Testul oficial de pregătire nr. 2 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma divizorilor naturali ai lui $10$ este numărul: a) $7$ b) $8$ c) $10$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte În tabelul următor este prezentată situația cheltuielilor și a veniturilor unei societăți comerciale.

Raportul dintre cheltuielile și veniturile înregistrate de către societatea comercială este egal cu $\frac{5}{6}$ în anul: a) $2017$ b) $2018$ c) $2019$ d) $2020$

Exercițiul 3 · 5 puncte Rezultatul calculului $5-(2\cdot 3-7)-6$ este numărul: a) $-4$ b) $-2$ c) $0$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-un depozit sunt $2700$ kg de fructe: mere, pere, gutui și struguri, după cum este prezentat în tabelul următor:

Dintre fructele de mai sus, categoria care reprezintă $30\%$ din cantitatea de fructe din acest depozit este: a) mere b) pere c) gutui d) struguri

Exercițiul 5 · 5 puncte Dacă $a=\sqrt{10^2-8^2}$, atunci $a$ este egal cu: a) $2$ b) $4$ c) $6$ d) $36$

Exercițiul 6 · 5 puncte Un biciclist se deplasează cu viteza de $40$ km pe oră. Alexandru afirmă că biciclistul, păstrând viteza de deplasare, a parcurs $60$ km în $60$ de minute. Afirmația lui Alexandru este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ astfel încât $AB=1$ cm, $BC=2$ cm și $CD=3$ cm. Dintre aceste puncte, cel care reprezintă mijlocul unui segment din figură este punctul:

a) $A$ b) $B$ c) $C$ d) $D$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri adiacente suplementare astfel încât măsura unghiului ascuțit să fie $70^{\circ }$. Care dintre următoarele valori reprezintă măsura celuilalt unghi?

a) $20^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $70^{\circ }$ d) $110^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În grădina casei Teodorei există patru tufe de trandafiri poziționate ca în figura alăturată, în punctele $A$, $B$, $C$ și $M$. Măsura unghiului $BAC$ este de $90^{\circ }$, punctul $M$ aparține lui $BC$, $AM\equiv MC$, măsura unghiului $MAC$ este de $30^{\circ }$ și $BM=6$ m. Teodora vrea să amenajeze o alee din punctul $M$ care să fie perpendiculară pe latura $AC$ a grădinii. Aleea amenajată de Teodora, de la punctul $M$ la latura $AC$, are o lungime egală cu:

a) $2$ m b) $3$ m c) $4$ m d) $6$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu baza mare $AB=120$ m, baza mică $CD=40$ m și înălțimea $AD=60$ m. Terenul este împărțit în trei parcele pe care s-au plantat lalele, zambile și narcise. Cele trei parcele sunt $ABM$, $BMC$ și $CMD$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AD$. Precizăm că lalelele s-au plantat pe suprafața triunghiului $ABM$, zambilele pe suprafața triunghiului $BMC$, iar narcisele pe suprafața triunghiului $CMD$. Aria suprafeței pe care s-au plantat zambilele este:

a) $600{\text{ m}}^2$ b) $1800{\text{ m}}^2$ c) $2400{\text{ m}}^2$ d) $4800{\text{ m}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $6$ cm. Știind că latura $BC$ a triunghiului $ABC$ are $12$ cm, atunci măsura unghiului $BAC$ este:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte O față a unui dulap în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de $2$ m și $0,5$ m. Suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este de $14$ m. Volumul dulapului este egal cu: a) $1{\text{ m}}^3$ b) $4{\text{ m}}^3$ c) $14{\text{ m}}^3$ d) $16,5{\text{ m}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-un bloc sunt $40$ de apartamente cu câte două, respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total $90$ de camere. a) (2 p) Este posibil ca în bloc să fie $31$ de apartamente cu trei camere? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină câte apartamente cu trei camere sunt în acest bloc.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+3{)}^2-2(x^2+3x)+(x+1{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=2x+10$, pentru orice $x$ număr real. b) (3 p) Determină numărul întreg $a$ pentru care $E(a-2)+a=0$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie numerele $a=\sqrt{175}-\sqrt{98}-\sqrt{63}+3\sqrt{50}$ și $b=\sqrt{28}-\sqrt{112}+\sqrt{162}+\sqrt{2}-\sqrt{8}$. a) (2 p) Arată că $a=2\sqrt{7}+8\sqrt{2}$. b) (3 p) Calculează media geometrică a numerelor $a$ și $b$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, măsura unghiului $DAB$ este de $90^{\circ }$, $AD=40$ cm și $CD=30$ cm. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și $O$ este punctul lor de intersecție.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ADC$ este egal cu $120$ cm. b) (3 p) Calculează aria trapezului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $ABC$ egală cu $30^{\circ }$. Perpendiculara din $A$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $D$, unde $AD=2\sqrt{3}$ cm. Paralela prin $B$ la $AD$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $E$.

