Matematică clasa a X-a
Clasa a X-a e anul în care matematica se lărgește: apar numerele complexe, logaritmii, combinatorica și probabilitățile — instrumente noi, nu doar exerciții mai grele din ce știai. Pe pagina asta ai toată materia anului, pe capitole, în ordinea în care se predă, de la aplicațiile trigonometriei în geometrie până la statistică și probabilități. E și anul în care se așază temelia pentru Bacalaureat: exponențialele, logaritmii, numerele complexe și combinatorica revin an de an în subiecte, așa că ce fixezi acum nu mai trebuie recuperat în clasa a XII-a. Diferența față de un manual sau un clip e că aici rezolvi pas cu pas pe ecran, iar când te blochezi primești ajutor exact la pasul la care te-ai oprit — nu doar citești o explicație generală. Totul e gratuit și nu îți trebuie cont. Începe cu testul inițial, ca să vezi ce ți-a rămas din clasa a IX-a, apoi intră în capitolul care îți dă bătăi de cap.
Cum înveți aici — traseul recomandat
- Dă testul inițial ca să vezi de unde pornești. În câteva minute afli ce ai fixat din clasa a IX-a și unde ai goluri — funcțiile și trigonometria de anul trecut se folosesc din prima lună.
- Intră în capitolul unde ai lacune, din lista de mai jos, și parcurge lecțiile în ordine. Nu sări peste primele capitole dacă acolo ți-a ieșit slab — la matematică lipsa e aproape mereu cu un pas în urmă.
- Dă testul de capitol după fiecare capitol terminat. Are barem, așa că vezi singur cât ai luat și ce trebuie reluat înainte de lucrarea de la clasă.
- Când vrei doar regula pe scurt, folosește recapitularea rapidă; când vrei să vezi metoda aplicată de la cap la coadă, mergi la exercițiile rezolvate din secțiunea „Exerciții rezolvate", mai jos.
Capitolele anului
1. Aplicații ale trigonometriei în geometrie
- Trigonometria în triunghiul dreptunghic — recapitulare și extindere
- Valorile funcțiilor trigonometrice: tabele și instrumente digitale
- Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze
- Teorema cosinusului: enunț și primele aplicații
- Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi
- Natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor
- Teorema sinusurilor: enunț și aplicații
- Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris
- Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL
- Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU
- Aria triunghiului cu formula sinusului
- Aria triunghiului: formula lui Heron
- Aria suprafețelor poligonale prin descompunere în triunghiuri
- Măsurători indirecte: triangulație, teren și navigație
2. Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică
- Puteri cu exponent rațional: de la radicali la exponenți
- Proprietățile puterilor cu exponent rațional
- Puteri cu exponent irațional: ideea de aproximare
- Puteri cu exponent real: regulile de calcul
- Funcția putere cu exponent real: definiție și domeniu
- Graficul funcției putere; monotonie și comparări
- Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică
- Proprietățile funcției exponențiale
- Compararea puterilor cu aceeași bază
- Ecuații exponențiale elementare
- Ecuații exponențiale rezolvate prin substituție
- Inecuații exponențiale
- Logaritmul unui număr: definiție și primele calcule
- Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere
- Formula de schimbare a bazei. Logaritmi zecimali și naturali
- Funcția logaritmică: grafic și proprietăți
- Ecuații logaritmice
- Inecuații logaritmice
- Sisteme cu exponențiale și logaritmi
- Aplicații: dobândă compusă, scara Richter, pH și dezintegrare
3. Metode de numărare
- Diagrame arborescente: numărarea posibilităților
- Regula produsului
- Regula sumei și combinarea regulilor
- Factorialul unui număr natural
- Permutări: definiție și formulă
- Probleme de permutări cu restricții
- Aranjamente: definiție și formulă
- Probleme rezolvate cu aranjamente
- Combinări: definiție și formulă
- Combinări complementare
- Formula de recurență a combinărilor
- Triunghiul lui Pascal
- Contează ordinea sau nu? Alegerea metodei de numărare
- Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom
- Termenul general al dezvoltării binomiale
- Identități cu coeficienți binomiali
- Probleme practice de numărare: coduri, echipe, drumuri
- Termeni cu proprietăți date în dezvoltarea binomială
4. Numere complexe
- De ce avem nevoie de numere noi: ecuația fără soluții reale
- Forma algebrică a unui număr complex
- Egalitatea a două numere complexe
- Adunarea și scăderea numerelor complexe
- Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i
- Conjugatul unui număr complex
- Împărțirea numerelor complexe
- Modulul unui număr complex
- Planul complex. Imaginea geometrică și afixul
- Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului
- Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ
- Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși
- Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe
- Forma trigonometrică: modul și argument redus
- Trecerea de la forma algebrică la forma trigonometrică
- Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică
- Formula lui Moivre. Puteri cu exponent întreg
- Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex
- Rădăcinile unității și poligoanele regulate
- Ecuații binome
- Distanțe și unghiuri în planul complex
- Afixul mijlocului, al centrului de greutate și raportul dat
- Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe
5. Polinoame
- Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul
