Exerciții rezolvate — Aplicații ale integralei definite (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Aplicații ale integralei definite", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Calculați ${\int }_{-6}^6\sqrt{36-x^2}dx$.

   • a) $36\pi$
   • b) $9\pi$
   • c) $72\pi$
   • d) $18\pi$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $18\pi$

   Graficul funcției $\sqrt{36-x^2}$ pe $[-6,6]$ este semicercul superior de rază $6$, deci integrala este aria semidiscului: $\frac{\pi \cdot 36}{2}=18\pi$. Varianta $36\pi$ este aria discului întreg — confuzia cea mai frecventă a lecției; discul cere fie dublarea acestei integrale, fie integrarea diferenței celor două ramuri.

   Lecția: Aria discului și aria interiorului unei elipse →

2. Aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=8-x^2$ și $g(x)=2x$ este:

   • a) $18$
   • b) $36$
   • c) $\frac{64}{3}$
   • d) $72$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $36$

   Din $8-x^2=2x$ obținem $x^2+2x-8=0$, cu rădăcinile $-4$ și $2$; acestea sunt limitele. Pe $(-4,2)$ parabola este deasupra (testul $x=0$ dă $8>0$), deci $\mathcal{S}={\int }_{-4}^2\left(8-x^2-2x\right)dx=\left(8x-\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_{-4}^2=12-(-24)=36$. Varianta $18$ apare când se integrează doar de la $0$ la $2$.

   Lecția: Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții →

3. Aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+1$, este:

   • a) $10$
   • b) $8$
   • c) $9$
   • d) $14$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $10$

   Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,2]$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2\left(3x^2+1\right)dx=\left(x^3+x\right){|}_0^2=8+2=10$. Varianta $8$ pierde termenul liber, iar $14$ apare din primitiva greșită $x^3+x^2$. Control: pe $[0,2]$ funcția ia valori între $1$ și $13$, deci aria este între $2$ și $26$.

   Lecția: Aria subgraficului unei funcții continue →

4. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-9$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=5$ este:

   • a) $-\frac{10}{3}$
   • b) $\frac{10}{3}$
   • c) $\frac{98}{3}$
   • d) $\frac{44}{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{98}{3}$

   Zeroul din interval este $x=3$ (rădăcina $-3$ este în afara lui). Pe $[0,3]$ funcția este negativă, pe $[3,5]$ pozitivă: $\mathcal{S}={\int }_0^3\left(9-x^2\right)dx+{\int }_3^5\left(x^2-9\right)dx=18+\frac{44}{3}=\frac{98}{3}$. Varianta $-\frac{10}{3}$ este chiar ${\int }_0^5\left(x^2-9\right)dx$, adică bilanțul cu semn, iar $\frac{44}{3}$ oprește calculul la a doua bucată.

   Lecția: Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn →

5. Aria regiunii mărginite de parabolele $y^2=6x$ și $x^2=6y$ este:

   • a) $36$
   • b) $12$
   • c) $18$
   • d) $6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $12$

   Din sistem rezultă $x^4=216x$, deci $x\in \{0,6\}$, iar punctele de intersecție sunt $O(0,0)$ și $(6,6)$. Pe $[0,6]$ prima parabolă este deasupra: $\mathcal{S}={\int }_0^6\left(\sqrt{6x}-\frac{x^2}{6}\right)dx=24-12=12$. Control: pătratul de latură $2p=6$ are aria $36$, iar regiunea ocupă exact o treime din el, $\frac{4p^2}{3}=12$.

   Lecția: Arii delimitate de două conice →

6. Aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=16x$ și de dreapta $x=4$ este:

   • a) $\frac{128}{3}$
   • b) $\frac{64}{3}$
   • c) $\frac{256}{3}$
   • d) $32$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{128}{3}$

   Din $x=4$ rezultă $y^2=64$, deci $y=\pm 8$. Integrând după $y$: $\mathcal{S}={\int }_{-8}^8\left(4-\frac{y^2}{16}\right)dy=\left(4y-\frac{y^3}{48}\right){|}_{-8}^8=\frac{128}{3}$. Varianta $\frac{64}{3}$ apare când se integrează o singură ramură a parabolei — jumătate din regiune. Control: dreptunghiul circumscris are laturile $4$ și $16$, iar $\frac{2}{3}\cdot 64=\frac{128}{3}$.

