Funcția radical de ordin 2: f(x) = √x

Ai o bucată de gazon de $225$ de metri pătrați și vrei să o așezi ca pătrat perfect. Cât măsoară latura? Răspunsul, $15$ metri, l-ai găsit făcând drumul invers al ridicării la pătrat. Dar ce se întâmplă dacă suprafața ar fi $250$ de metri pătrați? Latura nu mai e un număr întreg, însă există — undeva între $15$ și $16$ de metri. Ba mai mult: pentru orice suprafață pozitivă există o latură potrivită, una singură, iar legătura dintre suprafață și latură este o funcție.

Această funcție se numește funcția radical de ordin 2 și se scrie $f (x) = x$ . Ea apare peste tot unde o mărime crește ca pătratul alteia și vrei să faci drumul înapoi: latura unui pătrat din arie, timpul de cădere al unui obiect din înălțime, distanța până la orizont din înălțimea de la care privești. În lecția de față îi vei studia domeniul, graficul, monotonia și o vei compara cu vechea ta cunoștință, funcția de gradul al doilea — pentru că cele două sunt, într-un sens foarte precis, oglinda una alteia.

Ce vei învăța

Vei ști să explici de ce domeniul funcției radical este $[0, + \infty)$ și de ce nu putem extrage radical dintr-un număr negativ.
Vei ști să construiești tabelul de valori și să recunoști forma graficului funcției $f (x) = x$ .
Vei ști să justifici că funcția radical este strict crescătoare și să folosești acest lucru pentru a compara numere.
Vei ști să precizezi mulțimea valorilor și punctele de intersecție ale graficului cu axele.
Vei ști să compari $x$ cu $x$ și cu $x^{2}$ pe intervalul $[0, + \infty)$ și să citești comparația de pe grafic.
Vei ști să faci lecturi grafice: să rezolvi $f (x) = m$ și inecuații simple direct de pe desen și să interpretezi rezultatul într-un context practic.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vine radicalul

Ridicarea la pătrat transformă un număr în aria pătratului cu latura respectivă: $3 \mapsto 9$ , $5 \mapsto 25$ , $1, 2 \mapsto 1, 44$ . Radicalul face drumul invers: pornește de la arie și dă latura.

Definiție. Pentru un număr real $x \geq 0$ , $x$ este unicul număr real nenegativ al cărui pătrat este $x$ . Cu alte cuvinte:

$x = t ⟺ t \geq 0 ș i t^{2} = x .$

Două detalii ale definiției merită subliniate, pentru că din ele vin aproape toate greșelile de mai târziu.

De ce $x \geq 0$ ? Pentru că orice număr real ridicat la pătrat dă un rezultat mai mare sau egal cu zero. Nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie $- 4$ , deci $- 4$ nu are sens în mulțimea numerelor reale.

De ce „nenegativ"? Pentru că ecuația $t^{2} = 9$ are două soluții, $3$ și $- 3$ , iar noi avem nevoie de una singură ca să obținem o funcție. Prin convenție, alegem soluția nenegativă: $9 = 3$ , niciodată $- 3$ . De aceea $x \geq 0$ pentru orice $x$ din domeniu.

2. Funcția radical: domeniu și codomeniu

Definiție. Funcția radical de ordin 2 este funcția

$f : [0, + \infty) \to R, f (x) = x .$

Domeniul de definiție este $D = [0, + \infty)$ , adică intervalul numerelor nenegative — exact numerele pentru care operația are sens. Reține notația cu interval: la clasa a IX-a, domeniul se scrie mereu ca interval sau reuniune de intervale, nu ca o propoziție. Cum se determină domeniul unor funcții mai complicate, de tipul $2 x - 6$ , vei vedea imediat în lecția despre domeniul funcției cu radical.

Mulțimea valorilor este $Im f = [0, + \infty)$ . Într-adevăr, toate valorile sunt nenegative (din definiție), iar orice număr $y \geq 0$ este atins: alegând $x = y^{2}$ obținem $f (y^{2}) = y^{2} = y$ . Deci funcția „acoperă" toată semiaxa pozitivă, inclusiv zero.

