Conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul

Uită-te la o pâlnie, la o cornetă de înghețată, la un coif de petrecere sau la vârful ascuțit al unui creion bine ascuțit: toate au aceeași formă, cea de con. Dacă un cofetar vrea să știe cât carton îi trebuie pentru o cornetă sau câți mililitri de înghețată încap în ea, răspunsul se ascunde în trei formule pe care le vei stăpâni în această lecție: aria laterală, aria totală și volumul conului. În lecția anterioară, Conul circular drept: descriere, desfășurare și generatoare, am cunoscut corpul și elementele lui; acum trecem la partea care aduce puncte la Evaluarea Națională: calculul de arii și volume.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria laterală a unui con cu formula $A_l=\pi R\cdot G$ și să înțelegi de unde vine ea.
• Vei ști să calculezi aria totală cu formula $A_t=\pi R(G+R)$.
• Vei ști să calculezi volumul conului cu formula $V=\frac{\pi R^2\cdot h}{3}$.
• Vei ști să folosești relația $G^2=R^2+h^2$ pentru a afla generatoarea, înălțimea sau raza atunci când îți lipsește una dintre ele.
• Vei ști să alegi metoda potrivită de rezolvare pentru o problemă cu conul, în funcție de datele pe care le ai.

Hai să descoperim împreună

1. Recapitulăm rapid elementele conului

Un con circular drept are:

• o bază care este un cerc de rază $R$;
• un vârf $V$ (numit și apex), situat exact deasupra centrului bazei;
• înălțimea $h$ = distanța de la vârf la planul bazei (segmentul $VO$, unde $O$ este centrul cercului de bază);
• generatoarea $G$ = distanța de la vârf la un punct oarecare de pe cercul bazei (adică lungimea „laturii înclinate").

Cheia întregii lecții este acest triunghi dreptunghic ascuns în con: triunghiul $VOA$, unde $O$ este centrul bazei și $A$ un punct de pe cerc. Unghiul din $O$ este drept (înălțimea este perpendiculară pe planul bazei), catetele sunt $h$ și $R$, iar ipotenuza este chiar generatoarea $G$. Din teorema lui Pitagora obținem relația pe care o vom folosi la fiecare pas:

$$G^2=R^2+h^2$$

Din ea putem afla orice mărime dacă le cunoaștem pe celelalte două:

$$G=\sqrt{R^2+h^2},h=\sqrt{G^2-R^2},R=\sqrt{G^2-h^2}.$$

Reține: dintre cele trei mărimi $R$, $h$, $G$, generatoarea $G$ este cea mai mare (este ipotenuza), iar $h<G$ și $R<G$ mereu.

2. Aria laterală: de unde vine $A_l=\pi R\cdot G$

Ca să înțelegem aria laterală, „desfășurăm" suprafața laterală a conului pe o foaie plană, exact cum am făcut în lecția precedentă. Dacă tăiem conul de-a lungul unei generatoare și îl întindem, suprafața laterală se transformă într-un sector de cerc.

Acest sector are:

• raza egală cu generatoarea $G$ (fiecare generatoare devine o rază a sectorului);
• lungimea arcului egală cu circumferința bazei, adică $2\pi R$ (marginea bazei se „desface" în arcul sectorului).

Cum aflăm aria acestui sector? Ne folosim de o proporție simplă. Un disc complet de rază $G$ are aria $\pi G^2$ și îi corespunde un arc egal cu întreaga circumferință $2\pi G$. Sectorul nostru are doar arcul $2\pi R$. Aria sectorului este direct proporțională cu lungimea arcului lui:

$$\frac{A_l}{\pi G^2}=\frac{2\pi R}{2\pi G}.$$

Simplificăm fracția din dreapta prin $2\pi$ și rămâne $\frac{R}{G}$:

$$A_l=\pi G^2\cdot \frac{R}{G}=\pi R\cdot G.$$

Am obținut formula fundamentală:

$$\boxed{A_l=\pi R\cdot G}$$

Analogie utilă: gândește-te la sector ca la o „felie de pizza". Cu cât arcul (marginea crocantă) este mai lung față de întreaga circumferință, cu atât felia e mai mare. Raportul $\frac{R}{G}$ ne spune ce fracțiune din discul întreg reprezintă felia noastră.

