Acasă · Lecții · clasa a X-a · Logaritmul unui număr: definiție și primele calcule

Logaritmul unui număr: definiție și primele calcule

În lecțiile despre ecuații exponențiale elementare am rezolvat fără dificultate $2^{x} = 8$ sau $2^{x} = \frac{1}{4}$ : scriam membrul drept ca putere a lui $2$ și comparam exponenții. Dar ce facem cu $2^{x} = 5$ ? Numărul $5$ nu este o putere „frumoasă" a lui $2$ : știm doar că $2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}$ , deci soluția e undeva între $2$ și $3$ . Ecuația are, cu siguranță, exact o soluție — funcția exponențială fiind bijectivă de la $R$ la $(0, \infty)$ — dar acea soluție nu se scrie cu niciunul dintre simbolurile de până acum.

Matematica rezolvă astfel de situații într-un mod care ți-e deja familiar: îi dă un nume și o notație. Așa a apărut radicalul, când puterea a $n$ -a a refuzat să se inverseze cu mijloacele existente; tot așa apare acum logaritmul, care răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin numărul dat?". La trunchiul comun noțiunea apare, la nivel intuitiv, încă din clasa a IX-a, în lecția logaritm; aici o așezăm riguros, cu teorema de existență și unicitate și cu disciplina condițiilor de existență, pe care se sprijină tot capitolul.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția logaritmului și să justifici de ce el există și este unic.
Vei ști condițiile de existență — baza $a > 0$ , $a \neq = 1$ , argumentul $b > 0$ — și de ce fiecare este necesară.
Vei ști să treci în ambele sensuri între forma exponențială $a^{c} = b$ și forma logaritmică $lo g_{a} b = c$ .
Vei ști să calculezi logaritmi direct din definiție, inclusiv cu rezultat negativ sau fracționar.
Vei ști să folosești identitățile $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{x} = x$ , $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ .
Vei ști să determini domeniul de existență al unei expresii cu logaritmi și să încadrezi un logaritm între doi întregi consecutivi.

Hai să descoperim împreună

1. De ce există soluția lui $2^{x} = 5$

Funcția $f : R \to (0, \infty)$ , $f (x) = 2^{x}$ , este strict crescătoare, deci injectivă, și are imaginea egală cu tot codomeniul, deci este și surjectivă — adică bijectivă, în sensul studiat la funcții injective, surjective, bijective.

Concluzia este puternică: pentru orice număr $b > 0$ , ecuația $2^{x} = b$ are exact o soluție reală. Nu mai puțin (surjectivitatea garantează existența), nu mai mult (injectivitatea garantează unicitatea). Același raționament merge pentru orice bază $a > 0$ , $a \neq = 1$ .

Această unică soluție merită un nume — și îl primește.

Merită observat cât de mult seamănă situația cu cea de la radicali. Ecuația $x^{3} = 5$ nu are soluție „frumoasă", dar are exact una reală, iar noi i-am dat numele $35$ . La fel, $2^{x} = 5$ are exact o soluție reală, căreia îi vom da numele $lo g_{2} 5$ . În ambele cazuri, notația nu este un truc de evitare a răspunsului: ea denumește un număr real perfect determinat, cu care se poate calcula mai departe.

2. Definiția logaritmului

Definiție. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ . Se numește logaritm în baza $a$ al numărului $b$ unicul număr real $c$ cu proprietatea $a^{c} = b$ . Se notează $c = lo g_{a} b$ .

Pe scurt, cele două scrieri spun exact același lucru:

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b .$

Numărul $a$ se numește baza logaritmului, iar $b$ se numește argumentul (sau numărul de sub logaritm). Reține formularea care te scoate din orice încurcătură: logaritmul este un exponent. Când vezi $lo g_{2} 32$ , gândește „la ce putere ridic $2$ ca să obțin $32$ ?" — răspunsul, $5$ , este chiar logaritmul.

✏️Ilustrație: o balanță cu două talere; pe talerul stâng scrie „log_a b = c", pe cel drept „a^c = b", iar deasupra, o săgeată dublă cu textul „aceeași informație, două limbaje"

3. De ce fiecare condiție de existență este necesară

Condițiile $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ nu sunt capricii; fiecare blochează o situație în care logaritmul nu ar exista sau nu ar fi unic.

