Trunchiul de con circular drept: descriere, arie și volum

Gândește-te la o găleată obișnuită, la un ghiveci de flori, la un pahar de carton pentru cafea sau la abajurul unei lămpi: toate au gura mai largă decât fundul, iar pereții urcă drept, dar înclinat. Toate aceste obiecte au forma unui trunchi de con circular drept. Este corpul care rămâne dintr-un con atunci când îi retezăm vârful cu o tăietură paralelă cu baza. În această lecție vei învăța să recunoști elementele lui, să folosești relația dintre generatoare, înălțime și cele două raze și să calculezi aria laterală, aria totală și volumul — exact tipul de problemă care apare la Evaluarea Națională la subiectul de geometrie în spațiu.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii și să reprezinți trunchiul de con circular drept, obținut prin secționarea unui con cu un plan paralel cu baza.
• Vei ști să identifici elementele trunchiului de con: razele bazelor $R$ și $r$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$.
• Vei ști să aplici relația fundamentală $G^2=h^2+(R-r{)}^2$ pentru a afla o mărime necunoscută.
• Vei ști să calculezi aria laterală $A_l=\pi G(R+r)$, aria totală $A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2$ și volumul $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$.
• Vei ști să prelucrezi datele unei probleme aplicative pentru a afla mărimile necesare și a redacta corect soluția pentru punctaj.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vine trunchiul de con

Reia pentru o clipă imaginea conului circular drept, studiat în lecția despre con: un vârf $V$ și o bază în formă de cerc, unite prin suprafața laterală. Acum ia un plan paralel cu baza și taie conul cu el. Tăietura împarte conul în două părți:

• partea de sus, un con mai mic, asemenea cu cel inițial;
• partea de jos, corpul cuprins între cele două cercuri paralele, pe care îl numim trunchi de con circular drept.

Așadar, definiția pe care o reții pentru examen este:

Trunchiul de con circular drept este corpul geometric obținut prin secționarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza, păstrând partea dintre planul de secțiune și baza conului.

Cuvântul „drept" ne spune că axa corpului (dreapta care unește centrele celor două cercuri) este perpendiculară pe planurile bazelor. Această idee de secțiune paralelă cu baza a apărut deja la secțiuni paralele cu baza în corpuri: acolo am văzut că secțiunea într-un con este un cerc asemenea cu baza. Exact acel cerc devine acum baza mică a trunchiului.

Trunchiul de con se poate obține și altfel, prin rotație: dacă rotești un trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze, latura mare descrie cercul mare, latura mică descrie cercul mic, iar latura oblică (cea neperpendiculară pe baze) mătură suprafața laterală. De aceea trunchiul de con este un corp de rotație, la fel ca cilindrul și conul.

2. Elementele trunchiului de con

Un trunchi de con circular drept are următoarele elemente, pe care trebuie să le recunoști imediat pe desen:

• Baza mare — cercul de jos, cu centrul $O$ și raza $R$ (raza mai mare);
• Baza mică — cercul de sus, cu centrul $O^{\prime }$ și raza $r$ (raza mai mică), cu $r<R$;
• Înălțimea $h$ — distanța dintre planele celor două baze, adică segmentul $O{O}^{\prime }$, perpendicular pe ambele baze;
• Generatoarea $G$ — un segment de pe suprafața laterală care unește un punct de pe cercul mare cu punctul corespunzător de pe cercul mic (toate generatoarele au aceeași lungime);
• Axa — dreapta $O{O}^{\prime }$, care conține înălțimea.

Reține contrastul dintre litere: $R$ este întotdeauna raza cea mare (baza de jos), iar $r$ raza cea mică (baza de sus). A le confunda este una dintre cele mai frecvente greșeli, pentru că în formule apare diferența $R-r$, care trebuie să fie pozitivă.

3. Relația dintre generatoare, înălțime și raze

Aici este cheia întregii lecții. Cum legăm cele patru „lungimi" $G$, $h$, $R$ și $r$? Facem o secțiune axială: tăiem trunchiul cu un plan care trece prin axa $O{O}^{\prime }$. Secțiunea obținută este un trapez isoscel, cu baza mare $2R$, baza mică $2r$ și laturile neparalele egale cu $G$.