3. Aria bazei și aria totală

Baza conului este un cerc de rază $R$, deci aria ei este cea a discului:

$$A_b=\pi R^2.$$

Aria totală înseamnă tot ce ar trebui vopsit sau acoperit: suprafața laterală plus discul de la bază.

$$A_t=A_l+A_b=\pi RG+\pi R^2.$$

Scoatem factorul comun $\pi R$ (recunoști descompunerea în factori din algebră — vezi Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun):

$$\boxed{A_t=\pi R(G+R)}$$

⚠️ Atenție la o subtilitate: o cornetă de înghețată sau un coif au aria totală egală doar cu aria laterală, pentru că sunt goale sus și nu au capac (baza lipsește). Când problema spune „con deschis", „pâlnie" sau „acoperiș conic fără fund", folosești $A_l$, nu $A_t$. Citește cu atenție enunțul!

4. Volumul conului

Volumul ne spune cât încape în interiorul conului (câtă înghețată, cât nisip, cât lichid). Pentru un con, volumul se calculează cu formula:

$$\boxed{V=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{\pi R^2\cdot h}{3}}$$

De ce apare acel $÷3$? Iată intuiția: dacă iei un cilindru cu aceeași bază (rază $R$) și aceeași înălțime $h$ ca un con, atunci volumul conului este exact o treime din volumul cilindrului.

Poți verifica asta acasă cu un experiment: dacă umpli un con cu nisip și îl torni într-un cilindru de aceeași bază și înălțime, ai nevoie de exact 3 conuri pline ca să umpli cilindrul. Comparativ, volumul cilindrului era $V_{cil}=\pi R^{2}h$ (din lecția Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul), deci al conului este a treia parte din el. Aceeași regulă „împărțit la 3" o ai și la piramidă, unde $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$ — conul este, de fapt, o „piramidă cu baza cerc".

⚠️ Foarte important: în formula volumului intră înălțimea $h$, NU generatoarea $G$! O greșeală frecventă la examen este să pui $G$ în locul lui $h$. Dacă problema îți dă $G$ și $R$, mai întâi calculezi $h=\sqrt{G^2-R^2}$ și abia apoi îl folosești în volum.

5. Cum alegi metoda de rezolvare (strategia)

Aproape orice problemă cu conul îți dă două dintre mărimile $R$, $h$, $G$ și îți cere arii sau volume. Procedura este mereu aceeași:

1. Notează ce ai (de exemplu $R$ și $h$) și ce ți se cere ($A_l$, $A_t$ sau $V$).
2. Verifică ce lipsește pentru formulele cerute:
   • $A_l=\pi RG$ și $A_t=\pi R(G+R)$ au nevoie de $R$ și $G$;
   • $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$ are nevoie de $R$ și $h$.
3. Completează mărimea lipsă cu relația lui Pitagora $G^2=R^2+h^2$.
4. Calculează și scrie rezultatul cu unitatea de măsură corectă: arii în ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$; volume în ${\text{cm}}^3$, ${\text{m}}^3$, eventual litri ($1{\text{dm}}^3=1\text{L}$).

Un ultim sfat de aur pentru Evaluarea Națională: la multe probleme rezultatul se lasă „în funcție de $\pi$" (de exemplu $A_l=60\pi {\text{cm}}^2$). Nu înlocui $\pi$ cu $3,14$ decât dacă enunțul cere explicit un rezultat aproximativ. Astfel eviți erorile de rotunjire și scrii un răspuns exact.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ai raza și generatoarea, ceri aria laterală și aria totală

Un con circular drept are raza bazei $R=5\text{cm}$ și generatoarea $G=13\text{cm}$. Calculează aria laterală și aria totală.

