Exerciții rezolvate — Primitive (clasa a XII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Primitive", clasa a XII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Ce metodă indică integrala $\int \frac{x}{x^2+9}dx$, pe $\mathbb{R}$?

   • a) rândul din tabel care dă $\mathrm{arctg}$
   • b) integrarea prin părți
   • c) schimbarea de variabilă $u=x^2+9$
   • d) descompunerea în fracții simple
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) schimbarea de variabilă $u=x^2+9$

   La numărător stă, până la factorul $2$, derivata numitorului: $\left(x^2+9\right){}^{\prime }=2x$. Este tiparul $\frac{u{}^{\prime }}{u}$, deci substituția $u=x^2+9$ duce la $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C}$. Rândul cu $\mathrm{arctg}$ se aplică atunci când numărătorul este constant.

   Lecția: Cum alegi metoda de integrare →

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+1,& x\le 1\\ x-2,& x>1\end{array}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$?

   • a) da, fiindcă imaginea ei este interval
   • b) nu se poate decide fără să calculăm primitiva
   • c) da, fiindcă ambele ramuri sunt funcții elementare
   • d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x=1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x=1$

   Limitele laterale în $1$ sunt $l_s(1)=4$ și $l_d(1)=-1$, amândouă finite și diferite, deci $x=1$ este punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $1$; faptul că ramurile sunt elementare nu ajută la nimic.

   Lecția: Funcții care admit primitive: teorema lui Darboux și funcțiile continue →

3. Egalitatea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ pe intervalul $I$ înseamnă că:

   • a) $F$ este singura primitivă a lui $f$ pe $I$
   • b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$
   • c) $F(x)+\mathcal{C}$ este o funcție, pentru un $\mathcal{C}$ fixat
   • d) $F^{\prime }=f$ numai în câteva puncte ale lui $I$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$

   În membrul stâng stă o mulțime de funcții, nu o funcție: $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$, iar $F+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$. Egalitatea are loc pentru că, pe un interval, orice două primitive diferă printr-o constantă.

   Lecția: Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți →

4. În $\int x^2{e}^{5x}dx$, conform ordinii de prioritate la derivare, se derivează:

   • a) niciunul: integrala nu se rezolvă prin părți
   • b) $e^{5x}$
   • c) $x^2$
   • d) ambii factori, pe rând
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $x^2$

   Puterea $x^2$ stă la stânga exponențialei în ordinea de prioritate, deci ea se derivează și coboară la $2x$, apoi la $2$; exponențiala $e^{5x}$ se integrează fără să se complice. Alegerea inversă urcă gradul la $x^3$, apoi la $x^4$: integrala rămasă devine mai grea, semn sigur de repartiție greșită.

   Lecția: Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată →

5. Pe $\mathbb{R}$, $\int (x-4)\sin xdx$ este egală cu:

   • a) $-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$
   • b) $(x-4)\cos x-\sin x+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{(x-4{)}^2}{2}\cdot (-\cos x)+\mathcal{C}$
   • d) $-(x-4)\cos x-\sin x+\mathcal{C}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$

   Cu $f(x)=x-4$ și $g^{\prime }(x)=\sin x$ avem $g(x)=-\cos x$, deci $\int (x-4)\sin xdx=-(x-4)\cos x+\int \cos xdx=-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$. Cele două minusuri — cel din formulă și cel din $g$ — se înmulțesc și dau plus; varianta cu $-\sin x$ este exact greșeala de semn.

   Lecția: Integrarea prin părți: formula și primele aplicații →

6. Lanțul de metode pentru $\int x^3{e}^{x^2}dx$, pe $\mathbb{R}$, este:

   • a) fracții simple, apoi substituție
   • b) integrarea prin părți, apoi fracții simple
   • c) un singur rând din tabel
   • d) substituția $t=x^2$, apoi integrarea prin părți
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) substituția $t=x^2$, apoi integrarea prin părți

   Scriem $x^3{e}^{x^2}=x^2\cdot e^{x^2}\cdot x$ și notăm $t=x^2$, $dt=2xdx$: integrala devine $\frac{1}{2}\int t{e}^{t}dt$, care nu este în tabel și cere părțile, cu $\frac{1}{2}{e}^t(t-1)$. Revenind la $x$, obținem $\frac{e^{x^2}\left(x^2-1\right)}{2}+\mathcal{C}$.