$b > 0$ (argumentul strict pozitiv). Puterea $a^{c}$ este strict pozitivă pentru orice exponent real, deci ea nu poate fi niciodată $0$ sau negativă. Prin urmare $lo g_{2} 0$ și $lo g_{2} (- 8)$ nu există. Este cea mai frecventă capcană de la examen.
$a \neq = 1$ . Dacă baza ar fi $1$ , am avea $1^{c} = 1$ pentru orice $c$ . Atunci $lo g_{1} 5$ nu ar exista (nicio putere a lui $1$ nu dă $5$ ), iar $lo g_{1} 1$ ar fi orice număr real — deci nu ar fi unic. Ambele situații strică definiția.
$a > 0$ . Pentru baze negative, puterile cu exponent real nu sunt definite: $(- 2)^{1/2}$ nu are sens în $R$ . Deci $lo g_{- 2} 8$ nu există, deși $(- 2)^{3} = - 8$ ar putea sugera altceva.

4. Trecerea între cele două forme și identitățile de bază

Traducerea dintr-o formă în alta este mecanică. Din $3^{4} = 81$ obținem $lo g_{3} 81 = 4$ ; din $lo g_{5} \frac{1}{25} = - 2$ obținem $5^{- 2} = \frac{1}{25}$ .

Din definiție rezultă imediat patru egalități pe care le vei folosi în fiecare exercițiu:

$a^{l o g_{a} b} = b (b > 0), lo g_{a} a^{x} = x (x \in R), lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1.$

Prima spune că, ridicând baza la logaritm, „recuperezi" argumentul — este chiar definiția, scrisă altfel. A doua spune că logaritmul recuperează exponentul. Împreună, ele exprimă faptul că exponențiala și logaritmul sunt operații inverse una alteia. Ultimele două sunt cazuri particulare: $a^{0} = 1$ și $a^{1} = a$ .

Exemple: $7^{l o g_{7} 12} = 12$ , $lo g_{3} 3^{- 5} = - 5$ , $lo g_{11} 1 = 0$ , $lo g_{0, 4} 0, 4 = 1$ .

5. Cum calculezi un logaritm din definiție

Metoda are doi pași: scrii argumentul ca putere a bazei, apoi citești exponentul.

$lo g_{2} 32$ : cum $32 = 2^{5}$ , rezultă $lo g_{2} 32 = 5$ .
$lo g_{3} \frac{1}{81}$ : cum $\frac{1}{81} = 3^{- 4}$ , rezultă $- 4$ .
$lo g_{1/2} 8$ : cum $8 = 2^{3} = (\frac{1}{2})^{- 3}$ , rezultă $- 3$ .
$lo g_{9} 27$ : scriem ambele numere în baza $3$ ; căutăm $c$ cu $9^{c} = 27$ , adică $3^{2 c} = 3^{3}$ , deci $2 c = 3$ și $c = \frac{3}{2}$ .
$lo g_{2} 8$ : căutăm $c$ cu $(2^{1/2})^{c} = 2^{3}$ , adică $\frac{c}{2} = 3$ , deci $c = 6$ .
$lo g_{0, 2} 25$ : cum $0, 2 = \frac{1}{5}$ și $25 = 5^{2} = (\frac{1}{5})^{- 2}$ , rezultă $- 2$ .

De ce funcționează metoda? Pentru că, după ce am scris ambii membri ca puteri ale aceleiași baze, folosim injectivitatea funcției exponențiale: din $a^{u} = a^{v}$ rezultă $u = v$ . Acesta este singurul argument din spatele tuturor calculelor de mai sus; scrie-l măcar o dată în caiet, ca să nu-l aplici mecanic.

Un caz care încurcă des: $lo g_{1/8} 4$ . Aducem la baza $2$ : baza este $2^{- 3}$ , argumentul $2^{2}$ . Căutăm $c$ cu $2^{- 3 c} = 2^{2}$ , deci $- 3 c = 2$ și $c = - \frac{2}{3}$ . Verificare: $(\frac{1}{8})^{- 2/3} = 8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4$ ✓.

Când baza și argumentul nu sunt puteri ale aceluiași număr — de exemplu la $lo g_{2} 5$ — logaritmul există, dar nu se poate scrie cu numere „frumoase". Îl lăsăm așa cum e, exact ca pe $2$ , și îl aproximăm doar când avem nevoie de o valoare numerică.

