Exerciții rezolvate — Permutări, determinanți și matrice inversabile (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Permutări, determinanți și matrice inversabile", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Cât este $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 2& 3& 1& 1\\ 1& 0& 2& 3\\ 3& 1& 0& 2\end{array}\right|$?

   • a) $21$
   • b) $-57$
   • c) $-21$
   • d) $0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $-21$

   Pivotul este $a_{11}=1$. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ — trei transformări care nu schimbă valoarea — liniile devin $(0,-1,3,1)$, $(0,-2,3,3)$ și $(0,-5,3,2)$. Dezvoltând după prima coloană rămâne $\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ -2& 3& 3\\ -5& 3& 2\end{array}\right|$; cu regula lui Sarrus, produsele care se adună însumează $-57$, iar cele care se scad, $-36$, deci valoarea este $-57+36=-21$.

   Lecția: Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare →

2. Cât este $\left|\begin{array}{cc}-4& 3\\ 6& -5\end{array}\right|$?

   • a) $38$
   • b) $-38$
   • c) $18$
   • d) $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $2$

   $(-4)\cdot (-5)-3\cdot 6=20-18=2$. Varianta a) apare când se adună cele două produse în loc să se scadă, iar varianta c) când se înmulțește pe linii, $(-4)\cdot 3-6\cdot (-5)$, în loc de pe diagonale.

   Lecția: Determinantul de ordinul al doilea →

3. Cât este $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\\ 5& 2& -2\end{array}\right|$?

   • a) $-85$
   • b) $43$
   • c) $85$
   • d) $-43$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $-85$

   Produsele care se adună: $2\cdot 4\cdot (-2)=-16$, $(-1)\cdot 1\cdot 5=-5$, $3\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $-21$. Produsele care se scad: $3\cdot 4\cdot 5=60$, $2\cdot 1\cdot 2=4$, $(-1)\cdot 0\cdot (-2)=0$, cu suma $64$. Deci determinantul este $-21-64=-85$. Varianta b) apare când cele două sume se adună în loc să se scadă.

   Lecția: Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului →

4. Ce semn are termenul $a_{12}{a}_{24}{a}_{31}{a}_{45}{a}_{53}$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al cincilea?

   • a) semnul minus
   • b) semnul plus
   • c) produsul nu este termen al determinantului
   • d) semnul depinde de valorile elementelor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) semnul plus

   Indicii de linie sunt $1,2,3,4,5$, iar cei de coloană formează șirul $2,4,1,5,3$ — o permutare validă. Numărăm inversiunile: $2$ îl are pe $1$ (una), $4$ îi are pe $1$ și $3$ (două), $5$ îl are pe $3$ (una), deci $m(\sigma )=4$ și $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^4=+1$. Semnul unui termen nu depinde niciodată de valorile elementelor, ci doar de permutarea coloanelor.

   Lecția: Determinantul de ordin n: definiția cu permutări →

5. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$ și $\det B=5$. Cât este $\det \left(2A^{2}B\right)$?

   • a) $160$
   • b) $-160$
   • c) $40$
   • d) $-40$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $160$

   Descompunem pas cu pas: $\det \left(2A^{2}B\right)=2^3\cdot (\det A{)}^2\cdot \det B=8\cdot 4\cdot 5=160$. Exponentul lui $2$ este ordinul matricei, adică $3$; exponentul lui $\det A$ este puterea, adică $2$. Varianta c) apare când scalarul este scos o singură dată, adică din confuzia $\det (\alpha A)=\alpha \det A$.

   Lecția: Determinantul produsului a două matrice →

6. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 1\\ 3& 5& 0\\ -1& 2& 6\end{array}\right)$, cât este complementul algebric ${\delta }_{23}$?

   • a) $6$
   • b) $-6$
   • c) $26$
   • d) $-26$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-6$

   Tăiem linia $2$ și coloana $3$: ${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 2\end{array}\right|=8-2=6$. Semnul poziției este $(-1{)}^{2+3}=-1$, deci ${\delta }_{23}=-6$. Varianta a) este minorul, lăsat fără semn — greșeala cea mai frecventă; variantele c) și d) provin din tăierea liniei și coloanei $3$, adică din calculul lui ${\Delta }_{33}$.