Rezolvare. Avem direct $R$ și $G$, exact ce ne trebuie pentru arii.

Aria laterală: $$A_l=\pi RG=\pi \cdot 5\cdot 13=65\pi {\text{cm}}^2.$$

Aria totală: $$A_t=\pi R(G+R)=\pi \cdot 5\cdot (13+5)=\pi \cdot 5\cdot 18=90\pi {\text{cm}}^2.$$

Răspuns: $A_l=65\pi {\text{cm}}^2$ și $A_t=90\pi {\text{cm}}^2$.

Exemplul 2 — Ai raza și înălțimea, ceri generatoarea și volumul

Un con are raza $R=6\text{cm}$ și înălțimea $h=8\text{cm}$. Află generatoarea și volumul.

Rezolvare. Pentru volum îmi ajung $R$ și $h$, dar pentru generatoare folosesc Pitagora.

Generatoarea: $$G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

Volumul: $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 8}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=\frac{288\pi }{3}=96\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns: $G=10\text{cm}$ și $V=96\pi {\text{cm}}^3$.

Exemplul 3 — Ai generatoarea și raza, ceri volumul (trebuie aflată înălțimea)

Un con are generatoarea $G=17\text{cm}$ și raza $R=8\text{cm}$. Calculează volumul.

Rezolvare. Volumul cere $h$, dar nu îl am. Îl aflu din Pitagora: $$h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\text{cm}.$$

Acum volumul: $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 8^2\cdot 15}{3}=\frac{\pi \cdot 64\cdot 15}{3}=\frac{960\pi }{3}=320\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns: $V=320\pi {\text{cm}}^3$. (Observă cum, deși problema dădea $G$, a trebuit să trecem prin $h$ înainte de a folosi formula volumului — aici e capcana.)

Exemplul 4 — Problemă cu unghiul secțiunii axiale (triunghi echilateral)

Secțiunea axială a unui con este un triunghi echilateral cu latura de $12\text{cm}$. Află aria totală și volumul conului.

Rezolvare. Secțiunea axială este triunghiul obținut tăind conul cu un plan care trece prin vârf și prin centrul bazei. Baza acestui triunghi este diametrul bazei conului, iar cele două laturi înclinate sunt generatoare.

Deci:

• latura triunghiului = generatoarea: $G=12\text{cm}$;
• baza triunghiului = diametrul: $2R=12$, de unde $R=6\text{cm}$.

Înălțimea conului este chiar înălțimea triunghiului echilateral (din Pitagora în jumătatea triunghiului): $$h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\text{cm}.$$

Aria totală: $$A_t=\pi R(G+R)=\pi \cdot 6\cdot (12+6)=\pi \cdot 6\cdot 18=108\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 6\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 6\sqrt{3}}{3}=\frac{216\sqrt{3}\pi }{3}=72\sqrt{3}\pi {\text{cm}}^3.$$

Răspuns: $A_t=108\pi {\text{cm}}^2$ și $V=72\sqrt{3}\pi {\text{cm}}^3$.

Exemplul 5 — Problemă aplicată: cât carton pentru o cornetă

O firmă vrea să facă cornete conice (fără capac) pentru cartofi prăjiți. Fiecare cornetă are raza gurii $R=3,5\text{cm}$ și generatoarea $G=12\text{cm}$. Cât carton (în ${\text{cm}}^2$) intră într-o cornetă? Folosește $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Rezolvare. O cornetă este deschisă sus, deci nu are bază: suprafața de carton este doar cea laterală. $$A_l=\pi RG\approx \frac{22}{7}\cdot 3,5\cdot 12.$$ Calculăm $\frac{22}{7}\cdot 3,5=\frac{22}{7}\cdot \frac{7}{2}=\frac{22}{2}=11$, apoi $11\cdot 12=132$.

Răspuns: o cornetă necesită aproximativ $132{\text{cm}}^2$ de carton. (Am ales $\pi \approx 22/7$ pentru că $R=3,5=7/2$ se simplifică frumos cu numitorul $7$.)