Coborâm din vârful $D$ al bazei mici o perpendiculară $DE$ pe baza mare $AB$. Se formează un triunghi dreptunghic $AED$, în care:

• cateta $DE=h$ (este chiar înălțimea trunchiului);
• cateta $AE=R-r$ (jumătatea de bază mare minus jumătatea de bază mică);
• ipotenuza $AD=G$ (generatoarea).

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul $AED$ obținem relația fundamentală:

$$G^2=h^2+(R-r{)}^2$$

Din ea putem afla oricare dintre mărimi dacă le cunoaștem pe celelalte:

$$G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2},h=\sqrt{G^2-(R-r{)}^2},R-r=\sqrt{G^2-h^2}.$$

Sub-exemplu. Dacă $R=7$ cm, $r=2$ cm și $h=12$ cm, atunci $R-r=5$, deci $G^2=12^2+5^2=144+25=169$, de unde $G=13$ cm. Observă cât de firesc apar triunghiurile pitagoreice cunoscute (aici $5\text{-}12\text{-}13$).

4. Aria laterală

Dacă „desfășurăm" suprafața laterală a trunchiului pe un plan (o tăiem de-a lungul unei generatoare și o întindem), obținem un sector de coroană circulară — un fel de „evantai curbat". Nu este nevoie să memorezi această desfășurare în detaliu; important este rezultatul, care se obține scăzând aria laterală a conului mic din aria laterală a conului mare. Formula pe care o folosești este:

$$\boxed{A_l=\pi G(R+r)}$$

Poți reține formula astfel: aria laterală este $\pi \cdot G\cdot (\text{suma razelor})$. Aceasta seamănă cu aria laterală a conului ($\pi GR$) și cu a cilindrului ($2\pi R\cdot h=\pi \cdot h\cdot (R+R)$): în toate apare produsul dintre „linia oblică/verticală" și lungimile cercurilor implicate.

5. Aria totală

Suprafața totală a trunchiului este suprafața laterală plus cele două baze, care sunt discuri (cercuri pline) de raze $R$ și $r$. Cum aria unui disc de rază $R$ este $\pi R^2$, obținem:

$$\boxed{A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2=\pi G(R+r)+\pi R^2+\pi r^2}$$

Poți scoate factor comun $\pi$:

$$A_t=\pi \left[G(R+r)+R^2+r^2\right].$$

Atenție la o capcană de examen: dacă obiectul este deschis, atunci nu punem toate discurile. La o găleată sau un ghiveci fără capac, care sunt mai largi la gură, gura de sus (baza mare) lipsește, iar fundul (baza mică) rămâne, deci suprafața de material folosită este $A_l+\pi r^2$ (lateral + fundul). Un abajur, în schimb, este deschis la ambele capete, așa că folosim doar aria laterală $A_l$, fără nicio bază. Citește mereu cu atenție dacă corpul este „închis" sau „deschis" și care bază lipsește.

6. Volumul

Volumul trunchiului de con circular drept se calculează cu formula:

$$\boxed{V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)}$$

De unde vine? Trunchiul este conul mare fără conul mic de deasupra. Dacă conul mic are înălțime $x$, din asemănarea celor două conuri (secțiune paralelă cu baza) avem $\frac{r}{R}=\frac{x}{x+h}$, de unde se poate scoate $x=\frac{rh}{R-r}$. Scăzând volumul conului mic din volumul conului mare și făcând calculele, toate se simplifică frumos și rămâne exact $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$. Nu trebuie să refaci demonstrația la examen, dar e util să știi că formula nu este scoasă din pălărie.

Un mod de a o ține minte: în paranteză apar trei termeni — pătratul razei mari, produsul razelor și pătratul razei mici. Dacă razele ar fi egale ($R=r$), paranteza ar deveni $3R^2$ și formula ar da $\frac{\pi h}{3}\cdot 3R^2=\pi R^{2}h$, adică volumul cilindrului — ceea ce are sens, pentru că un trunchi cu baze egale este chiar un cilindru. Este o verificare bună a memoriei.

