Forma matriceală a unui sistem: pe scurt

Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute adună mai multe condiții de gradul întâi care trebuie să fie adevărate în același timp. Toată informația lui se strânge în patru tablouri: matricea sistemului $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, formată din coeficienți (în $a_{ij}$, indicele $i$ arată ecuația, iar $j$ necunoscuta), matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea extinsă $\overline{A}$, care este $A$ cu coloana lui $B$ alipită la dreapta. Coeficienții care lipsesc se scriu $0$: numărul de coloane ale lui $A$ este exact numărul necunoscutelor.

Elementul de pe linia $i$ a produsului $AX$ este chiar membrul stâng al ecuației $i$, așa că întregul sistem devine o singură ecuație matriceală, $AX=B$. De aici pornesc toate metodele capitolului.

O soluție este un sistem ordonat de numere care verifică fiecare ecuație, nu doar pe cea din care a ieșit; mulțimea soluțiilor se notează $S$. Sunt exact trei situații posibile: sistem incompatibil ($S=\varnothing$), compatibil determinat (o singură soluție) și compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții, scrise cu parametrii $\alpha$, $\beta$). Un sistem liniar nu poate avea niciodată exact două soluții.

La un sistem pătratic ($m=n$) primul reflex este calculul lui $\det A$: dacă $\det A\ne 0$, soluția este unică.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră sistemul $3x-y+2z=5$, $x+4z=-2$, $2y-z=6$. Matricea extinsă $\overline{A}$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 0& 4& -2\\ 0& 2& -1& 6\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 4& 0& -2\\ 2& -1& 0& 6\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 0& 4\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 5\\ -1& 0& 2& -2\\ 2& 4& -1& 6\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 5\\ 1& 0& 4& -2\\ 0& 2& -1& 6\end{array}\right)$

   Pe linia $i$ stau coeficienții ecuației $i$, pe coloana $j$ coeficienții lui $x_j$, iar ultima coloană este cea a termenilor liberi. În ecuația a doua lipsește $y$, în a treia lipsește $x$: pe locurile lor se scrie $0$, nu se sare peste coloană (aceasta e greșeala din a doua variantă). Tabloul fără ultima coloană este matricea sistemului $A$, nu $\overline{A}$, iar citirea coeficienților pe coloane descrie cu totul alt sistem.

2. Care dintre următoarele triplete este soluție a sistemului $x+y+z=6$, $2x-y+z=6$, $3x+2y-z=5$?

   • a) $(1,2,3)$
   • b) $(2,1,3)$
   • c) $(3,1,2)$
   • d) $(4,0,2)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(2,1,3)$

   Toate cele patru triplete verifică prima ecuație — de aceea verificarea într-o singură ecuație nu decide nimic. În a doua ecuație: $(1,2,3)$ dă $3$, $(3,1,2)$ dă $7$, $(4,0,2)$ dă $10$, toate diferite de $6$. Doar $(2,1,3)$ trece prin toate trei: $2+1+3=6$, $4-1+3=6$, $6+2-3=5$. Cum $\det A=11\ne 0$, aceasta este și singura soluție.

3. Ecuației matriceale $\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 12\end{array}\right)$ îi corespunde sistemul:

   • a) $4x+2y=1$, $-3x+5y=12$
   • b) $4x+3y=1$, $2x-5y=12$
   • c) $4x-3y=1$, $2x+5y=12$
   • d) $4x-3y=12$, $2x+5y=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4x-3y=1$, $2x+5y=12$

   Fiecare linie a produsului $AX$ dă câte o ecuație: linia întâi, $4\cdot x+(-3)\cdot y$, se egalează cu primul element al lui $B$, adică $1$; linia a doua, $2x+5y$, cu $12$. Citirea pe coloane, schimbarea semnelor sau inversarea termenilor liberi descriu alte sisteme.