Exerciții rezolvate — Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Pentru șirul $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$, încadrarea corectă este:

   • a) $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$
   • b) $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$
   • c) $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$
   • d) $n\le a_n\le n^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

   Pentru $1\le k\le n$ avem $\sqrt{n^2+1}\le \sqrt{n^2+k}\le \sqrt{n^2+n}$, deci fiecare fracție este cuprinsă între $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ și $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$. Suma având exact $n$ termeni, marginile se înmulțesc cu $n$ — pasul pe care îl uită varianta a). Varianta b) are sensul întors. Ambele margini tind la $1$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$.

   Lecția: Criteriul cleștelui. Aria discului ca aplicație →

2. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+\sin n}{n+5}$ este:

   • a) $0$
   • b) $3$
   • c) $4$
   • d) limita nu există
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $3$

   Bănuim $\ell =3$ din partea dominantă $\frac{3n}{n}$ și formăm diferența: $a_n-3=\frac{3n+\sin n-3n-15}{n+5}=\frac{\sin n-15}{n+5}$. Din $|\sin n|\le 1$ avem $|\sin n-15|\le 16$, iar $n+5>n$, deci $|a_n-3|\le \frac{16}{n}\to 0$. Criteriul majorării dă limita $3$. Control numeric: pentru $n=10^4$ valoarea este $2,9985$.

   Lecția: Criteriul majorării și consecințele lui →

3. Se consideră $A=\left\{2-\frac{3}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Care afirmație este adevărată?

   • a) $\inf A=0$ și $\sup A=2$
   • b) $\sup A=2$ și $\max A=2$
   • c) $\sup A=2$, iar $\max A$ nu există
   • d) $\sup A=+\infty$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\sup A=2$, iar $\max A$ nu există

   Din $0<\frac{3}{n}\le 3$ rezultă $-1\le x<2$, deci $2$ este majorant. Este cel mai mic: pentru orice $\epsilon >0$, condiția $\frac{3}{n}<\epsilon$ se realizează pentru $n>\frac{3}{\epsilon }$. Cum $\frac{3}{n}>0$ pentru orice $n$, valoarea $2$ nu se atinge niciodată, deci maximul nu există. (Marginea inferioară este $-1$, atinsă la $n=1$.)

   Lecția: Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți →

4. Pentru șirul $a_n=\frac{4n+1}{n+2}$, cel mai mic rang $N$ pentru care $|a_n-4|<0,01$ este:

   • a) $N=698$
   • b) $N=699$
   • c) $N=700$
   • d) $N=702$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $N=699$

   Rescriem $a_n=\frac{4(n+2)-7}{n+2}=4-\frac{7}{n+2}$, deci $|a_n-4|=\frac{7}{n+2}$. Inecuația $\frac{7}{n+2}<0,01$ înseamnă $n+2>700$, adică $n>698$. Cel mai mic rang natural este $699$: pentru $n=698$ distanța este exact $0,01$, deci inegalitatea strictă încă nu are loc.

   Lecția: Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți →

5. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{3}{4}\right)}^n$ este:

   • a) limita nu există
   • b) $-\infty$
   • c) $-1$
   • d) $0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $0$

   Avem $\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1$, deci suntem în primul caz al tabelului și limita este $0$. Alternanța semnului nu deranjează: în definiție intervine doar distanța până la $0$, adică ${\left|q\right|}^n$, care coboară sub orice prag.

   Lecția: Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică →

6. Șirul $a_n=\frac{3n+7}{n+2}$, $n\ge 1$, verifică:

   • a) $3<a_n\le \frac{10}{3}$
   • b) $0<a_n<3$
   • c) $3\le a_n\le \frac{10}{3}$
   • d) $\frac{10}{3}<a_n<4$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3<a_n\le \frac{10}{3}$

   Rescriem $a_n=\frac{3(n+2)+1}{n+2}=3+\frac{1}{n+2}$. Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$, deci $3<a_n\le \frac{10}{3}$. Marginea superioară $\frac{10}{3}$ este atinsă (la $n=1$), iar marginea inferioară $3$ nu este atinsă niciodată — de aceea inegalitatea din stânga este strictă.

