Care dintre structurile de mai jos nu este grup?

$$(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$$

Mulțimea $$U_n$$, împreună cu înmulțirea numerelor complexe, este:

grup comutativ cu $$n$$ elemente

monoid în care niciun element nu are simetric

grup necomutativ cu $$n$$ elemente

parte stabilă a lui $$\mathbb{C}$$ în raport cu adunarea

Mulțimea $$GL_2(\mathbb{R})$$ este formată din matricele $$A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ cu proprietatea:

toate elementele lui $$A$$ sunt nenule

Care dintre următoarele nu este un argument valid pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe?

tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit

unul este comutativ, celălalt nu

au profiluri ale ordinelor diferite

Structura $$(\mathbb{Z}_n, \cdot)$$ nu este grup pentru niciun $$n \ge 2$$, pentru că:

clasa $$\hat{0}$$ nu are invers

înmulțirea claselor nu este asociativă

înmulțirea claselor nu este comutativă

Translația $$t_a$$ a dreptei invariază diviziunea echidistantă de pas $$d = 7$$ dacă și numai dacă:

$$a$$ este multiplu întreg al lui $$7$$

Exerciții rezolvate — Grupuri (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Grupuri", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

Ultima cifră a numărului $1 3^{2027}$ este:
- a) $1$
- b) $3$
- c) $7$
- d) $9$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $7$

Lucrăm în $Z_{10}$ , unde $13 = \hat{3}$ . Puterile lui $\hat{3}$ sunt $\hat{3}, \hat{9}, \hat{7}, \hat{1}$ , deci ordinul este $4$ . Cum $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , obținem $13^{2027} = \hat{3}^{3} = \hat{7}$ . Variantele $3$ , $9$ și $1$ corespund resturilor $1$ , $2$ și $0$ — greșeala tipică este împărțirea exponentului la altceva decât la ordin.
Lecția: Clasele de resturi în aritmetică: divizibilitate și ecuații în numere întregi →
Care dintre structurile de mai jos nu este grup?
- a) $(Q, \cdot)$
- b) $(Q^{*}, \cdot)$
- c) $(Z, +)$
- d) $(M_{2} (R), +)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $(Q, \cdot)$

În $(Q, \cdot)$ cade axioma G3: numărul $0$ nu are invers, fiindcă $0 \cdot x^{'} = 0 \neq = 1$ oricare ar fi $x^{'}$ . Reparația este scoaterea elementului vinovat, iar $(Q^{*}, \cdot)$ este grup comutativ. Celelalte două sunt grupuri comutative: $(Z, +)$ cu $e = 0$ și $- x$ , respectiv $(M_{2} (R), +)$ cu $O_{2}$ și $- A$ .
Lecția: Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere →
Mulțimea $U_{n}$ , împreună cu înmulțirea numerelor complexe, este:
- a) monoid în care niciun element nu are simetric
- b) grup necomutativ cu $n$ elemente
- c) grup comutativ cu $n$ elemente
- d) parte stabilă a lui $C$ în raport cu adunarea
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) grup comutativ cu $n$ elemente

Din $z^{n} = w^{n} = 1$ rezultă $(z w)^{n} = 1$ , deci mulțimea e parte stabilă; asociativitatea și comutativitatea se moștenesc din $C$ ; $1 \in U_{n}$ este neutru; iar inversul lui $z$ este $z^{n - 1} \in U_{n}$ . Varianta d este chiar greșeala clasică: $1 + 1 = 2$ are modulul $2$ , deci suma a două rădăcini ale unității iese din mulțime — operația se citește din enunț, nu se presupune.
Lecția: Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității →
O funcție $f : M \to M$ este simetrizabilă în raport cu compunerea dacă și numai dacă este:
- a) injectivă
- b) bijectivă
- c) surjectivă
- d) crescătoare
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) bijectivă

Simetricul cerut este $g$ cu $f \circ g = g \circ f = 1_{M}$ , adică funcția inversă, care există exact pentru funcțiile bijective. Injectivitatea sau surjectivitatea singure nu ajung: pe $R$ , funcția $f (x) = e^{x}$ este injectivă fără să fie surjectivă, deci nu are inversă definită pe tot $R$ . Monotonia (varianta d) nu are nicio legătură cu existența simetricului.
Lecția: Grupuri de funcții; grupul lui Klein →
Mulțimea $G L_{2} (R)$ este formată din matricele $A \in M_{2} (R)$ cu proprietatea:
- a) $det A = 1$
- b) $det A \neq = 0$
- c) $A \neq = O_{2}$
- d) toate elementele lui $A$ sunt nenule
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $det A \neq = 0$

Criteriul de inversabilitate cere exact $det A \neq = 0$ , iar acesta este elementul care lipsea ca $(M_{2} (R), \cdot)$ să fie grup. Varianta a descrie o submulțime mai mică, varianta c e insuficientă — matricea $(1000)$ e nenulă și neinversabilă —, iar d nu are legătură: $(1111)$ are toate elementele nenule și determinantul $0$ .
Lecția: Grupuri de matrice și grupuri de permutări →
Compunerea $t_{(3, - 7)} \circ t_{(- 5, 2)}$ este translația:
- a) $t_{(- 2, - 5)}$
- b) $t_{(8, - 9)}$
- c) $t_{(- 2, 5)}$
- d) $t_{(2, 5)}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $t_{(- 2, - 5)}$