Exemplul 6 — Se dau volumul și înălțimea, se cere raza (item tip Evaluare Națională)

Un vas conic are volumul $V=12\pi {\text{cm}}^3$ și înălțimea $h=9\text{cm}$. Determină raza bazei și apoi generatoarea.

Rezolvare. Pornim de la formula volumului și „mergem invers": $$V=\frac{\pi R^{2}h}{3}\Rightarrow 12\pi =\frac{\pi R^2\cdot 9}{3}.$$ Simplificăm prin $\pi$: $$12=\frac{9R^2}{3}=3R^2\Rightarrow R^2=4\Rightarrow R=2\text{cm}.$$ (Alegem valoarea pozitivă, fiind lungime.)

Generatoarea: $$G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{2^2+9^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\text{cm}.$$

Răspuns: $R=2\text{cm}$ și $G=\sqrt{85}\text{cm}$ (aproximativ $9,22\text{cm}$).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii scriși îngrijit, apoi verifică-te cu secțiunea de răspunsuri. Acolo unde e nevoie, fă un desen.

1. Un con are $R=3\text{cm}$ și $G=7\text{cm}$. Calculează aria laterală.

2. Un con are $R=4\text{cm}$ și $G=9\text{cm}$. Calculează aria totală.

3. Un con are $R=3\text{cm}$ și $h=4\text{cm}$. Află generatoarea $G$.

4. Un con are $R=5\text{cm}$ și $h=12\text{cm}$. Calculează volumul și generatoarea.

5. Un con are $R=6\text{cm}$ și $G=10\text{cm}$. Calculează înălțimea, apoi volumul.

6. Un con are $h=8\text{cm}$ și $G=17\text{cm}$. Află raza bazei, apoi aria totală.

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un con circular drept, generatoarea poate fi egală cu înălțimea."

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Volumul conului se calculează cu formula $V=\pi R^{2}G/3$."

9. Un con are $R=7\text{cm}$ și $h=24\text{cm}$. Calculează aria totală. (Vei avea nevoie de $G$.)

10. Aria laterală a unui con este $24\pi {\text{cm}}^2$, iar raza este $R=4\text{cm}$. Află generatoarea.

11. Volumul unui con este $48\pi {\text{cm}}^3$ și raza $R=4\text{cm}$. Află înălțimea.

12. Secțiunea axială a unui con este un triunghi dreptunghic isoscel cu cateta de $8\text{cm}$. (Cele două catete sunt generatoarele, iar ipotenuza este diametrul.) Află raza, înălțimea și volumul conului.

13. Un acoperiș conic pentru un foișor are diametrul de $6\text{m}$ și înălțimea de $4\text{m}$. Câți ${\text{m}}^2$ de tablă sunt necesari pentru a acoperi doar suprafața laterală (fără fund)?

14. Două conuri au aceeași rază, dar al doilea are înălțimea de $3$ ori mai mare decât primul. De câte ori este mai mare volumul celui de-al doilea față de primul? Justifică.

15. Un pahar conic (fără capac) are $R=3\text{cm}$ și $h=8\text{cm}$. Ce volum de apă încape în el, exprimat în funcție de $\pi$? Aproximează apoi în mililitri, știind că $1{\text{cm}}^3=1\text{mL}$ și $\pi \approx 3,14$.

16. Un con are aria totală $A_t=96\pi {\text{cm}}^2$ și raza $R=6\text{cm}$. Află generatoarea, apoi înălțimea.

17. (Item tip Evaluare Națională) Un con circular drept are raza $R=9\text{cm}$ și generatoarea $G=15\text{cm}$. a) Arată că înălțimea conului este de $12\text{cm}$. b) Calculează aria totală a conului. c) Calculează volumul conului.

18. (Provocare) Un con are volumul $V=100\pi {\text{cm}}^3$ și raza $R=5\text{cm}$. Un al doilea con are aceeași înălțime, dar raza dublă. Calculează volumul celui de-al doilea con și compară-l cu primul.

