2$, volumul în ${\text{cm}}^3$. Dacă răspunsul tău la volum e în cm², sigur ai greșit formula. Verifică mereu unitatea!
• Uitarea celei de-a doua baze la aria totală. Cilindrul are două baze, deci adaugi $2\pi R^2$, nu doar $\pi R^2$. O greșeală tipică e $A_t=2\pi Rh+\pi R^2$ (lipsește un disc).
• Confuzia dintre rază și diametru. Dacă enunțul dă diametrul $d$, împarte-l la 2 înainte de a înlocui: $R=\frac{d}{2}$. Altfel obții un rezultat de câteva ori prea mare.
• „Raza la pătrat" greșit calculată la volum. În $V=\pi R^{2}h$, doar raza se ridică la pătrat, nu produsul $R\cdot h$. Scrie mai întâi $R^2$, apoi înmulțește cu $h$. Și amintește-ți: dacă dublezi raza, volumul crește de 4 ori (nu de 2), tocmai din cauza pătratului.

Aplică acasă

1. Măsoară o conservă reală. Ia o cutie de conserve din bucătărie. Cu o riglă, măsoară diametrul capacului (împarte la 2 ca să obții raza $R$) și înălțimea $h$. Calculează aria totală (cât metal a folosit fabrica) și volumul (câți cm³, deci câți mililitri, încap). Compară volumul tău cu capacitatea scrisă pe etichetă – ar trebui să fie apropiate!

2. Verifică un pahar. Alege un pahar cilindric. Măsoară raza și înălțimea, calculează volumul teoretic în cm³, apoi transformă-l în mililitri ($1{\text{ cm}}^3=1\text{ mL}$). Umple paharul cu apă și toarn-o într-un vas gradat (sau o sticlă cu marcaje). Cât de aproape este valoarea măsurată de cea calculată? Discută de unde vin micile diferențe (paharul poate fi ușor conic, marginea groasă etc.).

3. Proiect „rezervor". Imaginează un rezervor de apă cilindric pentru grădină cu raza $R=0,5$ m și înălțimea $h=1,2$ m. Calculează câți litri de apă poate stoca. (Indicație: lucrează în dm, $R=5$ dm, $h=12$ dm, iar rezultatul în dm³ este chiar numărul de litri.)

Pentru părinți și profesori

Această lecție este pilonul central al capitolului despre corpuri rotunde și apare frecvent la Evaluarea Națională, atât ca item cu răspuns scurt (calcul direct de arie sau volum), cât și ca problemă cu mai multe cerințe (subiectul al III-lea), unde elevul trebuie să afle o dimensiune necunoscută și apoi să calculeze o altă mărime.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să spună cu voce tare ce reprezintă fiecare formulă, nu doar să o memoreze: $A_l$ e „eticheta", $A_t$ e „toată coaja", $V$ e „câtă apă încape".
• Insistați pe verificarea unităților la finalul fiecărei probleme – e un reflex care salvează puncte la examen.
• Legați formulele de desfășurare: dacă elevul înțelege că aria laterală vine din dreptunghiul cu laturile $2\pi R$ și $h$, nu va mai încurca niciodată formula.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce în formula ariei totale apare $2\pi R^2$ și nu doar $\pi R^2$?" (Răspuns corect: pentru că sunt două baze.)
• „Dacă dublez raza, de câte ori crește volumul?" (Răspuns: de 4 ori, din cauza pătratului.)
• „Ce unitate are volumul și de ce nu poate fi cm²?"

Dacă elevul răspunde corect la aceste trei întrebări și rezolvă o problemă inversă (aflarea razei sau înălțimii dintr-un volum dat), a înțeles solid lecția. Pentru consolidare, treceți apoi la Conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul și la Probleme aplicative cu arii și volume ale corpurilor rotunde.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei laterale a cilindrului în clasa a 8-a? Aria laterală a cilindrului circular drept este $A_l=2\pi Rh$, unde $R$ este raza bazei și $h$ este înălțimea. Formula se deduce din desfășurarea suprafeței laterale, care este un dreptunghi cu laturile $2\pi R$ (circumferința bazei) și $h$.

Care este formula volumului cilindrului? Volumul cilindrului este $V=\pi R^{2}h$, adică aria bazei ($\pi R^2$) înmulțită cu înălțimea. Rezultatul se măsoară în unități cubice: ${\text{cm}}^3$, ${\text{dm}}^3$ sau ${\text{m}}^3$.

Care este formula ariei totale a cilindrului? Aria totală este $A_t=2\pi R(R+h)$, care se poate scrie și desfăcut ca $A_t=2\pi Rh+2\pi R^2$. Ea reprezintă aria laterală plus ariile celor două baze circulare.

Cum aflu înălțimea cilindrului dacă știu volumul și raza? Pornești de la $V=\pi R^{2}h$ și izolezi înălțimea: $h=\frac{V}{\pi R^2}$. Înlocuiești valorile cunoscute și, dacă volumul e dat în funcție de $\pi$, factorul $\pi$ se simplifică.

Cum aflu raza cilindrului dacă știu volumul și înălțimea? Din $V=\pi R^{2}h$ obții $R^2=\frac{V}{\pi h}$, apoi $R=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Reține că raza este întotdeauna pozitivă, deci iei doar rădăcina pătrată pozitivă.

Ce fac dacă în problemă mi se dă diametrul, nu raza? Împarți diametrul la 2 pentru a obține raza: $R=\frac{d}{2}$. Apoi folosești formulele obișnuite cu $R$. Este o greșeală foarte frecventă să introduci diametrul direct în formulă.

Câți litri încap într-un cilindru? Calculezi volumul în ${\text{dm}}^3$ (decimetri cubi), pentru că $1{\text{ dm}}^3=1$ litru. Dacă ai volumul în ${\text{cm}}^3$, îl împarți la 1000 ca să obții litri, fiindcă $1000{\text{ cm}}^3=1\text{ L}$.

Când las răspunsul în funcție de π și când aproximez? Dacă enunțul cere „în funcție de $\pi$" sau nu precizează nimic, lași forma exactă, de exemplu $200\pi {\text{cm}}^3$. Dacă enunțul dă $\pi \approx 3,14$ sau cere o valoare aproximativă, înmulțești numărul din fața lui $\pi$ cu $3,14$.