7. Cum abordezi orice problemă cu trunchi de con

Aproape orice problemă se rezolvă în aceiași pași:

1. Notează datele și fă un desen cu $R$, $r$, $h$, $G$.
2. Dacă îți lipsește una dintre $G$, $h$, $R-r$, folosește relația $G^2=h^2+(R-r{)}^2$.
3. Aplică formula cerută: $A_l$, $A_t$ sau $V$.
4. Scrie unitatea de măsură corectă: arie în ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$; volum în ${\text{cm}}^3$, ${\text{m}}^3$ (uneori transformat în litri: $1{\text{dm}}^3=1\text{litru}$).

Ține minte diferența de unități: aria se măsoară în unități pătratice, iar volumul în unități cubice. La examen se pierd puncte tocmai pentru unitatea uitată sau greșită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate mărimile dintr-un trunchi „frumos"

Un trunchi de con circular drept are $R=9$ cm, $r=4$ cm și $h=12$ cm. Calculează generatoarea, aria laterală, aria totală și volumul (rezultatele în funcție de $\pi$).

Rezolvare.

Aflăm generatoarea: $$G^2=h^2+(R-r{)}^2=12^2+(9-4{)}^2=144+25=169\Rightarrow G=13\text{cm}.$$

Aria laterală: $$A_l=\pi G(R+r)=\pi \cdot 13\cdot (9+4)=\pi \cdot 13\cdot 13=169\pi {\text{cm}}^2.$$

Aria totală: $$A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2=169\pi +81\pi +16\pi =266\pi {\text{cm}}^2.$$

Volumul: $$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \cdot 12}{3}(81+36+16)=4\pi \cdot 133=532\pi {\text{cm}}^3.$$

Exemplul 2 — Aflarea înălțimii din generatoare

La un trunchi de con avem $R=12$ cm, $r=6$ cm și generatoarea $G=10$ cm. Cât este înălțimea?

Rezolvare.

Din relația fundamentală, izolăm $h$: $$h^2=G^2-(R-r{)}^2=10^2-(12-6{)}^2=100-36=64\Rightarrow h=8\text{cm}.$$

Verificare rapidă: $R-r=6$, $h=8$, $G=10$ — triunghiul pitagoreic $6\text{-}8\text{-}10$, corect.

Exemplul 3 — Aria totală a unui corp mic

Un trunchi de con are $R=6$ cm, $r=3$ cm și înălțimea $h=4$ cm. Află aria totală.

Rezolvare.

Mai întâi generatoarea: $$G^2=4^2+(6-3{)}^2=16+9=25\Rightarrow G=5\text{cm}.$$

Aria laterală: $$A_l=\pi \cdot 5\cdot (6+3)=45\pi {\text{cm}}^2.$$

Aria totală: $$A_t=45\pi +\pi \cdot 6^2+\pi \cdot 3^2=45\pi +36\pi +9\pi =90\pi {\text{cm}}^2.$$

Exemplul 4 — O găleată din viața reală

O găleată de zinc are forma unui trunchi de con fără capac. Diametrul gurii (baza mare) este de $30$ cm, diametrul fundului (baza mică) este de $20$ cm, iar înălțimea găleții este de $12$ cm. a) Câtă tablă (arie) este nevoie pentru a o confecționa? b) Ce volum de apă încape în ea? (Folosește $\pi \approx 3,14$.)

Rezolvare.

Trecem de la diametre la raze: $R=30:2=15$ cm, $r=20:2=10$ cm. Înălțimea $h=12$ cm.

