Funcția tangentă și domeniul ei

Pe drumurile de munte vezi indicatoare cu „pantă $12\%$". Numărul acela nu e un unghi și nici o lungime: e raportul dintre cât urcă drumul și cât înaintează pe orizontală. La fel se măsoară înclinarea unui acoperiș, a unei rampe de acces sau a unui plan înclinat de la fizică. Iar acest raport — urcare împărțită la înaintare — are un nume în trigonometrie: tangenta.

Sinusul și cosinusul, definite în lecțiile trecute ca ordonata și abscisa punctului de pe cerc, sunt „umbrele" unei mișcări circulare și rămân cuminți între $-1$ și $1$. Tangenta e altfel: se naște din împărțirea lor și, ca orice împărțire, are un pericol — numitorul care se anulează. Acolo unde cosinusul e zero, tangenta pur și simplu nu există. În schimb, acolo unde există, ea poate lua orice valoare reală, oricât de mare. Lecția aceasta o definește, îi găsește exact valorile interzise și explică ce se întâmplă cu ea în vecinătatea lor.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești tangenta unui număr real prin formula $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$.
• Vei ști să rezolvi ecuația $\cos x=0$ pe intervalul $[0,2\pi ]$ și să determini astfel domeniul de definiție al funcției tangentă.
• Vei ști valorile tangentei pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ și $\pi$.
• Vei ști să construiești și să folosești axa tangentelor, dreapta verticală pe care se citește $\mathrm{tg}t$.
• Vei ști de ce tangenta nu este mărginită și cum se comportă graficul ei în apropierea valorilor interzise.
• Vei ști să interpretezi tangenta ca pantă și să o folosești în probleme cu înclinări.

Hai să descoperim împreună

1. De la pantă la tangentă

În gimnaziu ai definit, într-un triunghi dreptunghic cu unghiul ascuțit $\alpha$:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}.$$

Dacă împarți numărătorul și numitorul la ipotenuză, obții imediat

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}/\text{ipotenuza}}{\text{cateta ala˘turata˘}/\text{ipotenuza}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$$

Aceasta e legătura care ne permite să extindem definiția dincolo de unghiurile ascuțite: nu mai avem nevoie de triunghi, ci doar de sinus și de cosinus, pe care le știm deja definite pentru orice număr real, ca coordonate ale punctului de pe cerc.

Merită observat și că tangenta este exact panta unei drepte: dreapta care trece prin origine și face unghiul $t$ cu semiaxa pozitivă $Ox$ are ecuația $y=mx$, cu $m=\mathrm{tg}t$. Panta de $12\%$ de pe indicatorul rutier înseamnă $\mathrm{tg}t=0,12$.

2. Definiția pe cercul trigonometric

Definiție. Pentru orice număr real $t$ cu $\cos t\ne 0$, tangenta lui $t$ este numărul

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}.$$

Cu alte cuvinte, tangenta este raportul dintre ordonata și abscisa punctului $M(t)$ de pe cercul trigonometric: dacă $M(t)=(x,y)$, atunci $\mathrm{tg}t=\frac{y}{x}$.

Condiția $\cos t\ne 0$ nu e un capriciu, ci consecința inevitabilă a faptului că nu se împarte la zero. Ea transformă tangenta într-o funcție cu domeniu „ciuruit", spre deosebire de sinus și cosinus, care sunt definite pe toată mulțimea $\mathbb{R}$. Situația seamănă cu cea de la câtul a două funcții, unde ai învățat că din domeniu se scot exact zerourile numitorului.

3. Domeniul de definiție: unde se anulează cosinusul

Trebuie deci să rezolvăm ecuația $\cos x=0$. Facem asta pe cerc, nu cu formule: cosinusul este abscisa punctului $M(x)$, iar abscisa e nulă exact atunci când punctul se află pe axa $Oy$.