a) (2 p) Demonstrează că $BE=8\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Demonstrează că perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $38$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și $VA=4\sqrt{11}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$, $VO=12$ cm și punctul $M$ este situat pe segmentul $VO$ astfel încât $\frac{VM}{VO}=\frac{2}{3}$.

a) (2 p) Arată că lungimea segmentului $AC$ este egală cu $8\sqrt{2}$ cm. b) (3 p) Calculează măsura unghiului determinat de planele $(ABC)$ și $(MBC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Divizorii naturali ai lui $10$ sunt $1,2,5,10$, iar suma lor este $1+2+5+10=18$.
2. c) Raportul cheltuieli/venituri: $2017:\frac{9}{11}$; $2018:\frac{3}{5}$; $2019:\frac{150000}{180000}=\frac{5}{6}$; $2020:\frac{19}{20}$. Anul căutat este $2019$.
3. c) $5-(2\cdot 3-7)-6=5-(6-7)-6=5-(-1)-6=5+1-6=0$.
4. d) $30\%$ din $2700$ kg este $810$ kg, cantitate egală cu cea de struguri.
5. c) $a=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.
6. b) Cu viteza de $40$ km/h, în $60$ de minute (adică o oră) biciclistul parcurge $40$ km, nu $60$ km, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Notând $AB=1$, avem $AC=AB+BC=3$ și $AD=AC+CD=6$. Cum $AC=3$ este jumătate din $AD=6$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$.
2. d) Unghiurile fiind adiacente suplementare, suma măsurilor lor este $180^{\circ }$, deci celălalt unghi are măsura $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
3. b) Din $AM\equiv MC$ rezultă $m(\angle ACM)=m(\angle MAC)=30^{\circ }$, deci $m(\angle AMC)=120^{\circ }$ și $m(\angle AMB)=60^{\circ }$. Cum $m(\angle BAC)=90^{\circ }$ și $m(\angle MAC)=30^{\circ }$, obținem $m(\angle BAM)=60^{\circ }$, deci în triunghiul $ABM$: $m(\angle ABM)=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$, adică $ABM$ este echilateral, cu $AM=BM=6$ m, deci și $MC=AM=6$ m. În triunghiul dreptunghic $MDC$ (unde $D$ este piciorul perpendicularei din $M$ pe $AC$), cu $m(\angle MCD)=30^{\circ }$ și $MC=6$ m, distanța cerută este $MD=MC\cdot \sin 30^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3$ m.
4. c) Cu $A$ originea unui reper, $D=(0,60)$, $B=(120,0)$, $C=(40,60)$, $M=(0,30)$ (mijlocul lui $AD$): aria trapezului $ABCD=\frac{(120+40)\cdot 60}{2}=4800{\text{ m}}^2$; aria $ABM=\frac{120\cdot 30}{2}=1800{\text{ m}}^2$; aria $CMD=\frac{DM\cdot DC}{2}=\frac{30\cdot 40}{2}=600{\text{ m}}^2$; aria $BMC=4800-1800-600=2400{\text{ m}}^2$.
5. c) $BC=12$ cm este chiar diametrul cercului ($2\cdot 6=12$), deci $BC$ este diametru, iar unghiul înscris $BAC$ care se sprijină pe diametru este de $90^{\circ }$.
6. a) Notând cu $x$ a treia dimensiune, celelalte două fiind $2$ m și $0,5$ m: $4(2+0,5+x)=14\Rightarrow 2,5+x=3,5\Rightarrow x=1$ m. Volumul este $2\cdot 0,5\cdot 1=1{\text{ m}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) În $31$ de apartamente cu trei camere ar fi $3\cdot 31=93$ de camere (1 p). Cum numărul total de camere din bloc este $90$, iar $93>90$, deducem că nu este posibil ca blocul să aibă $31$ de apartamente cu trei camere (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu trei camere și cu $y$ numărul apartamentelor cu două camere: $x+y=40$ și $3x+2y=90$ (1 p). Din prima ecuație $y=40-x$, deci $3x+2(40-x)=90\Rightarrow x+80=90$ (1 p), de unde $x=10$ apartamente cu trei camere (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(x^2+6x+9)-(2x^2+6x)+(x^2+2x+1)$ (1 p) $=2x+10$, pentru orice $x$ număr real (1 p). b) (3 p) $E(a-2)=2(a-2)+10=2a+6$ (1 p). Din $E(a-2)+a=0$ obținem $2a+6+a=0$, deci $3a+6=0$ (1 p), de unde rezultă $a=-2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\sqrt{175}=5\sqrt{7}$, $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$, $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $3\sqrt{50}=15\sqrt{2}$ (1 p). Astfel $a=5\sqrt{7}-7\sqrt{2}-3\sqrt{7}+15\sqrt{2}=2\sqrt{7}+8\sqrt{2}$ (1 p). b) (3 p) Analog, $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, $\sqrt{112}=4\sqrt{7}$, $\sqrt{162}=9\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $b=2\sqrt{7}-4\sqrt{7}+9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=8\sqrt{2}-2\sqrt{7}$ (1 p). Atunci $a\cdot b=(8\sqrt{2}+2\sqrt{7})(8\sqrt{2}-2\sqrt{7})=128-28=100$ (1 p), deci media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{100}=10$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $AB\parallel CD$ și $m(\angle