Răspunsuri și explicații

1. $A_l=\pi RG=\pi \cdot 3\cdot 7=21\pi {\text{cm}}^2$.

2. $A_t=\pi R(G+R)=\pi \cdot 4\cdot (9+4)=\pi \cdot 4\cdot 13=52\pi {\text{cm}}^2$.

3. $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{cm}$.

4. $G=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{cm}$; $V=\frac{\pi \cdot 5^2\cdot 12}{3}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 12}{3}=\frac{300\pi }{3}=100\pi {\text{cm}}^3$.

5. $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{cm}$; $V=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 8}{3}=\frac{288\pi }{3}=96\pi {\text{cm}}^3$.

6. $R=\sqrt{G^2-h^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\text{cm}$; $A_t=\pi R(G+R)=\pi \cdot 15\cdot (17+15)=\pi \cdot 15\cdot 32=480\pi {\text{cm}}^2$.

7. Fals. Generatoarea $G$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $R$ și $h$, deci $G>h$ mereu (ipotenuza este strict mai mare decât fiecare catetă, pentru că $R>0$). Egalitatea $G=h$ ar cere $R=0$, adică n-ar mai fi con.

8. Fals. În formula volumului intră înălțimea $h$, nu generatoarea $G$. Formula corectă este $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$. Confuzia $G\leftrightarrow h$ este exact greșeala pe care baremul o penalizează.

9. $G=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\text{cm}$; $A_t=\pi \cdot 7\cdot (25+7)=\pi \cdot 7\cdot 32=224\pi {\text{cm}}^2$.

10. Din $A_l=\pi RG$: $24\pi =\pi \cdot 4\cdot G\Rightarrow 24=4G\Rightarrow G=6\text{cm}$.

11. $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$: $48\pi =\frac{\pi \cdot 16\cdot h}{3}\Rightarrow 48=\frac{16h}{3}\Rightarrow 16h=144\Rightarrow h=9\text{cm}$.

12. Secțiunea este un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $=G=8\text{cm}$ (generatoarele), iar unghiul drept este în vârful conului. Ipotenuza (diametrul) este $2R=G\sqrt{2}=8\sqrt{2}$, deci $R=4\sqrt{2}\text{cm}$. Înălțimea conului: $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{64-(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{cm}$. Volumul: $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 32\cdot 4\sqrt{2}}{3}=\frac{128\sqrt{2}\pi }{3}{\text{cm}}^3$. (Verificare: $R^2=(4\sqrt{2}{)}^2=32$; $h=4\sqrt{2}$; produsul $32\cdot 4\sqrt{2}=128\sqrt{2}$, împărțit la 3.)

13. Diametrul $6\text{m}\Rightarrow R=3\text{m}$; $h=4\text{m}$. $G=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{m}$. Suprafața laterală: $A_l=\pi RG=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi {\text{m}}^2\approx 47,1{\text{m}}^2$ (cu $\pi \approx 3,14$).

14. Volumul este direct proporțional cu înălțimea ($V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$, cu $R$ neschimbat). Dacă $h$ se triplează, volumul se triplează: al doilea con are volumul de 3 ori mai mare.

15. $V=\frac{\pi \cdot 3^2\cdot 8}{3}=\frac{72\pi }{3}=24\pi {\text{cm}}^3$. Aproximativ: $24\cdot 3,14=75,36{\text{cm}}^3\approx 75,4\text{mL}$.

16. $A_t=\pi R(G+R)$: $96\pi =\pi \cdot 6\cdot (G+6)\Rightarrow 96=6(G+6)\Rightarrow G+6=16\Rightarrow G=10\text{cm}$. Apoi $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{cm}$.

17. a) $h=\sqrt{G^2-R^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{cm}$. ✓ b) $A_t=\pi R(G+R)=\pi \cdot 9\cdot (15+9)=\pi \cdot 9\cdot 24=216\pi {\text{cm}}^2$. c) $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 81\cdot 12}{3}=\frac{972\pi }{3}=324\pi {\text{cm}}^3$.