Pe intervalul $[0,2\pi ]$ există exact două astfel de puncte: $B(0,1)$ și $B^{\prime }(0,-1)$. Prin urmare:

$$\cos x=0,x\in [0,2\pi ]⟺x=\frac{\pi }{2}\text{ sau }x=\frac{3\pi }{2}.$$

Adăugând acum toate turele complete (punctele se repetă din $2\pi$ în $2\pi$) și observând că cele două valori diferă între ele exact prin $\pi$, obținem forma compactă a tuturor soluțiilor:

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

(Pentru $k=0$ obținem $\frac{\pi }{2}$, pentru $k=1$ obținem $\frac{3\pi }{2}$, pentru $k=-1$ obținem $-\frac{\pi }{2}$ și așa mai departe.)

Concluzie. Domeniul maxim de definiție al funcției tangentă este

$$D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\},$$

iar funcția se scrie $\mathrm{tg}:D\to \mathbb{R}$. Pe intervalul $[0,2\pi ]$, singurele numere „interzise" sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ — exact cele două puncte de pe axa verticală.

O întrebare care merită lămurită acum, pentru că generează multe greșeli: de ce scriem $\frac{\pi }{2}+k\pi$ și nu $\frac{\pi }{2}+2k\pi$? Pentru că valorile interzise nu vin dintr-un singur punct al cercului, ci din două puncte diametral opuse, $B$ și $B^{\prime }$. Dacă am folosi pasul $2\pi$, am prinde doar unul dintre ele și am pierde numerele de tipul $\frac{3\pi }{2}$. Pasul $\pi$, adică jumătate de tură, sare alternativ de la $B$ la $B^{\prime }$ și înapoi, acoperind toate valorile interzise cu o singură formulă. Este primul semn că, pentru tangentă, „unitatea de repetiție" este $\pi$, nu $2\pi$ — lucru pe care îl vom confirma în secțiunea 5.

4. Valorile tangentei pentru numerele de bază

Le obținem împărțind valorile din tabelul lui sin și cos:

$$\mathrm{tg}0=\frac{0}{1}=0;\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3};$$

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1;\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3};\mathrm{tg}\pi =\frac{0}{-1}=0.$$

Le strângem în tabel:

Aproximativ: $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$ și $\sqrt{3}\approx 1,732$. Observă cum valorile cresc pe măsură ce $t$ se apropie de $\frac{\pi }{2}$: de la $0$, la $0,577$, la $1$, la $1,732$ — și apoi, brusc, nimic. Vom vedea imediat de ce.

Reține și cele două valori „reper", cele mai folosite la probleme practice: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ (panta de $45^{\circ }$, adică $100\%$) și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ (panta foarte abruptă de $60^{\circ }$).

5. Axa tangentelor

Există un loc pe desen unde tangenta se citește direct, fără nicio împărțire. Duci tangenta la cerc în punctul $A(1,0)$ — adică dreapta verticală de ecuație $x=1$ — și o numești axa tangentelor.

Construcția. Fie $t$ cu $\cos t\ne 0$ și $M(t)$ punctul asociat. Dreapta $OM$ nu este verticală (tocmai pentru că $\cos t\ne 0$), deci ea intersectează axa tangentelor într-un punct $T$. Atunci ordonata lui $T$ este chiar $\mathrm{tg}t$:

$$T(1,\mathrm{tg}t).$$

Justificarea (pentru $t$ în cadranul I). Fie $P$ proiecția lui $M$ pe $Ox$. Triunghiurile $OPM$ și $OAT$ sunt dreptunghice și au unghiul din $O$ comun, deci sunt asemenea. Din proporționalitatea laturilor:

$$\frac{AT}{OA}=\frac{PM}{OP}⟹\frac{AT}{1}=\frac{\sin t}{\cos t}⟹AT=\mathrm{tg}t.$$

Cum $T$ e pe dreapta $x=1$, coordonatele lui sunt $(1,\mathrm{tg}t)$. Pentru celelalte cadrane construcția e aceeași, doar că punctul $T$ poate ajunge sub axa $Ox$ — și atunci ordonata lui, deci tangenta, este negativă.

