Testul oficial de pregătire nr. 8 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20-20:4$ este egal cu: a) $0$ b) $4$ c) $15$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{30}{100}\cdot x=3$, atunci $x$ este egal cu: a) $0,9$ b) $10$ c) $30$ d) $100$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma dintre cel mai mare element și cel mai mic element ale mulțimii $A=\{-5;-4;-2;0;8;9;12\}$ este egală cu: a) $-17$ b) $-7$ c) $7$ d) $17$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $18,09$; $18,1$; $18,099$ și $18,0999$, cel mai mare este: a) $18,09$ b) $18,1$ c) $18,099$ d) $18,0999$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră mulțimea $B=\{x\in \mathbb{N}\mid |x-2|\le 1\}$. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii $B$ prin enumerarea elementelor sale este: a) $\{1,2,3\}$ b) $\{0,1,2,3\}$ c) $\{0,1,2\}$ d) $\{1,2\}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Pentru a organiza festivitățile pentru ziua școlii, se hotărăște ca orele de curs să dureze câte $40$ de minute, iar pauzele dintre ore câte $5$ minute. Programul începe la ora $8,00$, iar clasa a VIII-a are șase ore de curs. Astfel, afirmația „Elevii clasei a VIII-a vor termina cele șase ore de curs la ora $12$ și $25$ de minute." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$, care sunt coliniare în această ordine, astfel încât $AB=1$ cm, $BC=2$ cm, $CD=3$ cm și $DE=4$ cm. Punctul $C$ este mijlocul segmentului:

a) $AD$ b) $AE$ c) $BD$ d) $BE$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$, formate în jurul punctului $O$, au măsurile egale, iar semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $180^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu baza $BC$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$, $AD=3$ cm și $BD=4$ cm. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

a) $6$ cm² b) $12$ cm² c) $24$ cm² d) $30$ cm²

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=160$ cm și $CD=100$ cm. Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu:

a) $100$ cm b) $130$ cm c) $160$ cm d) $260$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, măsura arcului mic $AC$ este de $60^{\circ }$, iar lungimea coardei $AC$ este egală cu $6$ cm. Aria cercului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu:

a) $6\pi$ cm² b) $16\pi$ cm² c) $18\pi$ cm² d) $36\pi$ cm²

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dreptelor $B^{\prime }{D}^{\prime }$ și $AC$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dublul unui număr întreg $n$ este cu $6$ mai mare decât jumătatea acestui număr. a) (2 p) Este posibil ca $n$ să fie egal cu $8$? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul natural $m$ al cărui pătrat este $n$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)-7$, unde $x$ este număr real. a) (3 p) Arată că $E(\sqrt{3}-1)=3$. b) (2 p) Demonstrează că $E(-1)\cdot E(0)\cdot E(1)\cdot E(2)\cdot ...\cdot E(2021)=0$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. a) (2 p) Arată că punctul $A\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2},\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ în sistemul de coordonate $xOy$. b) (3 p) Demonstrează că dreapta ce trece prin originea sistemului de coordonate $xOy$ și prin mijlocul segmentului cu capetele în punctele de intersecție ale reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ cu axele de coordonate este perpendiculară pe acest segment.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ cm, $CD=8$ cm și $AD=10$ cm. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $E$, iar punctele $M$ și $N$ sunt situate pe dreapta $AB$ astfel încât $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$.

a) (2 p) Arată că segmentul $EN$ este de lungime $9$ cm. b) (3 p) Știind că $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $EN$ și $MC$, demonstrează că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABE$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, în care măsura unghiului $B$ este de $30^{\circ }$ și $AC=12$ cm. Punctul $D$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $C$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $72\sqrt{3}$ cm². b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$.