6. Logaritmul zecimal și logaritmul natural

Două baze sunt atât de des folosite încât au notații proprii, aceleași ca în lecția de clasa a IX-a despre logaritm natural și logaritm zecimal:

logaritmul zecimal, în baza $10$ : $l g x = lo g_{10} x$ ;
logaritmul natural, în baza $e \approx 2, 718$ : $ln x = lo g_{e} x$ .

Astfel, $l g 1000 = 3$ , $l g 0, 01 = - 2$ , $ln e = 1$ , $ln e^{4} = 4$ . Regula de scriere pe care o respectăm peste tot: nu folosim niciodată „log" fără bază. Ori scriem $lo g_{a} x$ cu baza precizată, ori folosim $l g$ și $ln$ .

7. Condițiile de existență se scriu ÎNTÂI

Când sub logaritm apare o expresie cu necunoscută, primul lucru care se scrie în rezolvare sunt condițiile de existență. Nu la sfârșit, ca verificare — la început, ca ipoteză de lucru. Baremele de Bacalaureat M1 punctează separat acest pas.

Exemplu. Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{3} (2 x - 6)$ ?

Condiția de existență: argumentul strict pozitiv, adică $2 x - 6 > 0$ , de unde $x > 3$ . Domeniul este $(3, \infty)$ .

Exemplu cu bază variabilă. Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{x - 1} (7 - x)$ ?

Aici sunt trei condiții simultane:

$x - 1 > 0, x - 1 \neq = 1, 7 - x > 0,$

adică $x > 1$ , $x \neq = 2$ și $x < 7$ . Intersectând, obținem $x \in (1, 2) \cup (2, 7)$ . Observă că punctul $x = 2$ este scos din interval: acolo baza ar fi $1$ .

✏️Ilustrație: axa numerelor reale cu intervalul (1, 7) hașurat, capetele 1 și 7 marcate cu cerculețe goale, iar punctul 2 marcat cu un X roșu și eticheta „baza ar fi 1"

8. Semnul unui logaritm și încadrarea între întregi

Nu e nevoie de calculator ca să spui dacă un logaritm este pozitiv sau negativ. Regula, care vine direct din monotonie: $lo g_{a} b > 0$ dacă $a$ și $b$ sunt de aceeași parte a lui $1$ (ambele supraunitare sau ambele subunitare) și $lo g_{a} b < 0$ dacă sunt de o parte și de alta.

Astfel: $lo g_{3} 0, 9 < 0$ (bază supraunitară, argument subunitar), iar $lo g_{0, 5} 0, 2 > 0$ (ambele subunitare).

Pentru o estimare mai fină, încadrăm logaritmul între doi întregi consecutivi, folosind puteri cunoscute. De exemplu, la $lo g_{2} 50$ : din $2^{5} = 32 < 50 < 64 = 2^{6}$ și din creșterea funcției exponențiale rezultă $5 < lo g_{2} 50 < 6$ . La fel, din $3^{4} = 81 < 100 < 243 = 3^{5}$ obținem $4 < lo g_{3} 100 < 5$ .

Tehnica este utilă și în informatică: numărul de biți necesari pentru a codifica $N$ valori distincte este cel mai mic întreg $n$ cu $2^{n} \geq N$ , adică partea întreagă „de sus" a lui $lo g_{2} N$ . Pentru $N = 1000$ de valori, din $2^{9} = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}$ rezultă că sunt necesari $10$ biți. Nu ai avut nevoie de calculator, doar de două puteri ale lui $2$ pe care le știi pe de rost.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Patru logaritmi din definiție

Calculați $lo g_{2} 64$ , $lo g_{3} \frac{1}{81}$ , $lo g_{1/2} 8$ și $lo g_{5} 5$ .

Rezolvare. $64 = 2^{6}$ , deci $lo g_{2} 64 = 6$ . Apoi $\frac{1}{81} = 3^{- 4}$ , deci $lo g_{3} \frac{1}{81} = - 4$ . Mai departe, $8 = (\frac{1}{2})^{- 3}$ , deci $lo g_{1/2} 8 = - 3$ . În fine, $5 = 5^{1/2}$ , deci $lo g_{5} 5 = \frac{1}{2}$ . $■$

Exemplul 2 — Bază și argument în baze diferite

Calculați $lo g_{0, 25} 8$ .