Intersecția cu axele. Graficul trece prin origine: $f (0) = 0$ , deci punctul $(0, 0)$ este singurul punct comun cu ambele axe. Pentru $x > 0$ avem $f (x) > 0$ , deci graficul rămâne strict deasupra axei $O x$ .

3. Tabelul de valori și graficul

Cel mai simplu mod de a desena graficul este să alegi ca abscise pătrate perfecte — atunci valorile ies rotunde:

$x$	$0$	$0, 25$	$1$	$2$	$4$	$6, 25$	$9$	$16$	$25$
$x$	$0$	$0, 5$	$1$	$\approx 1, 41$	$2$	$2, 5$	$3$	$4$	$5$

Unind punctele obținute printr-o linie continuă, obții o curbă care pornește din origine, urcă repede la început, apoi din ce în ce mai lin, fără să se oprească vreodată. Arată ca jumătatea de sus a unei parabole culcate, cu deschiderea spre dreapta — și chiar asta și este, cum vom vedea în secțiunea 6.

Ce se vede imediat pe desen: curba nu are niciun punct la stânga axei $O y$ (domeniul începe de la $0$ ), nu coboară niciodată și devine tot mai „lentă" — între $0$ și $1$ urcă o unitate întreagă, dar are nevoie de tot drumul de la $1$ la $4$ ca să mai urce încă una.

4. Monotonia: funcția radical este strict crescătoare

Proprietate. Funcția $f (x) = x$ este strict crescătoare pe $[0, + \infty)$ : dacă $0 \leq x_{1} < x_{2}$ , atunci $x_{1} < x_{2}$ .

Justificare. Presupunem, prin absurd, că $x_{1} \geq x_{2}$ . Ambele numere sunt nenegative, iar ridicarea la pătrat păstrează inegalitatea între numere nenegative, deci ar rezulta $(x_{1})^{2} \geq (x_{2})^{2}$ , adică $x_{1} \geq x_{2}$ — în contradicție cu ipoteza $x_{1} < x_{2}$ . Prin urmare $x_{1} < x_{2}$ . $■$

Proprietatea aceasta e o unealtă de comparat numere fără calculator, în ambele sensuri:

Din numere spre radicali: cum $2 < 3 < 5 < 10$ , rezultă $2 < 3 < 5 < 10$ .
Din radicali spre numere: ca să compari $17$ cu $4$ , scrii $4 = 16$ ; cum $16 < 17$ , obții $16 < 17$ , deci $4 < 17$ .

Spre deosebire de funcția afină, care urcă în același ritm peste tot, funcția radical urcă din ce în ce mai încet. Diferențele pe intervale de lungime $1$ o arată limpede: $1 - 0 = 1$ , apoi $2 - 1 \approx 0, 41$ , apoi $3 - 2 \approx 0, 32$ , apoi $4 - 3 \approx 0, 27$ . Creșterea nu se oprește niciodată, dar se domolește continuu.

O consecință practică des folosită: ca să dublezi valoarea radicalului, trebuie să înmulțești argumentul cu $4$ . Din $9 = 3$ ajungi la $6$ abia la $36$ .

5. Mărginire și puncte de extrem

Funcția radical este mărginită inferior: $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ din domeniu. Valoarea minimă este $0$ , atinsă în $x = 0$ — deci graficul are un punct de minim în origine.

Superior, funcția nu este mărginită: oricât de mare ai alege un număr $M > 0$ , există valori ale lui $x$ pentru care $x > M$ (de exemplu orice $x > M^{2}$ ). Curba urcă la nesfârșit, chiar dacă tot mai lent.

6. Radicalul și pătratul: două oglinzi

Compară funcția radical cu funcția de gradul al doilea $g (x) = x^{2}$ , restrânsă și ea la $[0, + \infty)$ ca să lucrăm pe același teren. Cele două fac operații inverse: $g$ duce $3$ în $9$ , iar $f$ duce $9$ înapoi în $3$ . Consecința grafică e spectaculoasă: graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta $y = x$ . Dacă ai desena graficul lui $x^{2}$ pe o foaie transparentă și ai îndoi foaia de-a lungul dreptei $y = x$ , cele două curbe s-ar suprapune.