   Lecția: Metode de integrare combinate →

7. Funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(2x+3)e^x$, este o primitivă a funcției:

   • a) $f(x)=(2x+3)e^x$
   • b) $f(x)=2e^x$
   • c) $f(x)=(2x+1)e^x$
   • d) $f(x)=(2x+5)e^x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $f(x)=(2x+5)e^x$

   Se derivează cu regula produsului: $F^{\prime }(x)=2e^x+(2x+3)e^x=(2x+5)e^x$. Varianta $2e^x$ apare când se derivează doar primul factor, iar $(2x+3)e^x$ când se derivează doar exponențiala; ambele ratează suma celor doi termeni.

   Lecția: Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă →

8. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-2x$, și $F$ primitiva ei cu $F(1)=4$. Atunci $F(2)$ este:

   • a) $12$
   • b) $15$
   • c) $16$
   • d) $21$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $15$

   Primitivele sunt $F(x)=2x^3-x^2+c$. Condiția dă $2-1+c=4$, deci $c=3$ și $F(x)=2x^3-x^2+3$, de unde $F(2)=16-4+3=15$. Varianta $12$ apare dacă uiți constanta la Etapa 1, varianta $16$ dacă iei drept constantă chiar valoarea impusă ($c=4$), iar $21$ dacă pierzi semnul minus și integrezi $6x^2+2x$.

   Lecția: Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive →

9. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{dx}{x^2+100}$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{10}\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{1}{10}\arcsin \frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   • c) $\ln \left(x^2+100\right)+\mathcal{C}$
   • d) $\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{10}\mathrm{arctg}\frac{x}{10}+\mathcal{C}$

   Este rândul 12 cu $a=10$: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$. Factorul $\frac{1}{10}$ este obligatoriu, altfel derivarea ar da $\frac{10}{x^2+100}$. Arcsinusul cere radical la numitor, iar logaritmul ar cere derivata numitorului la numărător.

   Lecția: Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm: completarea tabelului →

10. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{dx}{x^2+4x+29}$ este egală cu:

    • a) $\frac{1}{5}\ln \left(x^2+4x+29\right)+\mathcal{C}$
    • b) $\frac{1}{5}\arcsin \frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
    • c) $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
    • d) $\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$

    Forma canonică este $x^2+4x+29=(x+2{)}^2+25$, iar $\Delta =16-116<0$, deci se aplică rândul 12 cu $k=5$: $\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5}+\mathcal{C}$. Factorul $\frac{1}{5}$ este obligatoriu; arcsinusul ar cere radical la numitor.

    Lecția: Primitive cu trinom de gradul al doilea →

11. Pentru $\int \sqrt{x^2+9}dx$, metoda potrivită este:

    • a) aplicarea directă a unui rând din tabelul canonic
    • b) raționalizarea cu substituția $t=\sqrt{x^2+9}$
    • c) integrarea prin părți, cu factorul $1$
    • d) substituția $u=x^2+9$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) integrarea prin părți, cu factorul $1$

    Regula de triaj: sub radical stă o expresie de gradul al doilea, deci raționalizarea nu ajută — din $t^2=x^2+9$ rezultă $x=\sqrt{t^2-9}$, adică radicalul a fost doar mutat. Se integrează prin părți cu factorul $1$ și rescrierea $x^2=\left(x^2+9\right)-9$. Substituția $u=x^2+9$ ar cere un $x$ liber în integrand.

    Lecția: Primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale →

12. Care este primul pas în determinarea primitivelor unei funcții definite pe ramuri?

    • a) calcularea unei primitive pe fiecare ramură
    • b) verificarea continuității în punctul de racord
    • c) legarea constantelor prin continuitatea lui $F$
    • d) verificarea derivabilității lui $F$ în punctul de racord
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) verificarea continuității în punctul de racord

    Dacă funcția nu este continuă în punctul de racord, ea are acolo o discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, nu admite primitive: orice calcul de după ar fi inutil. Celelalte trei variante sunt pașii 2, 3 și 4, în această ordine.

    Lecția: Primitivele funcțiilor definite pe ramuri →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.