Axa tangentelor explică vizual trei lucruri deodată:

• De ce tangenta nu e mărginită. Punctul $T$ se plimbă pe o dreaptă infinită, nu pe un cerc: ordonata lui poate lua orice valoare reală. Mulțimea valorilor funcției tangentă este $\mathbb{R}$, nu $[-1,1]$.
• De ce nu există $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$. Pentru $t=\frac{\pi }{2}$, dreapta $OM$ este chiar axa $Oy$, verticală, deci paralelă cu axa tangentelor: nu o intersectează niciodată. Nu există punct $T$, deci nu există valoare.
• De ce numerele $t$ și $t+\pi$ au aceeași tangentă. Punctele $M(t)$ și $M(t+\pi )$ sunt diametral opuse, deci se află pe aceeași dreaptă care trece prin $O$; dreapta taie axa tangentelor în același punct $T$. Prin urmare $\mathrm{tg}(t+\pi )=\mathrm{tg}t$ — funcția tangentă se repetă din $\pi$ în $\pi$, nu din $2\pi$ în $2\pi$ ca sinusul și cosinusul. Formulele care decurg de aici le sistematizăm în lecția despre formulele pentru tangentă.

6. Ce se întâmplă lângă valorile interzise

Ia $t$ puțin mai mic decât $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ și urmărește raportul $\frac{\sin t}{\cos t}$: numărătorul se apropie de $1$, iar numitorul se apropie de $0$ rămânând pozitiv. O fracție cu numărător aproape $1$ și numitor foarte mic este un număr foarte mare:

Valorile cresc nemărginit. Pe axa tangentelor se vede perfect: cu cât raza $OM$ se apropie de verticală, cu atât punctul $T$ fuge mai sus, spre infinit.

Graficul funcției tangentă arată, prin urmare, complet diferit de al sinusului: nu e o linie ondulată continuă, ci o succesiune de ramuri crescătoare, câte una pe fiecare interval $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, separate de drepte verticale de care curba se apropie oricât de mult fără să le atingă. Aceste drepte, $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, se numesc asimptote verticale — noțiune pe care ai întâlnit-o la comportamentul asimptotic pe grafic.

7. La ce folosește tangenta

Trei situații în care tangenta e unealta potrivită, iar sinusul și cosinusul nu:

1. Înclinări și pante. Panta unui drum, unghiul unui acoperiș, înclinarea unei rampe — toate se exprimă ca raport „urcare / înaintare", adică exact tangenta unghiului. O rampă care urcă $8$ cm pe $100$ cm are $\mathrm{tg}t=0,08$.
2. Înălțimi inaccesibile. Dacă știi distanța până la baza unui turn și unghiul sub care îi vezi vârful, înălțimea este distanța înmulțită cu tangenta unghiului: $h=d\cdot \mathrm{tg}t$. De exemplu, dintr-un punct aflat la $60$ m de baza unui bloc, vârful se vede sub un unghi de $\frac{\pi }{6}$; atunci $h=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\approx 34,6$ m. Este principiul cu care se măsoară copaci, clădiri și munți fără să te apropii de ei, și tot el stă la baza teodolitului folosit de topografi.
3. Trecerea de la pantă la unghi. Operația inversă — „știu panta, vreau unghiul" — se face cu funcția arctangentă, pe care o vei studia mai târziu. Butonul ei de pe calculator se numește $\mathrm{arctg}$ sau ${\tan }^{-1}$.

Un ultim detaliu de vocabular: alături de tangentă există și cotangenta, definită prin $\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}$, cu valori interzise acolo unde sinusul se anulează. Îi dedicăm o lecție separată, despre funcția cotangentă și periodicitate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valorile de bază

Calculați $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$, folosind definiția.

Rezolvare. Din tabelul valorilor de bază:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\cos \frac{\pi }{6}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577;$$

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\approx 1,732.$$

Am raționalizat prima fracție înmulțind numărătorul și numitorul cu $\sqrt{3}$. Observă că cele două rezultate sunt inverse unul altuia: $\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=1$. $■$

Exemplul 2 — Valori interzise

Determinați numerele din intervalul $[0,2\pi ]$ care nu aparțin domeniului funcției tangentă.

