Matematică clasa a XI-a
Toată materia de la clasa a XI-a, pe capitole, în ordinea în care se predă. Fiecare capitol are lecțiile lui explicate pas cu pas, iar la final găsești testele și exercițiile rezolvate. Poți începe de oriunde — lecțiile sunt independente.
Capitolele anului
1. Matrice și operații cu matrice
- Tablouri de date și noțiunea de matrice
- Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară
- Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor
- Înmulțirea unei matrice cu un număr complex
- Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul
- Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea
- Matrice care modelează situații practice: costuri, fluxuri, stocuri
- Puterea unei matrice pătratice: definiție și calcul direct
- Ridicarea la putere prin inducție matematică
- Ridicarea la putere cu binomul lui Newton
- Ridicarea la putere cu ajutorul șirurilor recurente
- Matricea de rotație și puterile ei
2. Permutări, determinanți și matrice inversabile
- Permutări: definiție, notație și compunere
- Inversiuni și semnul unei permutări
- Determinantul de ordinul al doilea
- Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului
- Determinantul de ordin n: definiția cu permutări
- Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun
- Proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, linii proporționale, transformări
- Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană
- Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare
- Determinantul produsului a două matrice
- Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului
- Calculul inversei cu matricea adjunctă
- Inversa unei matrice de ordin 4. Matrice cu parametru
- Ecuații matriceale
- Ecuația Hamilton-Cayley și puterile unei matrice de ordin 2
- Cum alegi metoda de ridicare la putere: sinteza celor cinci metode
3. Sisteme de ecuații liniare
- Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă
- Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer
- Sisteme de tip Cramer cu patru ecuații și patru necunoscute
- Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse
- Rangul unei matrice: definiția cu minori
- Rangul unei matrice prin transformări elementare
- Teorema Kronecker-Capelli
- Teorema lui Rouché
- Sisteme compatibile nedeterminate: necunoscute secundare
- Sisteme liniare omogene
- Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare
- Metoda lui Gauss pentru inversa unei matrice și pentru ecuații matriceale
- Sisteme de ecuații liniare cu parametru: discuția completă
- Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare
4. Drepte în planul cartezian
- Reperul cartezian: coordonate, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment
- Panta unei drepte
- Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată
- Ecuația explicită a dreptei
- Ecuația generală a dreptei
- Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant
- Condiția de coliniaritate a trei puncte
- Poziția relativă a două drepte în plan
- Condiții de paralelism și de perpendicularitate
- Unghiul a două drepte
- Distanța de la un punct la o dreaptă
- Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului
- Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare
5. Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri
- Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite
- Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți
- Șiruri de numere reale: moduri de definire și monotonie
- Mărginirea unui șir
- Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți
- Șiruri convergente și șiruri divergente. Unicitatea limitei și subșiruri
- Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică
- Trecerea la limită în inegalități
- Operații cu șiruri convergente
- Șiruri cu limită infinită. Operații
- Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit
- Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit
- Criteriul majorării și consecințele lui
- Criteriul cleștelui. Aria discului ca aplicație
- Teorema lui Weierstrass: monotonie, mărginire, convergență
- Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e
- Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței
- Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri
6. Limite de funcții și continuitate
- Punct de acumulare și punct izolat
- Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri
- Limite laterale
- Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit
- Limitele funcțiilor putere și radical
- Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică
- Limitele funcțiilor trigonometrice
- Operații cu limite de funcții
- Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale
- Nedeterminările infinit minus infinit și zero ori infinit. Expresii cu radicali
- Limita fundamentală sin x supra x
- Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm
- Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit
- Continuitatea unei funcții într-un punct
- Puncte de discontinuitate
- Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor
- Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă
- Proprietatea valorilor intermediare
- Semnul unei funcții continue pe un interval
- Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale
7. Funcții derivabile
- Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct
- Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct
- Legătura dintre derivabilitate și continuitate
- Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic
- Puncte unghiulare și puncte de întoarcere
- Derivatele funcțiilor uzuale
- Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât
- Derivarea funcțiilor compuse
- Derivata de ordinul al doilea
- Puncte de extrem. Teorema lui Fermat
- Teorema lui Rolle
- Șirul lui Rolle
- Teorema lui Lagrange
- Consecințele teoremei lui Lagrange
- Regulile lui L'Hopital pentru zero supra zero și infinit supra infinit
- Nedeterminările reduse la L'Hopital: zero ori infinit, infinit minus infinit, unu la infinit
8. Studiul variației funcțiilor cu derivate
- Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi
- Punctele de extrem local și determinarea extremelor
- Tabelul de variație cu derivata întâi
- Imaginea unei funcții stabilită cu derivata
- Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatelor
- Numărul soluțiilor unei ecuații studiat cu derivate
- Funcții convexe și funcții concave
- Convexitatea și semnul derivatei a doua
- Puncte de inflexiune
- Tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua
- Probleme de extrem în geometrie
- Probleme de optimizare în economie: cost, profit, productivitate
- Aplicații ale derivatelor în fizică și în alte domenii
- Schema completă de studiu al variației unei funcții
9. Recapitulare și sinteză
- Recapitulare: matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare
- Recapitulare: drepte în planul cartezian
- Recapitulare: limite de șiruri și limite de funcții
- Recapitulare: continuitate și funcții derivabile
- Recapitulare: studiul variației funcțiilor
- Sinteză finală clasa a XI-a: probleme de tip Bacalaureat M1
Teste
Verifică-te după fiecare capitol. Testele au barem și rezolvări.
- Evaluare finală — clasa a XI-a
- Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a XI-a
- Evaluare sumativă — semestrul 2, clasa a XI-a
- Test: Kronecker-Capelli, Rouché și sisteme nedeterminate
- Test: continuitatea într-un punct și puncte de discontinuitate
- Test: convexitate, concavitate și puncte de inflexiune
- Test: criteriile de existență a limitei, Weierstrass și numărul e
- Test: definiția derivatei și derivatele laterale
- Test: determinanți de ordinul 2 și 3
- Test: distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului
- Test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea
- Test: ecuații matriceale și Hamilton-Cayley
- Test: inegalități și ecuații rezolvate cu derivate
- Test: înmulțirea matricelor și proprietățile ei
- Test: limita unei funcții într-un punct și limitele laterale
- Test: limita unui șir și operații cu șiruri convergente
- Test: limite fundamentale
- Test: limitele funcțiilor uzuale și lecturi grafice
- Test: matrice inversabile și calculul inversei
- Test: metoda lui Gauss și sisteme cu parametru
și încă 20 — toate testele
Pentru părinți
La clasa a XI-a se învață matricele și determinanții, sistemele de ecuații liniare, dreapta în planul cartezian, limitele de șiruri și de funcții, continuitatea și derivatele. Dacă cel mic se blochează la un exercițiu, e adesea mai util să reluați lecția de bază decât să insistați pe problema în sine — lipsa e aproape mereu cu un pas în urmă. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.