a) (2 p) Arată că suma lungimilor tuturor muchiilor prismei date este egală cu $36(2+\sqrt{3})$ cm. b) (3 p) Determină sinusul unghiului dintre planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $20-20:4=20-5=15$.
2. b) $\frac{30}{100}\cdot x=3\Rightarrow x=3\cdot \frac{100}{30}=10$.
3. c) Cel mai mare element este $12$, cel mai mic este $-5$; suma este $12+(-5)=7$.
4. b) Scriind toate numerele cu patru zecimale: $18,0900<18,0990<18,0999<18,1000$, deci cel mai mare este $18,1$.
5. a) $|x-2|\le 1\iff 1\le x\le 3$; numerele naturale din acest interval sunt $1,2,3$, deci $B=\{1,2,3\}$.
6. a) Șase ore a câte $40$ min $=240$ min, plus cinci pauze a câte $5$ min $=25$ min; total $265$ min $=4$ h $25$ min; $8,00+4$h$25$min$=12,25$, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Notând $AB=1$, obținem $AC=3$, $AD=6$, $AE=10$ (unități); mijlocul lui $AD$ este la distanța $3$ de $A$, adică exact punctul $C$.
2. d) Cele trei unghiuri din jurul lui $O$ însumează $360^{\circ }$, deci fiecare este $120^{\circ }$; $OD$ fiind bisectoarea lui $\angle AOB$, $m(\angle AOD)=60^{\circ }$, iar $m(\angle COD)=m(\angle COA)+m(\angle AOD)=120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$.
3. b) Fiind isoscel cu baza $BC$, mediana $AD$ este și înălțime; aria $=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{2\cdot BD\cdot AD}{2}=BD\cdot AD=4\cdot 3=12$ cm².
4. b) Linia mijlocie $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{160+100}{2}=130$ cm.
5. d) Cu măsura arcului mic $AC$ de $60^{\circ }$, triunghiul $OAC$ (isoscel, $OA=OC=r$) are unghiul din $O$ de $60^{\circ }$, deci este echilateral, adică $r=AC=6$ cm; aria cercului $=\pi r^2=36\pi$ cm².
6. d) Fețele de sus și de jos ale cubului sunt pătrate paralele (una este translația celeilalte), deci $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$; cum diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, $BD\perp AC$, deci și $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp AC$, iar unghiul căutat este $90^{\circ }$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dublul lui $n$ este $2n$, iar jumătatea lui $n$ crescută cu $6$ este $\frac{n}{2}+6$. Pentru $n=8$: $2\cdot 8=16$, iar $\frac{8}{2}+6=4+6=10$ (1 p). Cum $16\ne 10$, condiția „dublul este cu $6$ mai mare decât jumătatea" nu este verificată, deci nu este posibil ca $n$ să fie egal cu $8$ (1 p). b) (3 p) Din condiția din enunț, $2n=\frac{n}{2}+6$; înmulțind cu $2$, obținem $4n=n+12$, deci $3n=12$, de unde $n=4$ (2 p). Cum $m^2=n=4$ și $m$ este număr natural, rezultă $m=2$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (3 p) $2(x+3{)}^2=2x^2+12x+18$ și $(2+x)(x-2)=x^2-4$ (1 p). Înlocuind, $E(x)=(2x^2+12x+18)-(x^2-4)-(10x+14)-7=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, pentru orice număr real $x$ (1 p). Atunci $E(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3}-1+1{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$ (1 p). b) (2 p) $E(-1)=(-1+1{)}^2=0^2=0$ (1 p). Cum unul dintre factorii produsului $E(-1)\cdot E(0)\cdot E(1)\cdot E(2)\cdot ...\cdot E(2021)$ este egal cu $0$, întregul produs este egal cu $0$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right)=\sqrt{3}+\frac{3}{2}-3=\sqrt{3}-\frac{3}{2}$ (1 p). Cum valoarea obținută este exact ordonata punctului $A$, rezultă că $A\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2},\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează axa $Ox$ în punctul unde $f(x)=0$, adică $x=3$, deci $M_1(3,0)$; intersectează axa $Oy$ în $f(0)=-3$, deci $M_2(0,-3)$ (1 p). $O{M}_1=3$ și $O{M}_2=3$, deci triunghiul $O{M}_1{M}_2$ este isoscel de bază $M_1{M}_2$ (1 p). Fiind isoscel, mediana dusă din $O$ către mijlocul bazei $M_1{M}_2$ este și înălțime, deci dreapta prin $O$ și prin mijlocul segmentului $M_1{M}_2$ este perpendiculară pe acest segment (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $AEB$ este isoscel, cu $EA=EB$ (prelungiri ale laturilor neparalele ale trapezului isoscel); cum $EN\perp AB$, $EN$ este și mediană, deci $N$ este mijlocul lui $AB$ și $AN=\frac{AB}{2}=12$ cm. Triunghiul $AMD$ este dreptunghic în $M$, cu $AM=\frac{AB-CD}{2}=\frac{24-8}{2}=8$ cm, deci $DM=\sqrt{A{D}^2-A{M}^2}=\sqrt{100-64}=6$ cm (1 p). Triunghiurile $AMD$ și $ANE$ sunt asemenea (dreptunghice, cu unghiul din $A$ comun și $DM\parallel EN$), deci $\frac{DM}{EN}=\frac{AM}{AN}$, de unde $EN=\frac{DM\cdot AN}{AM}=\frac{6\cdot 12}{8}=9$ cm (1 p). b) (3 p) Notând $T=EN\cap DC$, triunghiurile $MNG$ și $CTG$ sunt asemenea, iar $TN=DM=6$ cm, deci $GN=\frac{DM}{2}=3$ cm (1 p). $EN$ fiind înălțime în triunghiul isoscel $AEB$ de bază $AB$, este și mediană a acestui triunghi, iar $EN=3\cdot GN$ (1 p). Cum $GN=\frac{1}{3}EN$, punctul $G$ împarte mediana $EN$ în raportul $2:1$ față de vârful $E$, deci $G$ este centrul de greutate al triunghiului $AEB$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\angle B)=30^{\circ }$; cateta $AC$ fiind opusă unghiului $B$, ipotenuza este $BC=\frac{AC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{0,5}=24$ cm, iar cealaltă catetă este $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{576-144}=12\sqrt{3}$ cm (1 p). Aria triunghiului $ABC$ este $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{2}=72\sqrt{3}$ cm² (1 p). b) (3 p) $D$ fiind simetricul lui $A$ față de $C$, punctele $A$, $C$, $D$ sunt coliniare și $CD=AC=12$ cm (1 p). Unghiurile $\angle ACB$ și $\angle DCP$ (unde $P$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $BC$) sunt opuse la vârf, deci egale; cum $m(\angle ACB)=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$, rezultă $m(\angle DCP)=60^{\circ }$ (1 p). În triunghiul dreptunghic $DPC$ (drept în $P$), $DP=DC\cdot \sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, deci distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$ este $6\sqrt{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Prisma are $6$ muchii de bază (cele două triunghiuri echilaterale de latură $12$ cm) și $3$ muchii laterale de lungime $12\sqrt{3}$ cm (1 p). Suma tuturor muchiilor este $6\cdot 12+3\cdot 12\sqrt{3}=72+36\sqrt{3}=36(2+\sqrt{3})$ cm (1 p). b) (3 p) Planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ au punctul comun $M$ și conțin dreptele paralele $BC$, respectiv $B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci se intersectează după dreapta $d$ care trece prin $M$ și este paralelă cu $BC$. Fie $N$ mijlocul lui $AB$, adică piciorul perpendicularei din $M$ pe planul bazei, cu $MN=\frac{A{A}^{\prime }}{2}=6\sqrt{3}$ cm, și fie $Q$ piciorul perpendicularei din $N$ pe $BC$; în triunghiul dreptunghic $NQB$, cu $NB=6$ cm și $m(\angle NBQ)=60^{\circ }$, obținem $NQ=NB\cdot \sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}$ cm, iar din teorema celor trei perpendiculare rezultă $MQ\perp BC$, deci $MQ\perp d$; analog, punctul $Q^{\prime }$ situat pe $B^{\prime }{C}^{\prime }$ exact deasupra lui $Q$ dă $M{Q}^{\prime }\perp d$, astfel că unghiul dintre cele două plane este unghiul dreptelor $MQ$ și $M{Q}^{\prime }$ (1 p). Din triunghiul dreptunghic $MNQ$: $MQ=\sqrt{M{N}^2+N{Q}^2}=\sqrt{108+27}=3\sqrt{15}$ cm; prin simetrie $M{Q}^{\prime }=3\sqrt{15}$ cm, iar $Q{Q}^{\prime }=B{B}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm; în triunghiul isoscel $MQ{Q}^{\prime }$, înălțimea din $M$ cade în mijlocul $O$ al bazei $Q{Q}^{\prime }$, deci $MO=\sqrt{M{Q}^2-Q{O}^2}=\sqrt{135-108}=3\sqrt{3}$ cm, iar aria triunghiului $MQ{Q}^{\prime }$ este $\frac{Q{Q}^{\prime }\cdot MO}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}{2}=54$ cm² (1 p). Dacă $H$ este piciorul perpendicularei din $Q$ pe dreapta $M{Q}^{\prime }$, atunci $QH=\frac{2\cdot 54}{M{Q}^{\prime }}=\frac{108}{3\sqrt{15}}=\frac{12\sqrt{15}}{5}$ cm, iar sinusul unghiului dintre planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ este $\frac{QH}{MQ}=\frac{12\sqrt{15}}{5}\cdot \frac{1}{3\sqrt{15}}=\frac{4}{5}$ (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 8 pentru Evaluarea Națională, absolvenți ai clasei a VIII-a, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul oficial de pregătire nr. 8 pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021, ca parte a seriei de teste de antrenament puse la dispoziția absolvenților clasei a VIII-a înaintea examenului național. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: ordinea operațiilor, ecuații cu procente, mulțimi de numere întregi, compararea numerelor zecimale, mulțimi definite prin condiții cu modul, probleme cu orare; geometrie plană (puncte coliniare cu segmente, unghiuri în jurul unui punct cu bisectoare, triunghi isoscel cu arie, trapez dreptunghic cu linie mijlocie, cerc cu diametre și arce) și geometrie în spațiu (cub cu unghiul dintre drepte); algebră (relația dublu-jumătate cu pătrate perfecte, expresii algebrice reduse la pătrate perfecte), funcția liniară cu perpendicularitate pe mediană, trapez isoscel cu triunghiuri asemenea și centru de greutate, triunghi dreptunghic cu unghi de $30^{\circ }$ și simetrie, prismă dreaptă cu bază triunghi echilateral și unghi diedru între plane.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiurile formate în jurul unui punct de trei semidrepte însumează $360^{\circ }$; într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime; centrul de greutate al unui triunghi împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ față de vârf.