De aici vine și forma pe care ai observat-o: graficul lui $x$ este „parabola culcată" — jumătatea de sus a unei parabole cu axa de simetrie orizontală.

Cine e mai mare? Depinde de zonă. Comparăm cele trei funcții $x$ , $x$ și $x^{2}$ pe $[0, + \infty)$ :

Valoarea lui $x$	$x$	$x$	$x^{2}$	Ordinea
$0, 25$	$0, 5$	$0, 25$	$0, 0625$	$x^{2} < x < x$
$1$	$1$	$1$	$1$	toate egale
$4$	$2$	$4$	$16$	$x < x < x^{2}$

Concluzia, care merită memorată:

pe intervalul $(0, 1)$ : $x^{2} < x < x$ — radicalul „ridică" numerele mici spre $1$ ;
în $x = 0$ și în $x = 1$ : cele trei coincid ( $0$ și, respectiv, $1$ );
pe intervalul $(1, + \infty)$ : $x < x < x^{2}$ — radicalul „strânge" numerele mari spre $1$ .

Cele două puncte comune ale graficelor lui $x$ și $x$ sunt așadar $(0, 0)$ și $(1, 1)$ — se citesc direct de pe desen, ca soluții ale ecuației $f (x) = g (x)$ .

7. Lecturi grafice

Graficul răspunde direct la întrebările tipice de la teze și de la examen, așa cum ai exersat în lecția despre lectura grafică.

Ecuația $f (x) = m$ . Duci orizontala $y = m$ și cauți punctele de intersecție cu graficul. Pentru $m < 0$ nu există niciunul (graficul e deasupra axei $O x$ ), deci ecuația nu are soluții. Pentru $m \geq 0$ există exact un punct, cu abscisa $x = m^{2}$ : de exemplu $x = 3$ se citește la $x = 9$ , iar $x = 5$ la $x = 25$ .

Inecuația $f (x) < m$ , cu $m > 0$ . Cauți porțiunea de grafic aflată sub orizontala $y = m$ . Cum funcția e strict crescătoare, aceasta este bucata din stânga punctului de intersecție: $x < 2$ pentru $x \in [0, 4)$ . Nu uita capătul din stânga — domeniul începe la $0$ , nu la $- \infty$ .

Inecuația $f (x) > m$ , cu $m > 0$ : porțiunea din dreapta punctului de intersecție. De exemplu $x > 3$ pentru $x \in (9, + \infty)$ .

Ecuația $f (x) = g (x)$ . Suprapui cele două grafice și citești abscisele punctelor comune. Pentru $x$ și $x$ acestea sunt $0$ și $1$ , cum am văzut mai sus.

8. Radicalul în lumea din jur

Funcția radical descrie orice mărime care crește „încetinit", pentru că depinde de rădăcina pătrată a alteia:

Latura unui pătrat din aria lui: $l = A$ . Pentru $A = 225$ m² obții $l = 15$ m; pentru o arie de patru ori mai mare, $A = 900$ m², latura se dublează doar, la $30$ m.
Timpul de cădere liberă de la înălțimea $h$ , cu accelerația gravitațională aproximată prin $10$ m/s²: $t = \frac{2 h}{10}$ . De la $5$ m cade în $1$ secundă, de la $20$ m în $2$ secunde, de la $45$ m în $3$ secunde. Ca să dublezi timpul, împătrești înălțimea.
Distanța până la orizont, privind de la înălțimea $h$ (în metri): $d \approx 3, 57 h$ kilometri. De la $9$ m — un bloc de trei etaje — vezi la aproximativ $10, 7$ km; de la $100$ m, la aproximativ $35, 7$ km. De unsprezece ori mai sus, dar doar de trei ori mai departe.