Generatoarea: $$G^2=12^2+(15-10{)}^2=144+25=169\Rightarrow G=13\text{cm}.$$

a) Găleata este deschisă la gură (baza mare, cercul de sus), deci lipsește discul de sus; rămâne fundul, care este baza mică. Folosim aria laterală plus baza mică (fundul): $$A=A_l+\pi r^2=\pi \cdot 13\cdot (15+10)+\pi \cdot 10^2=325\pi +100\pi =425\pi {\text{cm}}^2.$$ Numeric: $425\cdot 3,14=1334,5{\text{cm}}^2$.

b) Volumul: $$V=\frac{\pi \cdot 12}{3}(15^2+15\cdot 10+10^2)=4\pi (225+150+100)=4\pi \cdot 475=1900\pi {\text{cm}}^3.$$ Numeric: $1900\cdot 3,14=5966{\text{cm}}^3\approx 5,97$ litri (deoarece $1000{\text{cm}}^3=1$ litru).

Găleata încape, așadar, aproape $6$ litri de apă.

Exemplul 5 — Aflarea unei raze din aria laterală

Aria laterală a unui trunchi de con este $A_l=65\pi {\text{cm}}^2$, generatoarea este $G=5$ cm, iar raza mică este $r=5$ cm. Află raza mare $R$.

Rezolvare.

Pornim de la formula ariei laterale: $$A_l=\pi G(R+r)\Rightarrow 65\pi =\pi \cdot 5\cdot (R+5).$$

Împărțim ambele părți la $\pi$ și apoi la $5$: $$65=5(R+5)\Rightarrow R+5=13\Rightarrow R=8\text{cm}.$$

Verificare: $A_l=\pi \cdot 5\cdot (8+5)=65\pi$. Corect, și $R=8>r=5$, deci datele sunt coerente.

Exemplul 6 — Item tip Evaluarea Națională

Un vas decorativ are forma unui trunchi de con circular drept cu raza bazei mari $R=10$ cm, raza bazei mici $r=5$ cm și înălțimea $h=6$ cm. a) Arată că volumul vasului este $350\pi {\text{cm}}^3$. b) Determină aria bazei mari.

Rezolvare.

a) Aplicăm formula volumului: $$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \cdot 6}{3}(10^2+10\cdot 5+5^2)=2\pi (100+50+25)=2\pi \cdot 175=350\pi {\text{cm}}^3.$$ Așadar volumul este, într-adevăr, $350\pi {\text{cm}}^3$.

b) Baza mare este un disc de rază $R=10$ cm: $$A_{\text{baza˘ mare}}=\pi R^2=\pi \cdot 10^2=100\pi {\text{cm}}^2.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde ajută. Notează întotdeauna datele și unitatea de măsură.

1. Completează: la un trunchi de con circular drept, $R$ este raza bazei ______, iar $r$ este raza bazei ______; segmentul care unește centrele bazelor se numește ______.

2. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un trunchi de con, generatoarea este întotdeauna mai mare decât înălțimea."

3. Calculează generatoarea unui trunchi de con cu $R=8$ cm, $r=3$ cm și $h=12$ cm.

4. Un trunchi de con are $R=15$ cm, $r=6$ cm și $G=15$ cm. Află înălțimea.

5. Calculează aria laterală a unui trunchi de con cu $G=12$ cm, $R=8$ cm și $r=3$ cm.

6. Un trunchi de con are $R=6$ cm, $r=3$ cm și $G=5$ cm. Calculează aria totală.

7. Pentru trunchiul de la exercițiul 6, calculează și volumul (verifică mai întâi înălțimea).

8. Calculează volumul unui trunchi de con cu $R=10$ cm, $r=5$ cm și $h=6$ cm.

9. Secțiunea axială a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu bazele de $16$ cm și $8$ cm și laturile neparalele de $5$ cm. Află razele bazelor, înălțimea și generatoarea trunchiului.

10. Aria laterală a unui trunchi de con este $84\pi {\text{cm}}^2$, generatoarea este $G=6$ cm, iar raza mică este $r=4$ cm. Află raza mare $R$.

11. Un ghiveci de flori are forma unui trunchi de con deschis (fără capac), cu diametrul gurii de $24$ cm, diametrul fundului de $16$ cm și înălțimea de $15$ cm. a) Află generatoarea. b) Câți ${\text{cm}}^2$ de material sunt necesari pentru pereții laterali și fundul ghiveciului?

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă razele bazelor unui trunchi de con devin egale, corpul se transformă într-un cilindru."