   Lecția: Mărginirea unui șir →

7. O sumă de $8000$ de lei este depusă cu dobânda de $5\%$ pe an, capitalizată anual. Soldul după $n$ ani este:

   • a) $8000\cdot 1,05^n$
   • b) $8000\cdot 0,05^n$
   • c) $8000+0,05n$
   • d) $8000\cdot 1,5^n$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $8000\cdot 1,05^n$

   O creștere de $5\%$ înseamnă înmulțirea cu $1+0,05=1,05$, nu cu $0,05$ (varianta b) ar duce soldul la zero) și nu cu $1,5$ (varianta d) ar însemna $50\%$). Varianta c) descrie o creștere liniară, cu $0,05$ lei pe an. Control: $S_{10}=8000\cdot 1,05^{10}=13031,16$ lei.

   Lecția: Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri →

8. Mulțimea $A=\left\{\frac{5n-2}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este inclusă în intervalul:

   • a) $\left[\frac{5}{2},5\right)$
   • b) $\left[\frac{3}{2},5\right)$
   • c) $\left(\frac{3}{2},5\right]$
   • d) $\left[\frac{3}{2},5\right]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\left[\frac{3}{2},5\right)$

   Rescriem $\frac{5n-2}{n+1}=\frac{5(n+1)-7}{n+1}=5-\frac{7}{n+1}$. Din $n\ge 1$ avem $n+1\ge 2$, deci $0<\frac{7}{n+1}\le \frac{7}{2}$ și $5-\frac{7}{2}\le x<5$, adică $\frac{3}{2}\le x<5$. Capătul $\frac{3}{2}$ se atinge la $n=1$ (deci paranteză închisă), iar $5$ nu se atinge niciodată (deci paranteză deschisă).

   Lecția: Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite →

9. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2-5n^3}{3n^3+n}$ este:

   • a) $0$
   • b) $-\infty$
   • c) $\frac{5}{3}$
   • d) $-\frac{5}{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $-\frac{5}{3}$

   Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{-5}{3}$. Scris complet, prin împărțire la $n^3$: $\frac{\frac{2}{n^3}-5}{3+\frac{1}{n^2}}\to -\frac{5}{3}$. Semnul minus vine din numărător și este greșeala cea mai frecventă la acest tip de exercițiu.

   Lecția: Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit →

10. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$ este:

    • a) $2$
    • b) $0$
    • c) $1$
    • d) $+\infty$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $2$

    Paranteza tinde la $0$, iar $n^2\to +\infty$: tip $0\cdot \infty$. Aducem paranteza la același numitor: $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$. Atunci expresia devine $\frac{2n^2}{n^2+2n}$, raport de polinoame de grade egale, cu limita $2$. Control: pentru $n=1000$ valoarea este $1,996$.

    Lecția: Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit →

11. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n$ este:

    • a) $e^3$
    • b) $e$
    • c) $3e$
    • d) $1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $e^3$

    Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$: caz $1^{\infty }$. Cu $u_n=\frac{3}{n}$ avem $\frac{1}{u_n}=\frac{n}{3}$, deci ${\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^{\frac{n}{3}}\right]}^3$; paranteza tinde la $e$, exponentul este constant $3$. Același rezultat prin rețetă: $c=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{3}{n}=3$.

    Lecția: Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e →

12. Fie $a_n=4-\frac{2}{n}$ și $b_n=1+\frac{3}{n^2}$. Atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n{b}_n)$ este:

    • a) $3$
    • b) $4$
    • c) $5$
    • d) limita nu există
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $4$

    Bucățile: $\frac{2}{n}\to 0$ și $\frac{3}{n^2}\to 0$, deci $a_n\to 4$ și $b_n\to 1$, ambele finite. Regula produsului dă $4\cdot 1=4$. Varianta a) ar fi diferența, iar c) suma limitelor. Control numeric: pentru $n=1000$ produsul este $3,998$.

    Lecția: Operații cu șiruri convergente →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.