Acesta e mesajul funcției radical: rezultatul crește, dar din ce în ce mai greu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori și puncte de pe grafic

Fie $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ . a) Calculați $f (0)$ , $f (36)$ , $f (0, 49)$ . b) Stabiliți dacă punctele $A (4, 2)$ și $B (2, 4)$ aparțin graficului.

Rezolvare. a) $f (0) = 0$ ; $f (36) = 6$ , pentru că $6^{2} = 36$ și $6 \geq 0$ ; $f (0, 49) = 0, 7$ , pentru că $0, 7^{2} = 0, 49$ .

b) Punctul $A (4, 2)$ aparține graficului dacă $f (4) = 2$ : într-adevăr, $4 = 2$ ✓. Punctul $B (2, 4)$ ar cere $f (2) = 4$ , adică $2 = 4$ — fals, căci $2 \approx 1, 41$ . Deci $A$ aparține graficului, $B$ nu. Reține: la funcția radical, coordonatele nu se pot inversa oricum. $■$

Exemplul 2 — Ordonare cu ajutorul monotoniei

Ordonați crescător numerele $7$ , $3$ , $11$ , $5$ , fără calculator.

Rezolvare. Funcția radical este strict crescătoare, deci păstrează ordinea argumentelor. Cum $3 < 5 < 7 < 11$ , rezultă

$3 < 5 < 7 < 11 .$

Nu am avut nevoie de nicio valoare aproximativă: monotonia face toată treaba. $■$

Exemplul 3 — Comparații cu numere întregi

Comparați, fără calculator: a) $17$ și $4$ ; b) $0, 5$ și $0, 5$ ; c) $50$ și $7$ .

Rezolvare. a) Scriem $4 = 16$ . Cum $16 < 17$ și funcția e crescătoare, $16 < 17$ , deci $4 < 17$ .

b) Numărul $0, 5$ este între $0$ și $1$ , deci ne aflăm în zona în care radicalul este mai mare decât numărul: $0, 5 > 0, 5$ . Control: $0, 5 \approx 0, 71 > 0, 5$ ✓.

c) $7 = 49$ , iar $49 < 50$ , deci $7 < 50$ . (Într-adevăr, $50 \approx 7, 07$ .) $■$

Exemplul 4 — Lectură grafică

Folosind graficul funcției $f (x) = x$ , rezolvați: a) $f (x) = 4$ ; b) $f (x) < 3$ ; c) $f (x) \geq 1$ .

Rezolvare. a) Orizontala $y = 4$ taie graficul într-un singur punct. Abscisa lui este numărul al cărui radical este $4$ , adică $x = 16$ . Soluție: $x = 16$ .

b) Căutăm porțiunea de grafic aflată sub orizontala $y = 3$ . Punctul de intersecție are abscisa $9$ , iar funcția fiind crescătoare, valorile mai mici decât $3$ se obțin la stânga lui. Ținând cont că domeniul începe în $0$ , soluția este $x \in [0, 9)$ .

c) Orizontala $y = 1$ taie graficul în $(1, 1)$ ; valorile mai mari sau egale cu $1$ se obțin la dreapta, deci $x \in [1, + \infty)$ . $■$

Exemplul 5 — Problemă practică

O plăcuță pătrată de metal are aria de $1, 44$ dm². a) Cât măsoară latura? b) Cu cât trebuie înmulțită aria ca latura să se dubleze?

Rezolvare. a) Latura este $l = A = 1, 44 = 1, 2$ dm, pentru că $1, 2^{2} = 1, 44$ .

b) Dacă latura devine $2 l$ , aria devine $(2 l)^{2} = 4 l^{2}$ , adică de patru ori mai mare. Verificare pe cifre: latura $2, 4$ dm dă aria $5, 76$ dm², iar $5, 76 : 1, 44 = 4$ ✓. Este exact regula „ca să dublezi radicalul, împătrești argumentul", citită invers. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ . a) Calculați $f (4) + f (9)$ . b) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe domeniul ei. c) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = 5$ .