Rezolvare. Tangenta nu e definită acolo unde $\cos x=0$, adică acolo unde punctul $M(x)$ are abscisa nulă — deci se află pe axa $Oy$. Pe $[0,2\pi ]$ acestea sunt punctele $B(0,1)$ și $B^{\prime }(0,-1)$, corespunzătoare numerelor

$$x=\frac{\pi }{2}\text{și}x=\frac{3\pi }{2}.$$

Toate celelalte numere din interval au tangentă. $■$

Exemplul 3 — Tangenta se repetă din $\pi$ în $\pi$

Calculați $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}$.

Rezolvare. Observăm că $\frac{5\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\pi$. Punctele $M\left(\frac{\pi }{4}\right)$ și $M\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ sunt diametral opuse, deci stau pe aceeași dreaptă prin origine; aceasta taie axa tangentelor într-un singur punct, deci cele două numere au aceeași tangentă:

$$\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1.$$

(Verificare cu calculatorul, în modul RAD: $\mathrm{tg}(3,927)\approx 1$ ✓.) $■$

Exemplul 4 — O expresie numerică

Calculați $E=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$.

Rezolvare. Înlocuim valorile din tabel:

$$E=1+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1+\frac{3}{3}=1+1=2.$$

Produsul $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=1$ nu e o coincidență: numerele $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{6}$ sunt complementare, iar sinusul unuia este cosinusul celuilalt, deci tangentele lor sunt fracții inversate. $■$

Exemplul 5 — Tangenta nu este mărginită

Arătați că există numere reale $t$ pentru care $\mathrm{tg}t=1000$, deși nu există niciun număr real cu $\sin t=1000$.

Rezolvare. Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, deci $|\sin t|\le 1$: egalitatea $\sin t=1000$ este imposibilă.

Tangenta, în schimb, se citește pe axa tangentelor, o dreaptă verticală infinită. Punctul $T(1,1000)$ se află pe această dreaptă; dreapta $OT$ taie cercul într-un punct $M$, iar numărul $t$ asociat lui verifică $\mathrm{tg}t=1000$. Practic, $t$ este foarte aproape de $\frac{\pi }{2}$ (mai precis, $t\approx 1,5698$). Mulțimea valorilor funcției tangentă este toată mulțimea $\mathbb{R}$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția tangentă, $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$. a) Arătați că numărul $\frac{3\pi }{2}$ nu aparține domeniului de definiție al funcției. b) Calculați $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$. c) Arătați că $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=1$.

Rezolvare. a) Punctul asociat numărului $\frac{3\pi }{2}$ este $B^{\prime }(0,-1)$, cu abscisa $0$, deci $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Numitorul fracției $\frac{\sin t}{\cos t}$ se anulează, așadar $\frac{3\pi }{2}\notin D$.

b) Din tabel, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$:

$$\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot 1=0.$$

c)

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{3}=1.■$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de orice calcul, verifică dacă numărul dat aparține domeniului funcției tangentă — e primul lucru pe care îl urmărește orice barem.

1. Calculează $\mathrm{tg}0$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$.

2. Explică, folosind definiția, de ce nu există $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$.

3. Scrie domeniul maxim de definiție al funcției tangentă.

4. Care dintre numerele $0$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$ aparțin domeniului funcției tangentă?

5. Calculează $\mathrm{tg}\pi$ și $\mathrm{tg}2\pi$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția tangentă este mărginită, la fel ca sinusul și cosinusul."

7. Calculează $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$.

8. Calculează ${\left(\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\right)}^2-3$ și ${\left(\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\right)}^2$.

9. Verifică, folosind valorile din tabel, relația $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$ pentru $t=\frac{\pi }{3}$.

10. Folosind axa tangentelor, arată că $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$.

11. (Problemă aplicată.) O rampă urcă $3$ m pe o distanță orizontală de $4$ m. Cât este tangenta unghiului de înclinare? Este acest unghi mai mare sau mai mic decât $\frac{\pi }{4}$? Justifică fără calculator.

