Matematică clasa a XII-a
Toată materia de la clasa a XII-a, pe capitole, în ordinea în care se predă. Fiecare capitol are lecțiile lui explicate pas cu pas, iar la final găsești testele și exercițiile rezolvate. Poți începe de oriunde — lecțiile sunt independente.
Capitolele anului
1. Legi de compoziție
- Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple
- Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită
- Parte stabilă și legea de compoziție indusă
- Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule
- Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică
- Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții
- Asociativitatea unei legi de compoziție
- Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei
- Elementul neutru al unei legi de compoziție
- Elemente simetrizabile și simetricul unui element
- Semigrupuri și monoizi; reguli de calcul și puteri
- Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor
- Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea
- Elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi; ecuații cu clase de resturi
- Legi de compoziție cu parametri: determinarea parametrilor din proprietăți
2. Grupuri
- Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere
- Grupuri de matrice și grupuri de permutări
- Grupuri de funcții; grupul lui Klein
- Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n
- Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității
- Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru
- Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup
- Puterile unui element și calcule în grupuri finite
- Subgrupul: definiție, criteriu și exemple
- Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi și ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule
- Ordinul unui element al unui grup
- Grupuri finite; teorema lui Lagrange
- Subgrupul generat de un element; grupuri ciclice
- Morfisme de grupuri
- Izomorfisme de grupuri; compararea tablelor grupurilor finite
- Când două grupuri nu sunt izomorfe: ordine, comutativitate, cardinal
- Izomorfisme remarcabile: numerele întregi și translațiile, clasele de resturi și rotațiile
- Transferul de structură prin izomorfism; ecuații matriceale rezolvate cu numere complexe
- Clasele de resturi în aritmetică: divizibilitate și ecuații în numere întregi
- Sinteză: legi de compoziție și grupuri — probleme de tip Bacalaureat M1
3. Inele, corpuri și polinoame
- Inelul: definiție, axiome și exemple
- Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero; inele integre
- Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților
- Corpul: definiție și exemple; corpul claselor de resturi modulo un număr prim
- Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri; transportul de structură
- Inele de matrice cu structură remarcabilă; izomorfisme cu numere complexe
- Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ
- Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout
- Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi
- Divizibilitatea polinoamelor: cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid
- Rădăcini multiple și derivata formală a unui polinom
- Polinoame ireductibile; descompunerea în factori ireductibili peste diferite corpuri
- Polinoame în probleme de Bacalaureat M1: parametri, resturi, divizibilitate, rădăcini comune
- Recapitulare: inele și corpuri cu structuri ascunse — probleme de tip Bacalaureat M1
- Sinteză: polinoame peste un corp — probleme de tip Bacalaureat M1
4. Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor
- Comportarea graficului la infinit și lângă punctele excluse: ce este o asimptotă
- Asimptota orizontală
- Asimptota oblică
- Asimptota verticală
- Asimptotele funcțiilor uzuale: raționale, cu radicali, exponențiale, logaritmice
- Reprezentarea grafică a funcțiilor: schema completă a studiului
- Graficul funcțiilor polinomiale
- Graficul funcțiilor raționale
- Graficul funcțiilor cu radicali
- Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice
- Graficul funcțiilor trigonometrice, al funcțiilor cu modul și al funcțiilor pe ramuri
- Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = m; numărul soluțiilor în funcție de parametru
- Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = g(x); comparația cu șirul lui Rolle
- Grafice din fizică și verificarea cu instrumente digitale
- Sinteză: studiul complet al unei funcții — probleme de tip Bacalaureat M1
5. Conice
- Conicele: secțiuni ale conului și exemple din lumea reală
- Cercul: definiția geometrică și ecuația canonică
- Ecuația generală a cercului; cercul determinat de condiții
- Cercul și dreapta: poziții relative, tangenta la cerc
- Elipsa: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
- Elementele elipsei și reprezentarea ei grafică
- Hiperbola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
- Elementele hiperbolei: focare, vârfuri, asimptote; reprezentarea grafică
- Hiperbola echilateră raportată la asimptote
- Parabola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
- Elementele parabolei și reprezentarea ei grafică
- Recunoașterea unei conice din ecuație sau din grafic; conicele ca reuniuni de grafice de funcții
- Intersecția unei conice cu o dreaptă
- Tangenta într-un punct al unei conice: metoda dedublării
- Intersecția a două conice
- Determinarea conicelor din condiții date
- Conicele și analiza matematică: tangente cu derivata și pregătirea calculului de arii
- Sinteză: conice — probleme de tip Bacalaureat M1
6. Primitive
- Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă
- Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți
- Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale
- Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm: completarea tabelului
- Funcții care admit primitive: teorema lui Darboux și funcțiile continue
- Primitivele funcțiilor definite pe ramuri
- Integrarea prin părți: formula și primele aplicații
- Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată
