Recapitulare: inele și corpuri cu structuri ascunse: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Problemele „cu structură ascunsă” pornesc de la două legi scrise prin formule. Prima mișcare este recunoașterea formei: o lege de tipul $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a$ se scrie întotdeauna $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, iar alături de ea stă $x\oplus y=x+y-a$. Din forma factorizată se citesc pe rând zeroul (neutrul lui $\oplus$, egal cu $a$), unitatea (neutrul lui $\otimes$, egală cu $a+1$), simetricul $x^{\prime }=2a-x$ față de $\oplus$ și inversul față de $\otimes$, care nu este $\frac{1}{x}$. A doua mișcare este transportul de structură: funcția $f(x)=x-a$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$, deci transferă deodată toate axiomele — se scriu doar cele două condiții de morfism și bijectivitatea, nu se reverifică nimic. Pe un interval construcția cade: zeroul $a$ trebuie să aparțină mulțimii. La mulțimile de matrice, asociativitatea și distributivitatea se moștenesc din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; se verifică doar stabilitatea și existența elementelor speciale. În sfârșit, ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim, iar clasele neinversabile sunt exact divizorii lui zero.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\otimes y=xy-8x-8y+72$. Forma factorizată a acestei legi este:

   • a) $(x-8)(y-8)+72$
   • b) $(x-4)(y-4)+8$
   • c) $(x+8)(y+8)-8$
   • d) $(x-8)(y-8)+8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(x-8)(y-8)+8$

   Desfacem varianta d: $(x-8)(y-8)+8=xy-8x-8y+64+8=xy-8x-8y+72$, exact legea dată. Regula de recunoaștere: coeficientul lui $x$ și cel al lui $y$ dau parametrul $a=8$, iar termenul liber trebuie să fie $a^2+a=72$. Varianta a ar cere termenul liber $64+72$, iar varianta b ar da coeficienți $-4$.

2. Pentru legile $x\oplus y=x+y-8$ și $x\otimes y=(x-8)(y-8)+8$ pe $\mathbb{R}$, elementul unitate (neutrul lui $\otimes$) este:

   • a) $8$
   • b) $1$
   • c) $9$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $9$

   Căutăm $u$ cu $x\otimes u=x$ pentru orice $x$: $(x-8)(u-8)+8=x$ se scrie $(x-8)(u-8)=x-8$, deci $u-8=1$ și $u=9$. Regula generală: pentru $a$ dat, zeroul este $a$, iar unitatea este $a+1$. Varianta $8$ confundă unitatea cu zeroul, iar variantele $1$ și $0$ transportă neutrele obișnuite fără să țină cont de translație.

3. Cu legile de mai sus, simetricul lui $11$ față de $\oplus$ și inversul lui $11$ față de $\otimes$ sunt:

   • a) $5$ și $\frac{25}{3}$
   • b) $-11$ și $\frac{1}{11}$
   • c) $5$ și $\frac{1}{11}$
   • d) $-3$ și $\frac{25}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$ și $\frac{25}{3}$

   Simetricul față de $\oplus$ se notează $x^{\prime }$ și verifică $11+x^{\prime }-8=8$, deci $x^{\prime }=5$ (regula $x^{\prime }=2a-x$). Inversul față de $\otimes$ verifică $(11-8)\left(x^{-1}-8\right)+8=9$, adică $3\left(x^{-1}-8\right)=1$ și $x^{-1}=8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3}$. Varianta b transportă neutrele obișnuite, iar varianta c confundă $x^{-1}$ față de $\otimes$ cu inversul obișnuit al numărului.