Rezolvare. a) $f (4) + f (9) = 2 + 3 = 5$ .

b) Fie $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . Dacă am avea $x_{1} \geq x_{2}$ , prin ridicare la pătrat (permisă, ambele fiind nenegative) am obține $x_{1} \geq x_{2}$ , contradicție. Deci $x_{1} < x_{2}$ , adică $f$ este strict crescătoare.

c) Din $f (x) = 5$ rezultă că $x$ este numărul al cărui radical este $5$ , adică $x = 5^{2} = 25$ . Verificare: $25 = 5$ ✓. Soluția este unică, tocmai pentru că funcția este strict crescătoare — o valoare nu poate fi atinsă de două ori. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde poți, folosește monotonia în locul calculatorului.

1. Calculează: $0$ , $1$ , $49$ , $81$ , $144$ , $0, 25$ .

2. Care dintre numerele $- 4$ , $0$ , $2, 5$ , $9$ , $- 0, 1$ aparțin domeniului funcției $f (x) = x$ ? Justifică.

3. Completează tabelul de valori al funcției $f (x) = x$ pentru $x \in {0, 1, 4, 9, 16, 25}$ și reprezintă punctele într-un sistem de axe.

4. Ordonează crescător, folosind monotonia: $6$ , $2$ , $13$ , $8$ .

5. Compară, fără calculator: a) $17$ și $4$ ; b) $0, 36$ și $0, 6$ ; c) $5$ și $2, 5$ .

6. Rezolvă, citind de pe graficul funcției radical, ecuația $x = 3$ . Câte soluții are?

7. Determină mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $x < 2$ .

8. Determină mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $x > 3$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f (x) = x$ este definită pentru orice număr real $x$ ."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $(2, 4)$ aparține graficului funcției $f (x) = x$ ."

11. Completează tabelul cu valorile lui $x$ , $x$ și $x^{2}$ pentru $x \in {0, 25; 1; 4}$ și scrie, pentru fiecare caz, ordinea celor trei numere. Ce concluzie generală tragi?

12. Precizează mulțimea valorilor funcției $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , și punctul ei de minim. Este funcția mărginită superior?

13. (Problemă aplicată.) O grădină pătrată are aria de $169$ m². a) Cât măsoară latura? b) Dacă aria devine de patru ori mai mare, cum se modifică latura?

14. (Problemă aplicată.) Timpul de cădere liberă de la înălțimea $h$ metri este $t = \frac{2 h}{10}$ secunde. Calculează $t$ pentru $h = 20$ m, $h = 45$ m și $h = 80$ m. Ce observi despre relația dintre înălțimi și timpi?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ . a) Calculează $f (16) - f (9)$ . b) Determină $x$ pentru care $f (x) = 7$ . c) Arată că $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ din domeniu.

16. Graficele funcțiilor $f (x) = x$ și $g (x) = x$ , definite pe $[0, + \infty)$ , se intersectează în două puncte. Citește-le de pe desen și verifică rezultatul prin calcul, înlocuind valorile în ambele funcții.

17. (Raționament.) Explică de ce graficul funcției $f (x) = x$ este simetricul graficului funcției $g : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ , $g (x) = x^{2}$ , față de dreapta $y = x$ . (Indicație: arată că, dacă punctul $(a, b)$ este pe unul dintre grafice, atunci $(b, a)$ este pe celălalt.)

18. (Provocare.) Calculează diferențele $1 - 0$ , $2 - 1$ , $3 - 2$ și $4 - 3$ (cu două zecimale). Ce observi? Compară apoi creșterea funcției de la $x = 0$ la $x = 1$ cu creșterea de la $x = 100$ la $x = 121$ și explică ce spune rezultatul despre forma graficului.

Răspunsuri și explicații

1. $0 = 0$ ; $1 = 1$ ; $49 = 7$ ; $81 = 9$ ; $144 = 12$ ; $0, 25 = 0, 5$ (căci $0, 5^{2} = 0, 25$ ).

2. Aparțin domeniului $0$ , $2, 5$ și $9$ , pentru că sunt numere nenegative. Nu aparțin $- 4$ și $- 0, 1$ : nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie negativ, deci $- 4$ și $- 0, 1$ nu au sens în $R$ .