18. Primul: din $V=\frac{\pi R^{2}h}{3}$, $100\pi =\frac{\pi \cdot 25\cdot h}{3}\Rightarrow 100=\frac{25h}{3}\Rightarrow h=12\text{cm}$. Al doilea con: aceeași înălțime $h=12$, rază $R^{\prime }=10\text{cm}$. $V^{\prime }=\frac{\pi \cdot 10^2\cdot 12}{3}=\frac{1200\pi }{3}=400\pi {\text{cm}}^3$. Deci $V^{\prime }=4V$: dublând raza, volumul crește de $2^2=4$ ori (raza apare la pătrat în formulă).

De reținut

• Aria laterală: $A_l=\pi R\cdot G$ (dedusă din desfășurarea în sector de cerc, cu raza $G$ și arcul $2\pi R$).
• Aria totală: $A_t=A_l+A_b=\pi RG+\pi R^2=\pi R(G+R)$.
• Volumul: $V=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{\pi R^2\cdot h}{3}$ (o treime din cilindrul cu aceeași bază și înălțime; se folosește $h$, NU $G$).
• Relația fundamentală: $G^2=R^2+h^2$, cu $G$ ipotenuza — cea mai mare dintre $R$, $h$, $G$. De aici $G=\sqrt{R^2+h^2}$, $h=\sqrt{G^2-R^2}$, $R=\sqrt{G^2-h^2}$.
• Strategie: vezi ce ai și ce ți se cere, completează mărimea lipsă cu Pitagora, apoi aplică formula. Lasă rezultatul „în funcție de $\pi$" dacă enunțul nu cere aproximare.

Greșeli frecvente

• Confuzia $G$ cu $h$ în volum. Cea mai des penalizată greșeală: se pune generatoarea în formula volumului. Reține: volumul folosește înălțimea $h$; dacă ai doar $G$ și $R$, calculează întâi $h=\sqrt{G^2-R^2}$.
• Uitarea sau adăugarea greșită a bazei. Când corpul este deschis (cornetă, coif, pahar, acoperiș), aria cerută este doar $A_l$. Când e „închis", ai $A_t=A_l+\pi R^2$. Citește cu atenție dacă are sau nu capac.
• Folosirea diametrului în loc de rază. Dacă enunțul dă diametrul, împarte-l la 2 înainte de a-l pune în formule: $R=d/2$. La secțiunea axială, baza triunghiului este diametrul $2R$, nu raza.
• Uitarea împărțirii la 3 sau ridicarea greșită la pătrat. Volumul are $R^2$ (nu $R$) și se împarte la 3. Verifică-ți mereu: dublezi raza → volumul crește de 4 ori; triplezi înălțimea → volumul crește de 3 ori.

Aplică acasă

1. Cornetul real. Ia o pâlnie sau o cornetă de înghețată din casă. Măsoară cu rigla raza gurii ($R$) și generatoarea (de la vârf până la margine, $G$). Calculează câtă hârtie/carton a fost nevoie ($A_l=\pi RG$) și, dacă e un pahar, ce volum de lichid încape ($V=\pi R^{2}h/3$, unde $h=\sqrt{G^2-R^2}$). Compară volumul calculat cu ce citești turnând apă în el, cu ajutorul unei căni gradate.

2. Grămada de nisip sau sare. Când torni sare, nisip sau făină pe o suprafață plană, ea formează natural un con. Măsoară diametrul bazei și înălțimea grămezii și estimează câți ${\text{cm}}^3$ de material ai turnat. Este exact metoda pe care o folosesc inginerii pentru a estima volumul stocurilor de agregate din depozite.

3. Experimentul „1 = 3". Confecționează din carton un con și un cilindru cu aceeași rază și aceeași înălțime (deschise la un capăt). Umple conul cu orez și toarnă-l în cilindru. Numără de câte conuri pline ai nevoie ca să umpli cilindrul — vei obține exact 3, confirmând formula $V_{con}=\frac{1}{3}{V}_{cil}$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie „trilogia" arie–volum a corpurilor rotunde (după cilindru, urmează trunchiul de con și sfera) și este un teren fertil de puncte la Evaluarea Națională, unde apar frecvent itemi cu conul, atât la subiectul II (probleme cu mai multe cerințe punctate separat), cât și la subiectul I (grile scurte cu o singură formulă).