13. Un rezervor de apă are forma unui trunchi de con cu $R=20$ cm, $r=10$ cm și $h=9$ cm. Ce volum de apă încape (în litri, cu $\pi \approx 3,14$)?

14. La un trunchi de con, raza mare este dublul razei mici, $R=2r$. Știind că $r=4$ cm și $h=3$ cm, calculează generatoarea, aria laterală și aria totală.

15. Item tip Evaluarea Națională. Un pahar de carton pentru cafea are forma unui trunchi de con cu raza gurii $R=4$ cm, raza fundului $r=3$ cm și înălțimea $h=10$ cm. a) Arată că volumul paharului este $\frac{370\pi }{3}{\text{cm}}^3$. b) Verifică dacă paharul poate conține $0,38$ litri de cafea (folosește $\pi \approx 3,14$).

16. Un trunchi de con are aria totală $A_t=100\pi {\text{cm}}^2$, aria bazei mari $36\pi {\text{cm}}^2$ și aria bazei mici $4\pi {\text{cm}}^2$. Află aria laterală și apoi generatoarea, știind că $R+r=8$ cm.

Răspunsuri și explicații

1. $R$ = raza bazei mari; $r$ = raza bazei mici; segmentul $O{O}^{\prime }$ se numește înălțime (este pe axa corpului).

2. Adevărat. Din $G^2=h^2+(R-r{)}^2$ și $R\ne r$ rezultă $(R-r{)}^2>0$, deci $G^2>h^2$, adică $G>h$. Generatoarea este ipotenuză, iar înălțimea este catetă, deci generatoarea este mai lungă.

3. $R-r=5$, $G^2=12^2+5^2=144+25=169$, deci $G=13$ cm.

4. $h^2=G^2-(R-r{)}^2=15^2-(15-6{)}^2=225-81=144$, deci $h=12$ cm.

5. $A_l=\pi G(R+r)=\pi \cdot 12\cdot (8+3)=\pi \cdot 12\cdot 11=132\pi {\text{cm}}^2$.

6. $A_l=\pi \cdot 5\cdot (6+3)=45\pi$; $A_t=45\pi +\pi \cdot 6^2+\pi \cdot 3^2=45\pi +36\pi +9\pi =90\pi {\text{cm}}^2$.

7. Înălțimea: $h^2=G^2-(R-r{)}^2=25-9=16$, deci $h=4$ cm. Volumul: $V=\frac{\pi \cdot 4}{3}(36+18+9)=\frac{4\pi }{3}\cdot 63=84\pi {\text{cm}}^3$.

8. $V=\frac{\pi \cdot 6}{3}(10^2+10\cdot 5+5^2)=2\pi (100+50+25)=2\pi \cdot 175=350\pi {\text{cm}}^3$.

9. Bazele trapezului sunt diametrele: $2R=16\Rightarrow R=8$ cm, $2r=8\Rightarrow r=4$ cm. Laturile neparalele sunt generatoarele: $G=5$ cm. Înălțimea: $h^2=G^2-(R-r{)}^2=25-16=9$, deci $h=3$ cm.

10. $84\pi =\pi \cdot 6\cdot (R+4)\Rightarrow 84=6(R+4)\Rightarrow R+4=14\Rightarrow R=10$ cm.

11. $R=12$ cm, $r=8$ cm, $h=15$ cm. a) $G^2=15^2+(12-8{)}^2=225+16=241$, deci $G=\sqrt{241}$ cm (nu este un pătrat perfect, așa că lăsăm rezultatul cu radical, $G=\sqrt{241}\approx 15,52$ cm). b) Ghiveci deschis la gură (baza mare), cu fundul (baza mică) prezent: material = $A_l+\pi r^2=\pi \sqrt{241}(12+8)+\pi \cdot 8^2=20\sqrt{241}\pi +64\pi {\text{cm}}^2$. (Aproximativ: $20\cdot 15,52\cdot 3,14+64\cdot 3,14\approx 974,7+201,0\approx 1175,7{\text{cm}}^2$.)