- Egalitatea a două polinoame. Identificarea coeficienților
- Adunarea și scăderea polinoamelor
- Înmulțirea polinoamelor. Gradul produsului
- Valoarea unui polinom. Funcția polinomială
- Rădăcinile unui polinom
- Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest
- Algoritmul împărțirii pas cu pas
- Împărțirea la X − a. Teorema restului
- Schema lui Horner
- Divizibilitatea polinoamelor
- Teorema lui Bézout
- Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică
- Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate
- Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea
- Relațiile lui Viète pentru polinoame de grad n
- Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R
- Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcini întregi și raționale
- Ecuații algebrice cu coeficienți reali și raționali: rădăcini conjugate
- Ecuații bipătrate
- Ecuații reciproce
6. Statistică matematică
- Statistica în viața de zi cu zi. Populație, eșantion, caracteristică
- Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute
- Frecvențe relative și procente
- Frecvențe cumulate
- Diagrame cu bare
- Diagrame circulare
- Gruparea datelor pe clase. Histograma
- Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate
- Media aritmetică și media ponderată a unui set de date
- Mediana unui set de date
- Modul (valoarea modală)
- Cuartile și amplitudine
- Diagrama boxplot
- Abaterea standard: formulă și interpretare
- Compararea a două seturi de date
- Sondaje: etapele realizării unui sondaj
- Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat
7. Probabilități
- Experiment aleator. Evenimente
- Eveniment sigur, imposibil, elementar
- Evenimente disjuncte. Diagrame Venn
- Diagrame arborescente pentru experimente în mai multe etape
- Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică
- Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică
- Evenimentul contrar și probabilitatea lui
- Probabilitatea reuniunii a două evenimente
- Probabilitatea intersecției a două evenimente
- Probabilități condiționate
- Evenimente independente
- Probabilități în situații practice: jocuri, asigurări, teste
- Compararea probabilităților și decizii informate
- Legea probabilității totale
- Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli)
- Schema bilei nerevenite (schema hipergeometrică)
- Schema lui Poisson
8. Recapitulare și sinteză
- Recapitulare: aplicații ale trigonometriei în geometrie
- Recapitulare: metode de numărare și probabilități
- Recapitulare: statistică matematică și sondaje
- Sinteză finală clasa a X-a: probleme de tip Bacalaureat
- Recapitulare mate-info: puteri, exponențiale, logaritmi și numere complexe
- Recapitulare mate-info: polinoame și ecuații algebrice
- Sinteză finală mate-info: probleme de tip Bacalaureat M1
Teste
Verifică-te după fiecare capitol. Testele au barem și rezolvări.
- Evaluare finală — clasa a X-a
- Evaluare finală mate-info — clasa a X-a
- Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a X-a
- Evaluare sumativă mate-info — semestrul 1, clasa a X-a
- Test: abaterea standard și compararea seturilor de date
- Test: aplicații ale numerelor complexe în geometrie
- Test: arii de triunghiuri și suprafețe poligonale
- Test: binomul lui Newton
- Test: combinări și triunghiul lui Pascal
- Test: cuartile, amplitudine și boxplot
- Test: divizibilitate și teorema lui Bézout
- Test: ecuații algebrice cu coeficienți întregi și raționali
- Test: ecuații bipătrate și ecuații reciproce
- Test: ecuații de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe
- Test: ecuații și inecuații exponențiale
- Test: ecuații și inecuații logaritmice
- Test: evenimente și probabilitatea unui eveniment
- Test: forma algebrică și operațiile cu numere complexe
- Test: forma trigonometrică și formula lui Moivre
- Test: tabele de frecvențe și reprezentări grafice
și încă 22 — toate testele
Exerciții rezolvate
- Exerciții rezolvate — Aplicații ale trigonometriei în geometrie
- Exerciții rezolvate — Metode de numărare
- Exerciții rezolvate — Numere complexe
- Exerciții rezolvate — Polinoame
- Exerciții rezolvate — Probabilități
- Exerciții rezolvate — Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică
- Exerciții rezolvate — Recapitulare și sinteză
- Exerciții rezolvate — Statistică matematică
Formule, glosar și unelte
Când îți trebuie doar formula, fără lecția întreagă: exponențiale și logaritmi · numere complexe · combinatorică · probabilități · statistică · relații metrice în triunghiul oarecare.
Anul acesta vin mulți termeni noi dintr-odată — afix, argument redus, cuartilă, eveniment independent. Când te împiedici de unul, caută-l în glosar. Iar dacă vrei ceva mai greu decât îți cere manualul, încearcă problema săptămânii.
Pentru părinți
La clasa a X-a se învață funcțiile exponențiale și logaritmice, numerele complexe, combinatorica și probabilitățile. Dacă cel mic se blochează la un exercițiu, e adesea mai util să reluați lecția de bază decât să insistați pe problema în sine — lipsa e aproape mereu cu un pas în urmă. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.
Clasa a X-a e anul în care se vede dacă temelia pentru Bacalaureat e solidă: capitolele de acum — logaritmi, numere complexe, combinatorică — revin la examen, iar un gol lăsat aici se plătește în clasa a XII-a, când nu mai e timp de recuperat. Dacă vă întrebați dacă e momentul pentru meditații sau dacă se poate rezolva acasă, am pus costurile și rezultatele cap la cap în Meditații sau aplicație? Ghid de costuri și rezultate.