Cum verificați dacă elevul a înțeles cu adevărat, dincolo de memorarea formulelor:

• Cereți-i să explice de unde vine aria laterală (desfășurarea în sector). Dacă poate reface raționamentul cu arcul $2\pi R$ și raza $G$, a înțeles, nu doar a memorat.
• Puneți întrebarea-capcană: „Ce mărime intră în volum, $h$ sau $G$?" Răspunsul corect ($h$) și motivul (volumul măsoară „cât încape pe verticală") arată maturitate.
• Dați-i o problemă în care se cere aflarea mărimii lipsă (de exemplu, se dau $G$ și $R$, se cere $V$). Elevul trebuie să recunoască singur că mai întâi trebuie calculată înălțimea.
• La corectură, insistați pe redactarea pe pași și pe unitățile de măsură (${\text{cm}}^2$ pentru arii, ${\text{cm}}^3$ pentru volume). La examen, un rezultat corect fără unitate sau fără justificare pierde puncte.

Semnalul că elevul stăpânește lecția: rezolvă corect un item de tip 17 (cu subpunctele a–b–c) fără ajutor, scriind ordonat fiecare pas și lăsând rezultatul în funcție de $\pi$.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei laterale a conului în clasa a 8-a? Aria laterală a unui con circular drept este $A_l=\pi R\cdot G$, unde $R$ este raza bazei și $G$ este generatoarea. Ea provine din desfășurarea suprafeței laterale într-un sector de cerc cu raza $G$ și arcul de lungime $2\pi R$.

Cum se calculează aria totală a conului? Aria totală este suma dintre aria laterală și aria bazei (un disc): $A_t=\pi RG+\pi R^2$, care se scrie mai simplu $A_t=\pi R(G+R)$. Folosești aria totală doar când conul este „închis"; la o cornetă sau un coif fără fund, folosești doar aria laterală.

Care este formula volumului conului? Volumul conului este $V=\frac{\pi R^2\cdot h}{3}$, unde $h$ este înălțimea. Este exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

Ce folosesc în volum, înălțimea sau generatoarea? În formula volumului se folosește înălțimea $h$, nu generatoarea $G$. Dacă problema îți dă generatoarea și raza, calculezi mai întâi $h=\sqrt{G^2-R^2}$ și abia apoi îl pui în formula volumului.

Cum aflu generatoarea conului dacă am raza și înălțimea? Folosești relația din teorema lui Pitagora: $G^2=R^2+h^2$, deci $G=\sqrt{R^2+h^2}$. Această relație vine din triunghiul dreptunghic format de rază, înălțime și generatoare, unde generatoarea este ipotenuza.

De ce se împarte la 3 în formula volumului conului? Pentru că un con „încape" de exact 3 ori într-un cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime. Este aceeași regulă ca la piramidă, unde volumul este o treime din volumul prismei corespunzătoare.

Ce este secțiunea axială a conului și la ce ajută? Secțiunea axială este triunghiul isoscel obținut tăind conul cu un plan care trece prin vârf și prin centrul bazei. Baza lui este diametrul ($2R$), laturile sunt generatoarele ($G$), iar înălțimea lui este chiar înălțimea conului — de aceea ajută la legarea rapidă a mărimilor $R$, $h$ și $G$.

Cum las rezultatul la problemele cu conul, cu π sau fără? Lasă rezultatul „în funcție de $\pi$" (de exemplu $96\pi {\text{cm}}^3$), deoarece este exact, dacă enunțul nu cere altfel. Înlocuiește $\pi \approx 3,14$ sau $\pi \approx \frac{22}{7}$ doar când problema cere o valoare aproximativă.