3. Valorile sunt $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Punctele $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(9, 3)$ , $(16, 4)$ , $(25, 5)$ se așază pe o curbă care pornește din origine și urcă din ce în ce mai lin.

4. Cum $2 < 6 < 8 < 13$ și funcția radical este strict crescătoare, avem $2 < 6 < 8 < 13$ .

5. a) $4 = 16 < 17$ , deci $17 > 4$ . b) $0, 36 = 0, 6$ , deci cele două numere sunt egale. c) $2, 5 = 6, 25$ , iar $5 < 6, 25$ , deci $5 < 2, 5$ .

6. Orizontala $y = 3$ taie graficul într-un singur punct, de abscisă $9$ : soluția este $x = 9$ . Ecuația are o singură soluție, pentru că funcția este strict crescătoare și nu poate lua aceeași valoare de două ori.

7. Punctul în care $x = 2$ are abscisa $4$ ; valorile mai mici se obțin la stânga lui, dar fără a ieși din domeniu. Deci $x \in [0, 4)$ .

8. Punctul în care $x = 3$ are abscisa $9$ ; valorile mai mari se obțin la dreapta lui: $x \in (9, + \infty)$ .

9. Fals. Domeniul este $[0, + \infty)$ : pentru $x < 0$ nu există niciun număr real cu pătratul egal cu $x$ , deci $x$ nu are sens în mulțimea numerelor reale.

10. Fals. Ar însemna $2 = 4$ , dar $2 \approx 1, 41$ . Punctul care aparține graficului este $(4, 2)$ — atenție la ordinea coordonatelor.

11. Pentru $x = 0, 25$ : $x = 0, 5$ , $x = 0, 25$ , $x^{2} = 0, 0625$ , deci $x^{2} < x < x$ . Pentru $x = 1$ : toate trei sunt $1$ . Pentru $x = 4$ : $x = 2$ , $x = 4$ , $x^{2} = 16$ , deci $x < x < x^{2}$ . Concluzia: pe $(0, 1)$ radicalul este cel mai mare dintre cele trei, pe $(1, + \infty)$ este cel mai mic, iar în $0$ și în $1$ toate coincid.

12. $Im f = [0, + \infty)$ : valorile sunt nenegative, iar orice $y \geq 0$ se obține pentru $x = y^{2}$ . Punctul de minim este $(0, 0)$ , cu valoarea minimă $0$ . Funcția nu este mărginită superior: pentru orice $M > 0$ , luând $x > M^{2}$ obținem $x > M$ .

13. a) $l = 169 = 13$ m. b) Dacă aria devine $4 \cdot 169 = 676$ m², latura devine $676 = 26$ m, adică se dublează. Regula generală: aria se înmulțește cu $4$ atunci când latura se dublează.

14. $t (20) = 4 = 2$ s; $t (45) = 9 = 3$ s; $t (80) = 16 = 4$ s. Înălțimile $20$ , $45$ și $80$ sunt în raporturile $4 : 9 : 16$ , iar timpii în raporturile $2 : 3 : 4$ — pătratele lor. Ca să dublezi timpul de cădere, trebuie să împătrești înălțimea.

15. a) $f (16) - f (9) = 4 - 3 = 1$ . b) $f (x) = 7$ înseamnă $x = 7^{2} = 49$ ; verificare: $49 = 7$ ✓. c) Prin definiție, $x$ este numărul nenegativ al cărui pătrat este $x$ , deci $f (x) \geq 0$ pentru orice $x \geq 0$ , cu egalitate doar în $x = 0$ .

16. Punctele sunt $(0, 0)$ și $(1, 1)$ . Verificare: $f (0) = 0 = g (0)$ ✓ și $f (1) = 1 = g (1)$ ✓. Între ele graficul radicalului este deasupra dreptei, iar după $x = 1$ rămâne dedesubt.