12. Razele soarelui fac cu solul un unghi de $\frac{\pi }{6}$, iar umbra unui copac are $10$ m. Ce înălțime are copacul?

13. Un turn de $30$ m este privit dintr-un punct aflat la $30$ m de baza lui. Ce valoare are tangenta unghiului sub care se vede vârful? Ce unghi este acesta?

14. Determină numărul $t$ din intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru care $\mathrm{tg}t=1$. Dar cel pentru care $\mathrm{tg}t=\sqrt{3}$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Arătați că $\frac{\pi }{2}$ nu aparține domeniului de definiție al funcției tangentă. b) Calculați $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$. c) Arătați că ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{6}+1=\frac{4}{3}$.

16. Rezolvă ecuația $\cos x=0$ pe intervalul $[0,2\pi ]$ și explică legătura dintre soluții și domeniul funcției tangentă.

17. Folosind axa tangentelor, explică de ce valorile $\mathrm{tg}t$ cresc nemărginit atunci când $t$ se apropie de $\frac{\pi }{2}$ prin valori mai mici.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $t$ din domeniul funcției tangentă, are loc relația

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}.$$

Verifică apoi formula pentru $t=\frac{\pi }{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{tg}0=\frac{0}{1}=0$; $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$; $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$.

2. Pentru că $\cos \frac{\pi }{2}=0$ (punctul asociat este $B(0,1)$, cu abscisa nulă), iar în fracția $\frac{\sin t}{\cos t}$ numitorul nu poate fi zero. Geometric: dreapta $OB$ e verticală, deci paralelă cu axa tangentelor, și nu o intersectează.

3. $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4. Aparțin domeniului: $0$, $\frac{\pi }{4}$, $\pi$ și $2\pi$. Nu aparțin: $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, singurele numere din listă pentru care cosinusul se anulează.

5. $\mathrm{tg}\pi =\frac{\sin \pi }{\cos \pi }=\frac{0}{-1}=0$ și $\mathrm{tg}2\pi =\frac{0}{1}=0$. Tangenta se anulează în toate punctele de pe axa $Ox$, adică pentru $t=k\pi$.

6. Fals. Sinusul și cosinusul sunt coordonate ale unor puncte de pe cercul de rază $1$, deci rămân în $[-1,1]$; tangenta se citește pe axa tangentelor, o dreaptă infinită, și poate lua orice valoare reală. Mulțimea valorilor ei este $\mathbb{R}$.

7. $1+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1+1=2$.

8. ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-3=3-3=0$; ${\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

9. $\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$ ✓.

10. Numerele $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$ diferă prin $\pi$, deci punctele lor de pe cerc sunt diametral opuse și se află pe aceeași dreaptă care trece prin origine. Această dreaptă intersectează axa tangentelor într-un singur punct $T$, deci ambele numere au aceeași tangentă: $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$.

11. $\mathrm{tg}t=\frac{3}{4}=0,75$. Cum $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1>0,75$, iar tangenta este crescătoare pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, rezultă că unghiul rampei este mai mic decât $\frac{\pi }{4}$ (adică sub $45^{\circ }$). Într-adevăr, el are aproximativ $36,9^{\circ }$.

12. Înălțimea este $h=10\cdot \mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77$ m. (Umbra e mai lungă decât copacul, fiindcă soarele e jos pe cer.)

13. $\mathrm{tg}t=\frac{30}{30}=1$, deci unghiul este $\frac{\pi }{4}$, adică $45^{\circ }$. Este cazul particular în care înălțimea egalează distanța.

14. $\mathrm{tg}t=1$ dă $t=\frac{\pi }{4}$; $\mathrm{tg}t=\sqrt{3}$ dă $t=\frac{\pi }{3}$. Pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ fiecare valoare se atinge o singură dată, tangenta fiind strict crescătoare acolo.

15. a) $\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar numitorul fracției $\frac{\sin t}{\cos t}$ trebuie să fie nenul, deci $\frac{\pi }{2}\notin D$. b) $\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot 1=0$. c) ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{6}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$ ✓. (Rezultatul se putea anticipa cu formula de la exercițiul 18: $\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$.)