- Schimbarea de variabilă: formula și justificarea ei
- Schimbarea de variabilă: recunoașterea derivatei și substituțiile tipice
- Primitive cu trinom de gradul al doilea
- Primitivele funcțiilor raționale: descompunerea în fracții simple
- Primitivele funcțiilor raționale: rădăcini multiple și factori de gradul al doilea
- Primitivele funcțiilor trigonometrice
- Primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale
- Relații de recurență pentru integrale nedefinite
- Proprietățile unei primitive deduse din funcție: monotonie, extreme, convexitate
- Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive
- Cum alegi metoda de integrare
- Metode de integrare combinate
- Sinteză: primitive — probleme de tip Bacalaureat M1
7. Integrala definită
- Problema ariei: subgraficul unei funcții și aproximarea lui prin dreptunghiuri
- Diviziuni ale unui interval; norma unei diviziuni; puncte intermediare
- Sume Riemann și interpretarea lor geometrică
- Funcții integrabile și integrala definită
- Clase de funcții integrabile: funcții continue, funcții monotone; mărginirea
- Integrabilitate și primitive: exemple și contraexemple
- Formula Leibniz–Newton
- Proprietățile integralei definite
- Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul
- Teorema de medie și interpretarea ei geometrică
- Încadrarea și compararea integralelor; inegalități cu integrale
- Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue; funcția integrală
- Aplicații ale funcției integrale: limite, monotonie, extreme
- Integrarea prin părți pentru integrala definită
- Schimbarea de variabilă pentru integrala definită
- Integrale definite din funcții raționale și reductibile la raționale
- Șiruri de integrale: recurențe și limite
- Calculul limitelor unor șiruri cu sume Riemann
- Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice
- Sinteză: integrala definită — probleme de tip Bacalaureat M1
8. Aplicații ale integralei definite
- Aria subgraficului unei funcții continue
- Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții
- Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn
- Aria discului și aria interiorului unei elipse
- Arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte
- Arii delimitate de două conice
- Volumul corpului de rotație
- Volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei, deduse cu integrala
- Volume de rotație în probleme
- Centrul de greutate al unei plăci plane omogene
- Modelări din fizică: lucrul mecanic al unei forțe variabile
- Modelări din fizică: debit, volum de lichid și energie consumată
- Estimarea numerică a integralelor și verificarea cu instrumente digitale
- Sinteză: aplicații ale integralei — probleme de tip Bacalaureat M1
9. Pregătire pentru Bacalaureat M1
- Examenul de Bacalaureat M1: structura subiectelor, baremul și strategia de lucru
- Subiectul I: numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații
- Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea
- Subiectul I: combinatorică și probabilități
- Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie
- Subiectul I: numere complexe, exponențiale și logaritmi
- Subiectul al II-lea: matrice și determinanți
- Subiectul al II-lea: sisteme de ecuații liniare și matrice inversabile
- Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri
- Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame
- Subiectul al III-lea: limite, continuitate și asimptote
- Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, extreme și inegalități
- Subiectul al III-lea: studiul funcțiilor, șirul lui Rolle și reprezentarea grafică
- Subiectul al III-lea: primitive și metode de integrare
- Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie
- Subiectul al III-lea: șiruri de integrale și limite cu sume Riemann
- Subiectul al III-lea: arii și volume
- Redactarea la Bacalaureat M1: ipoteze, justificări, cazuri și ce se depunctează
- O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (I)
- O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (II)
- Formularul clasei a XII-a: rezultatele și formulele esențiale
- Sinteză finală clasa a XII-a: probleme de tip Bacalaureat M1
Teste
Verifică-te după fiecare capitol. Testele au barem și rezolvări.
- Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a XII-a
- Evaluare sumativă — semestrul 2, clasa a XII-a
- Simulare Bacalaureat M1 — varianta 1
- Simulare Bacalaureat M1 — varianta 2
- Simulare Bacalaureat M1 — varianta 3
- Simulare Bacalaureat M1 — varianta 4
- Test: arii delimitate de conice
- Test: arii delimitate de grafice
- Test: asimptotele funcțiilor
- Test: centrul de greutate și modelări din fizică
- Test: cercul în planul cartezian
- Test: clasele de resturi modulo n
- Test: conice, drepte și tangente
- Test: corpuri și morfisme de inele
- Test: elipsa
- Test: existența primitivelor și funcții pe ramuri
- Test: formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei
- Test: grupuri — exemple remarcabile
- Test: hiperbola și parabola
- Test: inele și reguli de calcul
și încă 25 — toate testele
Exerciții rezolvate
- Exerciții rezolvate — Aplicații ale integralei definite
- Exerciții rezolvate — Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor
- Exerciții rezolvate — Conice
- Exerciții rezolvate — Grupuri
- Exerciții rezolvate — Inele, corpuri și polinoame
- Exerciții rezolvate — Integrala definită
- Exerciții rezolvate — Legi de compoziție
- Exerciții rezolvate — Pregătire pentru Bacalaureat M1
- Exerciții rezolvate — Primitive
Pentru părinți
La clasa a XII-a se învață legile de compoziție, grupurile, inelele, corpurile și polinoamele, conicele, asimptotele și reprezentarea grafică a funcțiilor, primitivele și integrala definită cu aplicațiile ei. Dacă cel mic se blochează la un exercițiu, e adesea mai util să reluați lecția de bază decât să insistați pe problema în sine — lipsa e aproape mereu cu un pas în urmă. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.