17. Punctul $(a, b)$ aparține graficului lui $g$ dacă $b = a^{2}$ , cu $a \geq 0$ și $b \geq 0$ . Atunci $b = a$ , adică punctul $(b, a)$ aparține graficului lui $f$ . Reciproc, dacă $(a, b)$ e pe graficul lui $f$ , adică $b = a$ , atunci $a = b^{2}$ și $(b, a)$ e pe graficul lui $g$ . Cum simetricul punctului $(a, b)$ față de dreapta $y = x$ este exact $(b, a)$ , cele două grafice se corespund prin această simetrie. $■$

18. Diferențele sunt $1, 00$ ; $0, 41$ ; $0, 32$ ; $0, 27$ — scad de la un pas la altul, deși intervalele au aceeași lungime. De la $x = 0$ la $x = 1$ funcția crește cu $1$ (de la $0$ la $1$ ); de la $x = 100$ la $x = 121$ crește tot cu $1$ (de la $10$ la $11$ ), deși intervalul are lungimea $21$ . Concluzia: cu cât mergem mai la dreapta, cu atât e nevoie de un drum mai lung pentru aceeași creștere — graficul se aplatizează, apropiindu-se tot mai mult de orizontală, fără să devină vreodată orizontal.

De reținut

$x$ este unicul număr nenegativ al cărui pătrat este $x$ ; de aceea $x \geq 0$ mereu, iar $9 = 3$ (nu $- 3$ ).
Funcția radical de ordin 2 este $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , cu domeniul $[0, + \infty)$ și mulțimea valorilor $[0, + \infty)$ .
Funcția este strict crescătoare: din $x_{1} < x_{2}$ rezultă $x_{1} < x_{2}$ — unealta principală pentru comparări fără calculator.
Graficul pornește din origine (punct de minim) și urcă din ce în ce mai lin; este simetricul graficului lui $x^{2}$ , restrâns la $[0, + \infty)$ , față de dreapta $y = x$ .
Comparația: pe $(0, 1)$ avem $x^{2} < x < x$ , în $0$ și în $1$ toate coincid, iar pe $(1, + \infty)$ avem $x < x < x^{2}$ .

Greșeli frecvente

Scrii $9 = \pm 3$ . Radicalul are o singură valoare, cea nenegativă: $9 = 3$ . Semnul $\pm$ apare la rezolvarea ecuației $t^{2} = 9$ , care are două soluții — dar aceea e altă poveste decât valoarea radicalului.
Cauți valori ale funcției pentru $x$ negativ. Domeniul este $[0, + \infty)$ ; $f (- 4)$ pur și simplu nu există. Înainte de orice calcul, verifică dacă argumentul e nenegativ.
Inversezi coordonatele punctelor de pe grafic. $(4, 2)$ este pe grafic, $(2, 4)$ nu. Prima coordonată e argumentul, a doua e valoarea.
Simplifici $x^{2}$ ca fiind $x$ . Corect este $x^{2} = ∣ x ∣$ : pentru $x = - 5$ obții $25 = 5$ , nu $- 5$ . Egalitatea $x^{2} = x$ e adevărată doar când $x \geq 0$ .
Uiți capătul din stânga la inecuații. Soluția inecuației $x < 2$ este $[0, 4)$ , nu $(- \infty, 4)$ : domeniul funcției începe în $0$ și nu poate fi depășit.