Rezolvare. Aducem totul la baza $2$ : $0, 25 = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ și $8 = 2^{3}$ . Căutăm $c$ cu $(2^{- 2})^{c} = 2^{3}$ , adică $2^{- 2 c} = 2^{3}$ . Funcția exponențială fiind injectivă, $- 2 c = 3$ , deci $c = - \frac{3}{2}$ .

Verificare: $(\frac{1}{4})^{- 3/2} = 4^{3/2} = (2^{2})^{3/2} = 2^{3} = 8$ ✓. Deci $lo g_{0, 25} 8 = - \frac{3}{2}$ . $■$

Exemplul 3 — Ecuație cu necunoscuta în argument

Rezolvați ecuația $lo g_{3} x = - 2$ .

Rezolvare. Condiție de existență: $x > 0$ .

Trecem în formă exponențială: $x = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . Valoarea găsită respectă condiția $x > 0$ , deci este soluție. $S = {\frac{1}{9}}$ . $■$

Exemplul 4 — Ecuație cu necunoscuta în bază

Rezolvați ecuația $lo g_{x} 16 = 4$ .

Rezolvare. Condiții de existență: $x > 0$ și $x \neq = 1$ (argumentul $16$ este deja pozitiv).

Forma exponențială: $x^{4} = 16$ . Ecuația $x^{4} = 16$ are în $R$ soluțiile $x = 2$ și $x = - 2$ . Valoarea $- 2$ se respinge, pentru că nu respectă condiția $x > 0$ ; valoarea $2$ o respectă și este diferită de $1$ .

Verificare: $lo g_{2} 16 = 4$ , căci $2^{4} = 16$ ✓. Deci $S = {2}$ . $■$

Exemplul 5 — Domeniul unei expresii cu bază variabilă

Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care are sens expresia $lo g_{x - 2} (6 - x)$ .

Rezolvare. Impunem, simultan:

$x - 2 > 0, x - 2 \neq = 1, 6 - x > 0,$

adică $x > 2$ , $x \neq = 3$ și $x < 6$ . Intersecția este $x \in (2, 3) \cup (3, 6)$ .

Control rapid: pentru $x = 4$ expresia devine $lo g_{2} 2 = 1$ , deci are sens ✓; pentru $x = 3$ baza ar fi $1$ , interzis ✓; pentru $x = 7$ argumentul ar fi $- 1$ , interzis ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Calculați $E = 2^{l o g_{2} 7} + lo g_{5} \frac{1}{125} + lo g_{3} 9$ .

Rezolvare. Luăm termenii pe rând.

Primul: $2^{l o g_{2} 7} = 7$ , din identitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ .

Al doilea: $\frac{1}{125} = 5^{- 3}$ , deci $lo g_{5} \frac{1}{125} = - 3$ .

Al treilea: căutăm $c$ cu $(3^{1/2})^{c} = 9 = 3^{2}$ , adică $\frac{c}{2} = 2$ , deci $c = 4$ . Verificare: $(3)^{4} = 3^{2} = 9$ ✓.

Prin urmare $E = 7 + (- 3) + 4 = 8$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La orice expresie cu necunoscută sub logaritm, scrie condițiile de existență înainte de a începe calculul.

1. Calculează $lo g_{2} 64$ , $lo g_{3} 81$ , $lo g_{5} 125$ și $l g 1000$ .

2. Calculează $lo g_{2} \frac{1}{8}$ , $lo g_{3} \frac{1}{9}$ , $lo g_{1/2} 16$ și $lo g_{1/3} 27$ .

3. Calculează $lo g_{4} 8$ , $lo g_{8} 4$ , $lo g_{9} 27$ și $lo g_{27} 9$ .

4. Calculează $lo g_{3} 9$ , $lo g_{2} 32$ și $lo g_{0, 5} 0, 125$ .

5. Scrie în formă logaritmică: $7^{2} = 49$ ; $1 0^{- 3} = 0, 001$ ; $(\frac{1}{4})^{- 2} = 16$ .

6. Scrie în formă exponențială: $lo g_{6} 216 = 3$ ; $lo g_{1/5} 125 = - 3$ ; $l g 10000 = 4$ .

7. Rezolvă ecuațiile $lo g_{3} x = 4$ și $lo g_{2} x = - 5$ .

8. Rezolvă ecuațiile $lo g_{x} 27 = 3$ și $lo g_{x} 8 = - 3$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $lo g_{2} (- 8) = - 3$ , pentru că $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ ."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $x$ astfel încât $lo g_{1} 5 = x$ ."