16. Cosinusul este abscisa punctului $M(x)$, iar aceasta e nulă exact când punctul se află pe axa $Oy$; pe $[0,2\pi ]$ avem punctele $B$ și $B^{\prime }$, deci $x\in \left\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right\}$. Acestea sunt exact valorile scoase din domeniul funcției tangentă; adăugând turele complete, obținem forma generală $\frac{\pi }{2}+k\pi$.

17. Când $t$ crește spre $\frac{\pi }{2}$, raza $OM$ se apropie de poziția verticală. Punctul $T$, în care dreapta $OM$ taie axa tangentelor, urcă din ce în ce mai sus, fără nicio limită: la $t=1,5$ el e la înălțimea $14,1$, la $t=1,57$ e la $1255,8$, la $t=1,5707$ e la peste $10000$. În limbajul fracției $\frac{\sin t}{\cos t}$: numărătorul tinde la $1$, iar numitorul la $0$, deci raportul crește nemărginit. Dreapta $x=\frac{\pi }{2}$ este asimptotă verticală pentru graficul funcției.

18. Pornim de la definiție și folosim formula fundamentală ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}t=1+\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}.$$

Toate operațiile sunt permise, fiindcă $t$ e din domeniu, deci $\cos t\ne 0$. Verificare pentru $t=\frac{\pi }{3}$: membrul stâng este $1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4$, iar membrul drept $\frac{1}{(1/2{)}^2}=4$ ✓.

De reținut

• Definiție: $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$, adică raportul dintre ordonata și abscisa punctului $M(t)$ de pe cercul trigonometric.
• Domeniul: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$; pe $[0,2\pi ]$ valorile interzise sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, soluțiile ecuației $\cos x=0$.
• Valori de bază: $\mathrm{tg}0=0$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\mathrm{tg}\pi =0$.
• Axa tangentelor este dreapta $x=1$; dreapta $OM$ o taie în $T(1,\mathrm{tg}t)$. De aici se vede că tangenta nu este mărginită (mulțimea valorilor este $\mathbb{R}$) și că $\mathrm{tg}(t+\pi )=\mathrm{tg}t$.
• Lângă valorile interzise, tangenta crește (sau scade) nemărginit; graficul are asimptote verticale $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.

Greșeli frecvente

• Se uită condiția $\cos t\ne 0$. Orice exercițiu cu tangentă începe cu verificarea domeniului; a scrie $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=\infty$ este greșit — valoarea pur și simplu nu există.
• Se inversează raportul. $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$, nu invers; fracția răsturnată este cotangenta. Mnemotehnic: tangenta e „sinus peste cosinus", în ordine alfabetică.
• Se crede că tangenta e cuprinsă între $-1$ și $1$. Mărginirea e valabilă doar pentru sinus și cosinus. Tangenta ia orice valoare reală: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}>1$ e chiar în tabelul de bază.
• Se folosește perioada $2\pi$ în loc de $\pi$. Tangenta se repetă din $\pi$ în $\pi$; de exemplu, $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$, deși cele două numere au puncte diferite pe cerc.
• Se raționalizează greșit. $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nu $\frac{3}{\sqrt{3}}$; forma standard a răspunsului nu are radical la numitor.

Aplică acasă

1. Panta din cartier. Găsește o rampă, o scară exterioară sau o stradă în pantă. Măsoară cu ruleta cât urcă pe o distanță orizontală de un metru (poți folosi o riglă lungă ținută orizontal și o alta verticală). Raportul obținut este tangenta unghiului de înclinare. Compară-l cu valorile din tabel: e sub $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (adică sub $30^{\circ }$), între $\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $1$, sau peste $1$?

2. Măsoară un copac fără să te urci în el. Îndepărtează-te de un copac până când îl vezi vârful sub un unghi de aproximativ $45^{\circ }$ (poți folosi o foaie A4 îndoită pe diagonală ca vizor: când vârful se aliniază cu diagonala, unghiul e de $45^{\circ }$). Atunci $\mathrm{tg}t=1$, deci înălțimea copacului este chiar distanța până la el, plus înălțimea ochilor tăi. Măsoară distanța cu pașii și verifică.