DAB)=90^{\circ }$, rezultă $m(\angle ADC)=90^{\circ }$ (unghiuri co-interioare suplementare), deci triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$: $A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2=40^2+30^2=2500$, de unde $AC=50$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $ADC$ este $AD+DC+AC=40+30+50=120$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$ cu $DO\perp AC$, deci $DO=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=24$ cm (1 p). În triunghiul $ADB$ dreptunghic în $A$, cu $AO\perp DB$ (diagonalele fiind perpendiculare), avem $A{D}^2=DO\cdot DB$, deci $DB=\frac{1600}{24}=\frac{200}{3}$ cm (1 p). Cum diagonalele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare, aria trapezului este $\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{50\cdot \frac{200}{3}}{2}=\frac{5000}{3}{\text{ cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$, cu $m(\angle ABD)=30^{\circ }$, deci $AB=\frac{AD}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{0,5}=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Cum $BE\parallel AD$ și $AD\perp BC$, rezultă $BE\perp$ ... mai precis triunghiul $ABE$ este dreptunghic în $A$ (deoarece $E$, $A$, $C$ sunt coliniare și $m(\angle BAC)=90^{\circ }$), cu $m(\angle BEA)=30^{\circ }$ (unghiuri corespunzătoare, $BE\parallel AD$), deci $EB=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{4\sqrt{3}}{0,5}=8\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $\cos B=\frac{AB}{BC}$, de unde $BC=\frac{AB}{\cos 30^{\circ }}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$ cm (1 p). Triunghiul $EBC$ este dreptunghic în $B$, deci $E{C}^2=E{B}^2+B{C}^2=192+64=256$, de unde $EC=16$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $BCE$ este $EB+BC+EC=8\sqrt{3}+8+16=8\sqrt{3}+24$; cum $(8\sqrt{3}{)}^2=192<14^2=196$, rezultă $8\sqrt{3}<14$, deci perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $14+24=38$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $VO\perp (ABC)$, deci triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$: $A{O}^2=V{A}^2-V{O}^2=(4\sqrt{11}{)}^2-12^2=176-144=32$, de unde $AO=4\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $O$ este centrul pătratului $ABCD$, $AC=2\cdot AO=8\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) $MO=VO-VM=12-\frac{2}{3}\cdot 12=12-8=4$ cm (1 p). Latura pătratului este $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8$ cm, deci distanța de la $O$ la mijlocul $N$ al laturii $BC$ este $ON=\frac{AB}{2}=4$ cm; cum $MO\perp (ABC)$, conform teoremei celor trei perpendiculare $MN\perp BC$, deci unghiul $MNO$ este unghiul plan al diedrului determinat de planele $(ABC)$ și $(MBC)$ (1 p). Triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$ cu $MO=ON=4$ cm, deci este dreptunghic isoscel, iar $m(\angle MNO)=45^{\circ }$; măsura unghiului determinat de planele $(ABC)$ și $(MBC)$ este $45^{\circ }$ (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 2 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, matematică, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 2 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru absolvenții clasei a VIII-a din anul școlar 2020-2021. Este o sursă publică, oficială (documentul oficial de pregătire publicat de CNPEE), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: divizibilitate (suma divizorilor), procente și rapoarte (situație financiară, compoziția unui amestec), ordinea operațiilor cu numere întregi, radicali, viteză-distanță-timp; geometrie plană (mijlocul unui segment, unghiuri adiacente suplementare, triunghi dreptunghic cu bisectoare și distanță punct-dreaptă, trapez dreptunghic cu arie pe parcele, cerc circumscris cu unghi înscris în semicerc) și geometrie în spațiu (paralelipiped dreptunghic cu sumă de muchii); algebră (sisteme de ecuații din probleme cu procente, expresii algebrice cu pătrate, radicali și medie geometrică), geometrie cu diagonale perpendiculare într-un trapez dreptunghic, triunghi dreptunghic cu paralelă și perimetru, piramidă patrulateră cu unghi diedru.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris într-un semicerc este întotdeauna drept (când latura triunghiului este diametrul cercului circumscris); un triunghi isoscel cu unghiul de la vârf de $120^{\circ }$ are unghiurile de bază de $30^{\circ }$ fiecare; într-un patrulater cu diagonalele perpendiculare, aria este jumătate din produsul diagonalelor.