   Lecția: Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană →

7. Care este ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 4& -1\end{array}\right)$?

   • a) $A^2-4A-3I_2=O_2$
   • b) $A^2-4A+3I_2=O_2$
   • c) $A^2+4A+3I_2=O_2$
   • d) $A^2-3A+4I_2=O_2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A^2-4A+3I_2=O_2$

   Cele două numere: $\mathrm{tr}(A)=5+(-1)=4$ și $\det A=5\cdot (-1)-(-2)\cdot 4=-5+8=3$. Ecuația este $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$, adică $A^2-4A+3I_2=O_2$. Varianta d) inversează rolurile: urma stă la $A$, determinantul la $I_2$, niciodată invers.

   Lecția: Ecuația Hamilton-Cayley și puterile unei matrice de ordin 2 →

8. Care este soluția ecuației $XA=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$?

   • a) $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$

   $\det A=9-8=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$. Necunoscuta stă la stânga lui $A$, deci înmulțim la dreapta: $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$. Varianta b) este $A^{-1}B$, adică rezultatul obținut înmulțind din partea greșită — soluția ecuației $AX=B$, nu a celei date.

   Lecția: Ecuații matriceale →

9. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 5& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$. Care afirmație este adevărată?

   • a) $\det A=0$, deci $A$ nu este inversabilă
   • b) $\det A=1$, deci $A$ este inversabilă
   • c) $\det A=2$, deci $A$ este inversabilă
   • d) $\det A=-1$, deci $A$ este inversabilă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\det A=1$, deci $A$ este inversabilă

   Matricea are două blocuri de ordin $2$ pe diagonală și zerouri în rest, deci determinantul este produsul determinanților blocurilor: $\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right|=1$ și $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=1$, deci $\det A=1\cdot 1=1\ne 0$. Inversa se obține inversând fiecare bloc separat și are elemente întregi, pentru că determinantul este $1$.

   Lecția: Inversa unei matrice de ordin 4. Matrice cu parametru →

10. Care este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$?

    • a) $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$
    • b) $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 2\end{array}\right)$
    • c) $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$
    • d) $\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& -5\end{array}\right)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$

    $\det A=5\cdot 2-3\cdot 3=1\ne 0$. Se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală ($5$ cu $2$), se schimbă semnul celorlalte două și se împarte la $1$. Verificare: $5\cdot 2+3\cdot (-3)=1$ și $5\cdot (-3)+3\cdot 5=0$. Varianta a) uită schimbarea semnelor, iar b) uită schimbarea elementelor de pe diagonala principală.

    Lecția: Calculul inversei cu matricea adjunctă →

11. Câte inversiuni are permutarea de grad $5$ cu linia a doua $3,5,1,4,2$?

    • a) $4$
    • b) $5$
    • c) $6$
    • d) $10$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $6$

    Numărăm, pentru fiecare valoare, câte valori mai mici stau la dreapta ei: $3$ are $1$ și $2$ (două), $5$ are $1$, $4$ și $2$ (trei), $1$ are zero, $4$ îl are pe $2$ (una), $2$ are zero. Deci $m(\sigma )=2+3+0+1+0=6$. Varianta d) este maximul posibil la gradul $5$, $\frac{5\cdot 4}{2}=10$, atins doar de permutarea răsturnată.

    Lecția: Inversiuni și semnul unei permutări →

12. Pentru ce valori reale ale lui $m$ matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 3& m+8\end{array}\right)$ nu este inversabilă?

    • a) $m\in \{-1,9\}$
    • b) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-9,1\}$
    • c) $m\in \{-3,3\}$
    • d) $m\in \{-9,1\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $m\in \{-9,1\}$

    $\det A(m)=m(m+8)-9=m^2+8m-9=(m+9)(m-1)$, iar matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează: $m=-9$ sau $m=1$. Varianta b) este mulțimea valorilor pentru care matricea este inversabilă — confuzia cea mai frecventă la acest tip de cerință; citește de două ori dacă enunțul spune „este” sau „nu este”.

    Lecția: Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.