3. Explorează asimptota cu calculatorul. Pune calculatorul pe modul RAD și calculează $\mathrm{tg}t$ pentru $t=1,5$; $1,55$; $1,57$; $1,5707$; $1,57079$. Notează rezultatele într-un tabel și observă cât de repede cresc. Încearcă apoi $t=\pi /2$ exact: majoritatea calculatoarelor afișează „Error" sau „Math ERROR" — exact ce spune matematica.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a treia funcție trigonometrică și, odată cu ea, prima funcție din capitol al cărei domeniu nu este întreaga mulțime a numerelor reale. Programa cere explicit studiul funcției tangentă pe intervalul $[0,2\pi ]$ fără punctele $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, precum și determinarea soluțiilor ecuației $\cos x=0$ tocmai pentru stabilirea domeniului de definiție — traseu pe care lecția îl parcurge pas cu pas. Verificarea minimă: elevul scrie corect definiția ca raport, deduce singur valorile interzise și nu confundă mulțimea valorilor tangentei cu $[-1,1]$.

Întrebări bune de control: „De ce nu există $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$?" (cosinusul se anulează; geometric, raza e paralelă cu axa tangentelor); „Care e domeniul funcției tangentă?" ($\mathbb{R}$ fără $\frac{\pi }{2}+k\pi$); „Cât e $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$ și de ce e ușor de reținut?" (este $1$, fiindcă sinusul și cosinusul sunt egale acolo); „Poate tangenta să fie $50$?" (da, mulțimea valorilor este $\mathbb{R}$). Semne că a înțeles: verifică domeniul înainte de calcul și folosește axa tangentelor ca argument vizual, nu doar formula.

La teze și la Bacalaureat, tangenta apare în calcule de expresii cu valori de bază, în cerințe de tipul „determinați domeniul de definiție", în relația $1+{\mathrm{tg}}^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$ și, la geometrie, în probleme de înălțimi și pante. Cerința „arătați că un anumit număr nu aparține domeniului" este un exercițiu clasic de subiectul I, care se rezolvă în două rânduri dacă elevul știe unde se anulează cosinusul.

Întrebări frecvente

Ce este tangenta unui număr real? Este raportul dintre sinusul și cosinusul acelui număr: $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$. Pe cercul trigonometric, înseamnă raportul dintre ordonata și abscisa punctului asociat lui $t$.

Care este domeniul de definiție al funcției tangentă? Toate numerele reale, cu excepția celor pentru care cosinusul se anulează: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Pe intervalul $[0,2\pi ]$, valorile excluse sunt $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$.

De ce nu există tangenta lui $\frac{\pi }{2}$? Pentru că $\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar împărțirea la zero nu are sens. Geometric: raza corespunzătoare este verticală, deci paralelă cu axa tangentelor, și nu o intersectează în niciun punct.

Cât este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$? Este $1$, pentru că sinusul și cosinusul lui $\frac{\pi }{4}$ sunt egale, ambele $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Corespunde unei pante de $45^{\circ }$, adică de $100\%$.

Este tangenta mărginită? Nu. Spre deosebire de sinus și cosinus, care rămân în $[-1,1]$, tangenta poate lua orice valoare reală. Se vede pe axa tangentelor, care este o dreaptă infinită.

Ce este axa tangentelor? Este dreapta verticală $x=1$, tangentă la cerc în punctul $A(1,0)$. Prelungind raza $OM$ până taie această dreaptă, obții punctul $T(1,\mathrm{tg}t)$: ordonata lui este chiar tangenta numărului $t$.

Care este perioada funcției tangentă? Este $\pi$, nu $2\pi$: numerele $t$ și $t+\pi$ au puncte diametral opuse pe cerc, situate pe aceeași dreaptă prin origine, deci aceeași tangentă.

Unde folosesc tangenta în practică? La orice înclinare: panta unui drum sau a unui acoperiș, unghiul unei rampe de acces, măsurarea înălțimii unui copac sau a unei clădiri de la distanță, calculul unghiului de vizare în topografie și în optică.