11. Determină domeniul de existență pentru: $lo g_{3} (2 x - 6)$ ; $lo g_{5} (4 - x)$ ; $lo g_{2} (x^{2} - 9)$ .

12. Determină valorile lui $x$ pentru care are sens $lo g_{x - 1} (7 - x)$ .

13. Calculează $3^{l o g_{3} 11}$ , $lo g_{7} 7^{- 4}$ , $lo g_{5} 1$ și $lo g_{12} 12$ .

14. Încadrează între doi întregi consecutivi: $lo g_{2} 50$ , $lo g_{3} 100$ și $l g 4567$ .

15. (Problemă aplicată.) O foaie de hârtie are grosimea de $0, 1$ mm. La fiecare îndoire, numărul de straturi se dublează. Care este cel mai mic număr de îndoiri după care grosimea teoretică depășește $1$ metru?

16. Decide, fără calculator, dacă sunt pozitivi sau negativi: $lo g_{2} 0, 5$ , $lo g_{0, 5} 0, 2$ , $lo g_{3} 0, 9$ și $lo g_{0, 4} 7$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $E = lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9} + 5^{l o g_{5} 4}$ .

18. (Provocare.) Arată că $lo g_{2} 3$ nu este număr rațional.

Răspunsuri și explicații

1. $64 = 2^{6} \Rightarrow 6$ ; $81 = 3^{4} \Rightarrow 4$ ; $125 = 5^{3} \Rightarrow 3$ ; $1000 = 1 0^{3} \Rightarrow 3$ .

2. $\frac{1}{8} = 2^{- 3} \Rightarrow - 3$ ; $\frac{1}{9} = 3^{- 2} \Rightarrow - 2$ ; $16 = (\frac{1}{2})^{- 4} \Rightarrow - 4$ ; $27 = (\frac{1}{3})^{- 3} \Rightarrow - 3$ .

3. $4^{c} = 8 ⟺ 2^{2 c} = 2^{3} \Rightarrow c = \frac{3}{2}$ ; $8^{c} = 4 ⟺ 2^{3 c} = 2^{2} \Rightarrow c = \frac{2}{3}$ ; $9^{c} = 27 ⟺ 3^{2 c} = 3^{3} \Rightarrow c = \frac{3}{2}$ ; $2 7^{c} = 9 \Rightarrow c = \frac{2}{3}$ . Observă simetria: $lo g_{4} 8$ și $lo g_{8} 4$ sunt inverse unul altuia.

4. $(3)^{c} = 9 ⟺ 3^{c /2} = 3^{2} \Rightarrow c = 4$ ; $(2)^{c} = 32 ⟺ 2^{c /2} = 2^{5} \Rightarrow c = 10$ ; $0, 125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3} \Rightarrow 3$ .

5. $lo g_{7} 49 = 2$ ; $l g 0, 001 = - 3$ ; $lo g_{1/4} 16 = - 2$ .

6. $6^{3} = 216$ ; $(\frac{1}{5})^{- 3} = 125$ ; $1 0^{4} = 10000$ .

7. Condiție: $x > 0$ . Din $lo g_{3} x = 4$ rezultă $x = 3^{4} = 81$ ; din $lo g_{2} x = - 5$ rezultă $x = 2^{- 5} = \frac{1}{32}$ . Ambele sunt strict pozitive, deci convin.

8. Condiții: $x > 0$ , $x \neq = 1$ . Din $x^{3} = 27$ rezultă $x = 3$ (convine). Din $x^{- 3} = 8$ rezultă $x^{3} = \frac{1}{8}$ , deci $x = \frac{1}{2}$ (convine). Verificare: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ ✓.

9. Fals. Argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar $- 8 < 0$ , deci $lo g_{2} (- 8)$ nu există. Egalitatea corectă este $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ .

10. Fals. Ar trebui ca $1^{x} = 5$ , dar $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ real. De aceea baza $1$ este exclusă prin definiție.

11. $2 x - 6 > 0 \Rightarrow x \in (3, \infty)$ . $4 - x > 0 \Rightarrow x \in (- \infty, 4)$ . $x^{2} - 9 > 0 \Rightarrow x \in (- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$ (trinom cu rădăcinile $\pm 3$ , pozitiv în afara lor).