Aplică acasă

Pătratele din casă. Măsoară trei suprafețe pătrate sau aproape pătrate din locuință (o față de masă, o placă de gresie, un covor) și notează aria fiecăreia. Calculează latura cu $l = A$ , apoi verifică măsurând efectiv. Notează diferența dintre valoarea calculată și cea măsurată — vei vedea cât de bine se potrivește modelul matematic cu realitatea.
Cât de departe vezi. Folosind formula $d \approx 3, 57 h$ (cu $h$ în metri și $d$ în kilometri), calculează distanța până la orizont de la nivelul ochilor tăi ( $h \approx 1, 6$ m), de la fereastra camerei și de pe cea mai înaltă clădire pe care o cunoști în oraș. Compară rezultatele: de câte ori trebuie să urci mai sus ca să vezi de două ori mai departe?
Graficul desenat de tine. Într-un caiet de matematică, marchează punctele $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(9, 3)$ , $(16, 4)$ și unește-le cu o linie lină. Pe același desen trasează dreapta $y = x$ și graficul lui $y = x^{2}$ pe $[0, 4]$ . Îndoaie apoi foaia de-a lungul dreptei $y = x$ și verifică, la fereastră, dacă cele două curbe se suprapun.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce funcția radical de ordin 2, conținut prevăzut în trunchiul comun al programei de clasa a IX-a, în capitolul dedicat observării proprietăților funcțiilor prin lecturi grafice. Elevul trebuie să plece de aici cu patru lucruri clare: domeniul $[0, + \infty)$ și motivul lui, forma graficului, monotonia strict crescătoare și comparația cu $x$ și $x^{2}$ pe cele două zone, $(0, 1)$ și $(1, + \infty)$ . Accentul programei cade pe lectura grafică — determinarea soluțiilor ecuațiilor $f (x) = m$ și $f (x) = g (x)$ direct de pe reprezentare — și pe utilizarea unor instrumente digitale (GeoGebra, Desmos) pentru trasarea graficelor.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem calcula $- 9$ ?"; „Cât este $0, 25$ și de ce?"; „Care dintre numerele $0, 4$ și $0, 4$ e mai mare?"; „Dacă aria unui pătrat se înmulțește cu $9$ , ce se întâmplă cu latura?" (se triplează). Semne că a înțeles: verifică semnul argumentului înainte de calcul, nu scrie $\pm$ în fața radicalului, folosește monotonia pentru comparări în locul calculatorului și citește corect capătul din stânga al intervalelor-soluție.

La Bacalaureat, funcția radical apare în cerințe de calcul de valori, de comparare, de determinare a domeniului (subiectul următor, despre domeniul funcției cu radical) și în lecturi grafice. Ea este și baza pentru studiul mai amănunțit al radicalilor din capitolul următor, unde vor apărea operațiile cu radicali și ecuațiile care îi conțin.

Întrebări frecvente

Ce este funcția radical de ordin 2? Este funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , care asociază fiecărui număr nenegativ rădăcina lui pătrată — adică unicul număr nenegativ al cărui pătrat este $x$ .

Care este domeniul de definiție al funcției $x$ ? Intervalul $[0, + \infty)$ , adică toate numerele reale mai mari sau egale cu zero. Pentru numere negative operația nu are sens în mulțimea numerelor reale, pentru că orice pătrat este nenegativ.

De ce nu există radical din numere negative? Pentru că $x$ ar trebui să fie un număr al cărui pătrat este $x$ . Orice număr real ridicat la pătrat dă însă un rezultat mai mare sau egal cu zero, deci niciun număr real nu poate avea pătratul negativ.

Cum arată graficul funcției radical? Pornește din origine, urcă repede la început și apoi din ce în ce mai lin, rămânând mereu deasupra axei $O x$ . Seamănă cu jumătatea de sus a unei parabole culcate spre dreapta.

Este funcția radical crescătoare sau descrescătoare? Este strict crescătoare pe tot domeniul: dacă $x_{1} < x_{2}$ , atunci $x_{1} < x_{2}$ . De aceea o poți folosi ca să compari numere fără calculator.

Cine este mai mare, $x$ sau $x$ ? Depinde de zonă: pentru $x$ între $0$ și $1$ , radicalul este mai mare (de exemplu $0, 25 = 0, 5 > 0, 25$ ); pentru $x > 1$ , radicalul este mai mic ( $4 = 2 < 4$ ). În $x = 0$ și $x = 1$ cele două sunt egale.

Ce legătură are funcția radical cu funcția de gradul al doilea? Fac operații inverse: una ridică la pătrat, cealaltă întoarce drumul. Graficele lor, pe intervalul $[0, + \infty)$ , sunt simetrice față de dreapta $y = x$ .

Cum rezolv $x = 5$ folosind graficul? Duci orizontala $y = 5$ și cauți punctul în care taie curba. Abscisa lui este $25$ , pentru că $25 = 5$ . Soluția este unică, fiindcă funcția e strict crescătoare și nu poate lua de două ori aceeași valoare.