La compunerea translațiilor coordonatele se adună: $t_{(3, - 7)} \circ t_{(- 5, 2)} = t_{(3 + (- 5), - 7 + 2)} = t_{(- 2, - 5)}$ . Varianta $t_{(8, - 9)}$ vine din scăderea coordonatelor, varianta $t_{(- 2, 5)}$ din pierderea semnului la a doua coordonată, iar $t_{(2, 5)}$ este inversa rezultatului corect.
Lecția: Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru →
Un grup finit are $20$ de elemente. Câte elemente nu poate avea un subgrup al său?
- a) $4$
- b) $5$
- c) $8$
- d) $10$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $8$

Din teorema lui Lagrange, cardinalul oricărui subgrup divide $20$ , deci poate fi doar $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ sau $20$ . Cum $8$ nu divide $20$ , niciun subgrup nu poate avea $8$ elemente. Celelalte trei valori sunt divizori ai lui $20$ , deci teorema nu le exclude — atenție însă, teorema nu garantează nici că ele chiar apar.
Lecția: Grupuri finite; teorema lui Lagrange →
Care dintre următoarele nu este un argument valid pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe?
- a) au numere diferite de elemente
- b) unul este comutativ, celălalt nu
- c) au profiluri ale ordinelor diferite
- d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit

Aceeași tablă scrisă cu elementele în altă ordine arată altfel, deci „tablele arată diferit” nu spune nimic; trebuie indicată o trăsătură care nu depinde de ordinea aleasă, cum e numărul de celule de pe diagonala principală care conțin neutrul. Cardinalul, comutativitatea și profilul ordinelor sunt exact cele trei argumente valide, în ordinea crescătoare a efortului de calcul.
Lecția: Când două grupuri nu sunt izomorfe: ordine, comutativitate, cardinal →
Structura $(Z_{n}, \cdot)$ nu este grup pentru niciun $n \geq 2$ , pentru că:
- a) înmulțirea claselor nu este asociativă
- b) clasa $\hat{0}$ nu are invers
- c) înmulțirea claselor nu este comutativă
- d) nu există element neutru
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) clasa $\hat{0}$ nu are invers

Avem $\hat{0} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0} \neq = \hat{1}$ pentru orice clasă $\overset{x}{^}$ , deci axioma simetricului cade și structura rămâne monoid. Variantele a, c și d sunt false: înmulțirea claselor este asociativă și comutativă (proprietăți moștenite de la $Z$ ) și are elementul neutru $\hat{1}$ .
Lecția: Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n →
Pe intervalul $(20, + \infty)$ se definește legea $x * y = x y - 20 x - 20 y + 420$ . Funcția care realizează izomorfismul $((20, + \infty), *) ≃ (R_{+}^{*}, \cdot)$ este:
- a) $f (x) = x - 20$
- b) $f (x) = x + 20$
- c) $f (x) = 20 x$
- d) $f (x) = x - 420$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $f (x) = x - 20$

Scriem legea în forma factorizată: $(x - 20) (y - 20) + 20 = x y - 20 x - 20 y + 400 + 20 = x y - 20 x - 20 y + 420$ . Pentru o lege de tipul $x * y = (x - a) (y - a) + a$ , funcția potrivită este întotdeauna $f (x) = x - a$ , aici $f (x) = x - 20$ . Verificare: $f (x * y) = (x - 20) (y - 20) = f (x) \cdot f (y)$ , iar inversa $f^{- 1} (u) = u + 20$ arată bijectivitatea.
Lecția: Izomorfisme de grupuri; compararea tablelor grupurilor finite →
Translația $t_{a}$ a dreptei invariază diviziunea echidistantă de pas $d = 7$ dacă și numai dacă:
- a) $a = 7$
- b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$
- c) $a > 0$
- d) $a$ este număr întreg
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$

Condiția este $a \in 7 Z$ , adică $a = 7 k$ cu $k$ întreg. Demonstrația părții grele încape într-un rând: punctul $0$ aparține diviziunii, deci imaginea lui, $t_{a} (0) = a$ , trebuie să aparțină tot diviziunii. Varianta $a = 7$ dă doar generatorul grupului; $a > 0$ exclude greșit translațiile spre stânga, iar „ $a$ întreg” ar accepta $a = 3$ , care mută semnele.
Lecția: Izomorfisme remarcabile: numerele întregi și translațiile, clasele de resturi și rotațiile →
Care dintre următoarele funcții nu este morfism de la $(R, +)$ la $(R, +)$ ?
- a) $f (x) = 5 x$
- b) $f (x) = - x$
- c) $f (x) = x + 3$
- d) $f (x) = 0$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $f (x) = x + 3$

Un morfism duce elementul neutru în elementul neutru, iar aici $f (0) = 3 \neq = 0$ , deci funcția nu poate fi morfism. Se vede și direct: $f (x + y) = x + y + 3$ , în timp ce $f (x) + f (y) = x + y + 6$ . Funcțiile $f (x) = 5 x$ și $f (x) = - x$ verifică $f (x + y) = f (x) + f (y)$ prin distributivitate, iar funcția constantă nulă este morfismul care duce tot grupul în neutru.
Lecția: Morfisme de grupuri →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.

Exerciții rezolvate — Grupuri (clasa a XII-a)

Continuă cu