12. Condiții: $x - 1 > 0$ , $x - 1 \neq = 1$ , $7 - x > 0$ , adică $x > 1$ , $x \neq = 2$ , $x < 7$ . Domeniul: $(1, 2) \cup (2, 7)$ .

13. $3^{l o g_{3} 11} = 11$ ; $lo g_{7} 7^{- 4} = - 4$ ; $lo g_{5} 1 = 0$ ; $lo g_{12} 12 = 1$ .

14. $2^{5} = 32 < 50 < 64 = 2^{6}$ , deci $lo g_{2} 50 \in (5, 6)$ . $3^{4} = 81 < 100 < 243 = 3^{5}$ , deci $lo g_{3} 100 \in (4, 5)$ . $1 0^{3} = 1000 < 4567 < 10000 = 1 0^{4}$ , deci $l g 4567 \in (3, 4)$ .

15. După $n$ îndoiri grosimea este $0, 1 \cdot 2^{n}$ mm. Condiția „peste $1$ metru" înseamnă $0, 1 \cdot 2^{n} > 1000$ , adică $2^{n} > 10000$ . Cum $2^{13} = 8192 < 10000 < 16384 = 2^{14}$ , cel mai mic număr natural care convine este $n = 14$ . (Altfel spus, $lo g_{2} 10000$ este cuprins între $13$ și $14$ .)

16. $lo g_{2} 0, 5 = - 1 < 0$ (bază supraunitară, argument subunitar). $lo g_{0, 5} 0, 2 > 0$ (ambele subunitare); mai precis, $0, 5^{2} = 0, 25 > 0, 2$ , deci valoarea e puțin peste $2$ . $lo g_{3} 0, 9 < 0$ . $lo g_{0, 4} 7 < 0$ (bază subunitară, argument supraunitar).

17. $lo g_{2} 8 = 3$ ; $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ ; $5^{l o g_{5} 4} = 4$ . Deci $E = 3 - 2 + 4 = 5$ .

18. Presupunem prin absurd că $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ , cu $p, q$ numere naturale nenule. Atunci $2^{p / q} = 3$ , deci, ridicând la puterea $q$ , $2^{p} = 3^{q}$ . Membrul stâng este un număr par (căci $p \geq 1$ ), iar membrul drept este impar, fiind putere a lui $3$ — contradicție. Prin urmare $lo g_{2} 3$ este irațional. (Observă că $lo g_{2} 3 > 0$ , deci presupunerea cu $p, q$ naturale nu pierde generalitate.)

De reținut

Definiția: pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b$ este unicul număr $c$ cu $a^{c} = b$ . Echivalent: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ .
Logaritmul este un exponent. Ca să-l calculezi, scrie argumentul ca putere a bazei și citește exponentul.
Condițiile de existență se scriu întâi: argumentul strict pozitiv, baza strict pozitivă și diferită de $1$ . Fără ele, rezolvarea este incompletă la barem.
Identitățile-cheie: $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{x} = x$ , $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ — exponențiala și logaritmul se anulează reciproc.
Notațiile consacrate: $l g x = lo g_{10} x$ și $ln x = lo g_{e} x$ ; „log" fără bază nu se folosește.

Greșeli frecvente

Accepți argumente negative sau nule. $lo g_{2} (- 8)$ și $lo g_{5} 0$ nu există, oricât de tentantă ar fi analogia cu $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Semnul minus poate apărea la rezultat, niciodată la argument.
Uiți condiția $a \neq = 1$ la exercițiile cu bază variabilă. La $lo g_{x - 1} (7 - x)$ , valoarea $x = 2$ trebuie scoasă explicit din domeniu.
Confuzi baza cu argumentul. $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ , în timp ce $lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}$ — valori diferite, chiar dacă numerele implicate sunt aceleași.
Scrii „log" fără bază. Notația corectă este $lo g_{a} x$ , iar pentru bazele consacrate $l g$ (baza $10$ ) și $ln$ (baza $e$ ).
Crezi că $lo g_{a} b$ nu există dacă nu iese „frumos". $lo g_{2} 5$ există și este un număr real bine determinat, cuprins între $2$ și $3$ ; doar nu este rațional și nu se scrie cu numere întregi.