12. Adevărat. Dacă $R=r$, cele două cercuri au aceeași rază, planul de secțiune nu mai „micșorează" nimic și pereții devin verticali; corpul obținut este un cilindru. Se verifică și în formule: volumul devine $\frac{\pi h}{3}(R^2+R^2+R^2)=\frac{\pi h}{3}\cdot 3R^2=\pi R^{2}h$, adică volumul cilindrului.

13. $V=\frac{\pi \cdot 9}{3}(20^2+20\cdot 10+10^2)=3\pi (400+200+100)=3\pi \cdot 700=2100\pi {\text{cm}}^3$. Numeric: $2100\cdot 3,14=6594{\text{cm}}^3\approx 6,59$ litri.

14. $R=2r=8$ cm, $r=4$ cm, $h=3$ cm. $G^2=3^2+(8-4{)}^2=9+16=25$, deci $G=5$ cm. $A_l=\pi \cdot 5\cdot (8+4)=60\pi {\text{cm}}^2$. $A_t=60\pi +\pi \cdot 64+\pi \cdot 16=60\pi +64\pi +16\pi =140\pi {\text{cm}}^2$.

15. a) $V=\frac{\pi \cdot 10}{3}(4^2+4\cdot 3+3^2)=\frac{10\pi }{3}(16+12+9)=\frac{10\pi }{3}\cdot 37=\frac{370\pi }{3}{\text{cm}}^3$. b) Numeric: $\frac{370\cdot 3,14}{3}=\frac{1161,8}{3}\approx 387,3{\text{cm}}^3\approx 0,387$ litri. Cum $0,387>0,38$, paharul poate conține cei $0,38$ litri de cafea.

16. Aria laterală: $A_l=A_t-\pi R^2-\pi r^2=100\pi -36\pi -4\pi =60\pi {\text{cm}}^2$. Din $A_l=\pi G(R+r)$ și $R+r=8$: $60\pi =\pi G\cdot 8\Rightarrow G=\frac{60}{8}=7,5$ cm.

De reținut

• Trunchiul de con circular drept se obține tăind un con cu un plan paralel cu baza; are baza mare (rază $R$), baza mică (rază $r$, cu $r<R$), înălțimea $h$ și generatoarea $G$.
• Relația fundamentală (din secțiunea axială, un trapez isoscel + teorema lui Pitagora): $G^2=h^2+(R-r{)}^2$.
• Aria laterală: $A_l=\pi G(R+r)$.
• Aria totală: $A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2=\pi [G(R+r)+R^2+r^2]$.
• Volumul: $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$; dacă $R=r$, formula redevine volumul cilindrului $\pi R^{2}h$.

Greșeli frecvente

• Confuzia $R$ cu $r$. $R$ este mereu raza mare, $r$ raza mică. În formula generatoarei apare $(R-r{)}^2$; chiar dacă la pătrat semnul nu mai contează, la aria laterală apare suma $R+r$, iar la volum $R^2+Rr+r^2$ — folosește valorile corecte.
• Uitarea unei baze la aria totală. La un corp închis aduni ambele discuri ($\pi R^2$ și $\pi r^2$). La un corp deschis (găleată, ghiveci, pahar) verifică ce bază lipsește și nu o adăuga. Citește enunțul!
• Diametru în loc de rază. Dacă problema dă diametrele, împarte-le la $2$ înainte de a le folosi. $R=\frac{D}{2}$, $r=\frac{d}{2}$.
• Unități greșite. Aria în ${\text{cm}}^2$ / ${\text{m}}^2$, volumul în ${\text{cm}}^3$ / ${\text{m}}^3$; pentru litri folosește $1{\text{dm}}^3=1$ litru, deci $1000{\text{cm}}^3=1$ litru.