   Lecția: Arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte →

7. Centrul de greutate al plăcii de sub graficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$, este:

   • a) $G(1,5;3)$
   • b) $G(2;4)$
   • c) $G(2;2)$
   • d) $G(1,5;1,5)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $G(2;2)$

   Aria este $\mathcal{S}={\int }_0^{3}2xdx=9$, deci $x_G=\frac{1}{9}{\int }_0^{3}2x^{2}dx=2$ și $y_G=\frac{1}{18}{\int }_0^{3}4x^{2}dx=2$. Control de gimnaziu: placa este triunghiul cu vârfurile $(0,0)$, $(3,0)$, $(3,6)$, al cărui centru de greutate este $\left(\frac{0+3+3}{3};\frac{0+0+6}{3}\right)=(2;2)$. Varianta $G(2;4)$ apare dacă se uită factorul $\frac{1}{2}$ de la $y_G$.

   Lecția: Centrul de greutate al unei plăci plane omogene →

8. Debitul unei conducte este $Q(t)=9-t^2$ (în metri cubi pe minut), pentru $t\in [0,3]$ minute. Volumul de lichid scurs în acest interval este:

   • a) $18$ m${}^3$
   • b) $27$ m${}^3$
   • c) $9$ m${}^3$
   • d) $6$ m${}^3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $18$ m${}^3$

   $V={\int }_0^3\left(9-t^2\right)dt=\left(9t-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^3=27-9=18$ m${}^3$. Varianta $27$ ignoră termenul $-t^2$, iar $9$ confundă volumul cu debitul de la momentul inițial. Control: debitul scade de la $9$ la $0$ în $3$ minute, deci volumul este între $0$ și $27$.

   Lecția: Modelări din fizică: debit, volum de lichid și energie consumată →

9. Pentru $f(x)=x^3$ pe $[0,2]$ și $n=2$, valoarea dată de metoda trapezelor este:

   • a) $4$
   • b) $6$
   • c) $5$
   • d) $8$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $5$

   Cu $h=1$ și nodurile $0$, $1$, $2$: $T_2=h\left(\frac{f(0)}{2}+f(1)+\frac{f(2)}{2}\right)=0+1+4=5$. Varianta $4$ este valoarea exactă a integralei, ${\int }_0^2{x}^{3}dx=4$: trapezele o supraestimează, pentru că funcția este convexă. Varianta $6$ apare dacă toate valorile se adună cu aceeași pondere.

   Lecția: Estimarea numerică a integralelor și verificarea cu instrumente digitale →

10. Un arc cu constanta elastică $k=600$ N/m este întins de la deformarea $0,1$ m la deformarea $0,2$ m. Lucrul mecanic efectuat este:

    • a) $3$ J
    • b) $12$ J
    • c) $4,5$ J
    • d) $9$ J
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $9$ J

    Cu legea lui Hooke, $L={\int }_{0,1}^{0,2}600xdx=300x^2{|}_{0,1}^{0,2}=300(0,04-0,01)=9$ J. Varianta $3$ J vine din formula $\frac{k(x_2-x_1{)}^2}{2}=\frac{600\cdot 0,01}{2}$, valabilă numai dacă arcul pornește de la lungimea naturală — aici el este deja întins cu $0,1$ m.

    Lecția: Modelări din fizică: lucrul mecanic al unei forțe variabile →

11. Într-o problemă apare ${\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Această integrală poate fi:

    • a) aria subgraficului sau numărătorul lui $x_G$
    • b) numai lucrul mecanic al unei forțe
    • c) numai aria dintre două grafice
    • d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $\pi$) sau numărătorul lui $y_G$ (până la factorul $\frac{1}{2}$)
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $\pi$) sau numărătorul lui $y_G$ (până la factorul $\frac{1}{2}$)

    Puterea la care apare funcția sub integrală spune ce se calculează: puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_G$ (acolo cu factorul $x$), iar puterea a doua înseamnă volum, $\mathcal{V}=\pi \int f^2$, sau numărătorul lui $y_G$, $\frac{1}{2}\int f^2$. Este cel mai rapid mod de a recunoaște tipul unui subpunct de Bacalaureat M1.

    Lecția: Sinteză: aplicații ale integralei — probleme de tip Bacalaureat M1 →

12. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=5$ și $g(x)=3$, pe intervalul $[0,2]$, este:

    • a) $8\pi$
    • b) $32\pi$
    • c) $4\pi$
    • d) $50\pi$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $32\pi$

    Corpul este o țeavă: $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left(25-9\right)dx=32\pi$. Varianta $8\pi$ vine din $\pi {\int }_0^2(f-g{)}^2$, adică din scăderea funcțiilor înainte de ridicarea la pătrat — greșeala numărul unu a lecției. Control: diferența cilindrilor, $\pi \cdot 25\cdot 2-\pi \cdot 9\cdot 2=32\pi$.

    Lecția: Volume de rotație în probleme →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.