Simulare Evaluarea Națională nr. 1

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(20 + 4 \cdot 5) : 5$ este: a) $6$ b) $8$ c) $40$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $24$ b) $32$ c) $6$ d) $\frac{2}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {3, 4, 5, 6}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${3, 4}$ b) ${1, 2, 5, 6}$ c) ${3, 4, 5}$ d) ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $25%$ din numărul $80$ reprezintă: a) $25$ b) $55$ c) $32$ d) $20$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 16$ și $b = 6$ este: a) $10$ b) $5$ c) $2$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 3 - 10$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 4$ cm și $B C = 6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $3$ cm c) $1$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $4 0^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 0^{\circ}$ b) $4 0^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $13 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 9$ cm și $A C = 12$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $63$ cm c) $225$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 8$ cm și $B C = 6$ cm. Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu:

a) $14$ cm b) $10$ cm c) $28$ cm d) $48$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $7 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $3 5^{\circ}$ b) $7 0^{\circ}$ c) $2 0^{\circ}$ d) $14 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 5$ cm. Aria totală a cubului este egală cu:

a) $100 cm^{2}$ b) $125 cm^{2}$ c) $150 cm^{2}$ d) $25 cm^{2}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin are un stoc de mere. În prima zi vinde $40%$ din stoc, în a doua zi vinde $25%$ din ce a rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $90$ kg. a) (2 p) Arată că în a doua zi magazinul a vândut mai puțin decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de mere.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 3$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 3}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 4$ . a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (2)$ . b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 12$ cm și $A D = 5$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 6$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $V A B C D$ , cu latura bazei $A B = 6$ cm și înălțimea $V O = 4$ cm ( $O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $B C$ ). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $V M$ . b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	c)	a)	d)	b)	a)

b) $(20 + 4 \cdot 5) : 5 = (20 + 20) : 5 = 40 : 5 = 8$ .
c) $\frac{x}{8} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 3}{4} = 6$ .
a) Elementele comune sunt $3$ și $4$ , deci $A \cap B = {3, 4}$ .
d) $25% \cdot 80 = \frac{25}{100} \cdot 80 = 20$ .
b) $a = 16 = 4$ ; media $= \frac{4 + 6}{2} = 5$ .
a) Cum $10 > 9$ , avem $10 > 3$ , deci $a = 3 - 10 < 0$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	a)	d)	b)	a)	c)

c) $A C = A B + B C = 4 + 6 = 10$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 5$ cm; $M B = A M - A B = 5 - 4 = 1$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm.
b) Triunghiul $A B C$ dreptunghic în $B$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ cm.
a) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 7 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
c) $A_{t} = 6 \cdot ℓ^{2} = 6 \cdot 5^{2} = 6 \cdot 25 = 150 cm^{2}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial. a) (2 p) Ziua întâi: $40%$ din $S$ . Ziua a doua: $25%$ din rest $= 25% \cdot 60% \cdot S = 15%$ din $S$ (1 p). Cum $15% < 40%$ , în a doua zi s-a vândut mai puțin decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $40% + 15% = 55%$ din $S$ , deci a rămas $45% \cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $45% \cdot S = 90$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{90}{0 , 45} = 200$ kg (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ și $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 3$ , deci $x \in {- 3, - 1, 1, 3}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 3$ , rămân $x \in {- 1, 1, 3}$ (1 p) (verificare: $E (- 1) = 4$ , $E (1) = - 2$ , $E (3) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 2 \cdot 0 - 4 = - 4$ (1 p); $f (2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0$ (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow x = 2$ , deci $A (2, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = - 4$ , deci $B (0, - 4)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (12 + 5) = 34$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 169 = 13$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 12 \cdot 5 = 60 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 6$ , cateta alăturată $A B = 8$ , ipotenuza $B C = 10$ . $sin B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, cos B = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, tg B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 8 + 6 + 10 = 24$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $O M = \frac{A B}{2} = 3$ cm. Triunghiul $V O M$ dreptunghic în $O$ : $V M = V O^{2} + O M^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{ℓ} = \frac{P _{ba z a} \cdot V M}{2} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60 cm^{2}$ (1 p). Aria bazei $A_{b} = 6^{2} = 36 cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = 60 + 36 = 96 cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot V O = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.