Aplică acasă

Traducătorul. Scrie zece egalități de tipul $a^{c} = b$ cu numere mici (de exemplu $3^{4} = 81$ , $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , $2 5^{1/2} = 5$ ) și tradu fiecare egalitate în formă logaritmică. Apoi acoperă coloana din stânga și reconstituie forma exponențială pornind de la cea logaritmică.
Domenii pe axă. Pentru cinci expresii de tipul $lo g_{f (x)} g (x)$ , inventate de tine, scrie condițiile de existență și reprezintă domeniul pe axa numerelor, marcând cu $X$ punctele scoase din cauza bazei egale cu $1$ .
Cutremurul și cifra. Caută magnitudinea ultimului cutremur resimțit în România. Magnitudinea pe scara Richter este definită ca logaritm zecimal al amplitudinii înregistrate de seismograf: o creștere cu $1$ a magnitudinii înseamnă o amplitudine de $10$ ori mai mare. Calculează de câte ori a fost mai mare amplitudinea unui cutremur de magnitudine $5, 5$ față de unul de magnitudine $3, 5$ , apoi scrie relația în formă logaritmică.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce riguros noțiunea de logaritm, conținut central al programei de matematică-informatică pentru clasa a X-a („Logaritmi: operații, formula de schimbare a bazei"), prin competențele X.CS.1.1, X.CS.4.1 și X.CS.6.1. Față de abordarea intuitivă din clasa a IX-a, noutatea este justificarea existenței și unicității logaritmului prin bijectivitatea funcției exponențiale și disciplina condițiilor de existență.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă $lo g_{3} 81 = 4$ , scris cu puteri?" ( $3^{4} = 81$ ); „De ce nu are sens $lo g_{2} 0$ ?" (nicio putere a lui $2$ nu dă $0$ ); „De ce baza nu poate fi $1$ ?" (fie nu există logaritmul, fie nu e unic). Semne că a înțeles: scrie condițiile de existență înainte de calcul, calculează logaritmi cu rezultat negativ sau fracționar și nu confundă baza cu argumentul.

La Bacalaureatul M1, definiția logaritmului este cerută frecvent în Subiectul I, sub forma unor calcule scurte de tipul $lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9}$ sau a determinării domeniului unei expresii logaritmice. Punctele se pierd aproape exclusiv la condițiile de existență și la logaritmii cu bază subunitară. Continuarea este lecția despre proprietățile logaritmilor, care transformă produsele în sume și face posibil calculul cu expresii complicate.

Întrebări frecvente

Ce este logaritmul unui număr, pe înțelesul tuturor? Este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul dat. De exemplu, $lo g_{2} 32 = 5$ pentru că $2^{5} = 32$ . Pe scurt: logaritmul este un exponent.

Care sunt condițiile de existență ale unui logaritm? Baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de $1$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ ), iar argumentul strict pozitiv ( $b > 0$ ). Ele se scriu la începutul oricărei rezolvări în care sub logaritm apare o expresie cu necunoscută.

De ce nu poate fi negativ argumentul unui logaritm? Pentru că logaritmul cere existența unui exponent $c$ cu $a^{c} = b$ , iar o putere cu bază strict pozitivă este întotdeauna strict pozitivă. Nu există niciun exponent real care să dea un rezultat negativ.

Poate un logaritm să aibă valoare negativă? Da, și e ceva obișnuit. $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , pentru că $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Valoarea logaritmului este negativă atunci când baza și argumentul se află de o parte și de alta a lui $1$ .

Cum calculez un logaritm fără calculator? Scrii argumentul ca putere a bazei și citești exponentul. Dacă bazele diferă, aduci și baza, și argumentul la o bază comună — de exemplu, la $lo g_{9} 27$ scrii ambele numere ca puteri ale lui $3$ și obții $\frac{3}{2}$ .

Ce înseamnă notațiile $l g$ și $ln$ ? $l g x$ este logaritmul zecimal, adică $lo g_{10} x$ , iar $ln x$ este logaritmul natural, adică $lo g_{e} x$ , unde $e \approx 2, 718$ . Notația „log" fără bază nu se folosește, tocmai pentru a evita confuzia dintre cele două.

Ce fac dacă logaritmul nu iese un număr întreg? Îl lași scris ca atare, exact ca pe un radical. $lo g_{2} 5$ este un număr real bine determinat, cuprins între $2$ și $3$ ; îl poți încadra între întregi sau aproxima cu calculatorul, dar forma exactă rămâne $lo g_{2} 5$ .