Aplică acasă

• Măsoară o găleată sau un ghiveci. Cu un centimetru (ruleta) măsoară diametrul gurii, diametrul fundului și înălțimea. Calculează volumul cu formula trunchiului de con, apoi verifică umplând obiectul cu apă și măsurând cu un vas gradat de $1$ litru. Cât de aproape a fost predicția ta?
• Câtă tablă are un abajur? Alege un abajur conic (trunchi de con) din casă, măsoară cele două raze și generatoarea (latura oblică), apoi calculează aria laterală — adică suprafața de material din care este făcut.
• Paharul de cafea. Ia un pahar de carton în formă de trunchi de con, măsoară razele și înălțimea, calculează volumul teoretic și compară-l cu capacitatea scrisă pe fundul paharului (de obicei în ml, unde $1\text{ml}=1{\text{cm}}^3$).

Pentru părinți și profesori

Trunchiul de con este unul dintre corpurile rotunde din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017) și apare frecvent la Evaluarea Națională în probleme cu obiecte reale (găleți, pâlnii, pahare, ghivece, elemente de construcție). Elevul trebuie să stăpânească trei formule și relația $G^2=h^2+(R-r{)}^2$, dar mai ales să prelucreze datele corect: să treacă de la diametre la raze și să distingă corpurile închise de cele deschise.

Întrebări utile de verificare: „Care rază este $R$ și care $r$?", „Din ce triunghi dreptunghic scoți generatoarea?", „De ce la volum apare $R^2+Rr+r^2$, iar la aria laterală doar $R+r$?", „Corpul din problemă are capac sau nu?". Un semn bun că a înțeles: poate explica de ce, când $R=r$, trunchiul devine cilindru și formula volumului se simplifică la $\pi R^{2}h$. Încurajați desenul secțiunii axiale — trapezul isoscel — pentru că din el se vede natural relația lui Pitagora și se evită confuziile. Redactarea îngrijită, cu date, formulă, calcul și unitate, se punctează la examen la fel de mult ca rezultatul final.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului trunchiului de con la clasa a 8-a? Volumul este $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$, unde $R$ și $r$ sunt razele celor două baze, iar $h$ este înălțimea. În paranteză apar trei termeni: pătratul razei mari, produsul razelor și pătratul razei mici.

Cum calculez generatoarea trunchiului de con? Folosești relația $G^2=h^2+(R-r{)}^2$, care vine din teorema lui Pitagora aplicată în secțiunea axială (un trapez isoscel). Deci $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$, unde $R-r$ este diferența razelor.

Care este diferența dintre aria laterală și aria totală a trunchiului de con? Aria laterală $A_l=\pi G(R+r)$ este doar suprafața „de jur împrejur", fără baze. Aria totală adaugă cele două discuri ale bazelor: $A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2$. La un corp deschis (fără capac) nu adăugăm baza lipsă.

Ce este generatoarea și cu ce diferă de înălțime? Generatoarea $G$ este segmentul oblic de pe suprafața laterală, care unește cele două cercuri; înălțimea $h$ este distanța verticală dintre baze, perpendiculară pe ele. Generatoarea este ipotenuza, iar înălțimea o catetă, deci $G>h$ mereu.

Cum obțin un trunchi de con dintr-un con? Tai conul cu un plan paralel cu baza și păstrezi partea de jos, dintre planul de tăiere și baza inițială. Partea de sus rămasă este un con mai mic, asemenea cu cel de la început.

De ce apare $R-r$ în formula generatoarei, dar $R+r$ în aria laterală? $R-r$ vine din triunghiul dreptunghic al secțiunii axiale, unde cateta orizontală este diferența razelor. $R+r$ apare pentru că aria laterală combină cele două cercuri de raze $R$ și $r$, a căror „contribuție" se adună.

Cum transform volumul din cm³ în litri? Împarți la $1000$: $1000{\text{cm}}^3=1{\text{dm}}^3=1$ litru. De exemplu, un volum de $5966{\text{cm}}^3$ înseamnă aproximativ $5,97$ litri.

Ce se întâmplă cu formulele dacă cele două raze sunt egale? Dacă $R=r$, trunchiul de con devine un cilindru: aria laterală $\pi G(R+R)=2\pi R\cdot h$ (cu $G=h$), iar volumul $\frac{\pi h}{3}\cdot 3R^2=\pi R^{2}h$ — exact formulele cilindrului circular drept.