Testul oficial de pregătire nr. 10 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma a două elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$ poate fi egală cu: a) $1$ b) $3$ c) $8$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la cantitățile de fructe existente într-un magazin la începutul programului unei zile și procentul de vânzări din ziua respectivă, pentru fiecare din cele patru tipuri de fructe.

Cea mai mare cantitate de fructe, vândută în ziua respectivă, a fost de: a) mere b) pere c) banane d) cireșe

Exercițiul 3 · 5 puncte Dintre numerele $-2$, $2$, $-4$ și $4$, mai mic decât $-3$ este numărul: a) $4$ b) $2$ c) $-2$ d) $-4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Scrierea fracției zecimale $1,(3)$ sub formă de fracție ordinară este: a) $\frac{13}{10}$ b) $\frac{2}{15}$ c) $\frac{4}{3}$ d) $\frac{13}{90}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi efectuează calculul $(\sqrt{2}+1{)}^2-(\sqrt{2}-1{)}^2$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor.

Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect calculul este: a) Mircea b) Alina c) Nicolae d) Diana

Exercițiul 6 · 5 puncte Orarul unui elev de clasa a VIII-a, pentru ziua de vineri, este prezentat mai jos. Știind că orele încep la $9:00$, cu Educație muzicală, că durata unei ore de curs este de $50$ de minute, iar pauza este de $10$ minute, precizați la cât începe ora de matematică?

a) $10:00$ b) $11:00$ c) $12:00$ d) $13:00$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat punctul $A(1,2)$ într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. Coordonatele simetricului punctului $A$ față de axa $Oy$ sunt:

a) $(1,0)$ b) $(3,2)$ c) $(-1,-2)$ d) $(-1,2)$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele. Măsura unghiului $BAD$ este egală cu $71^{\circ }$, iar măsura unghiului $BCD$ este egală cu $36^{\circ }$. Știind că segmentele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $O$, atunci măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $144^{\circ }$ b) $107^{\circ }$ c) $73^{\circ }$ d) $36^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu măsura unghiului $BAC$ de $90^{\circ }$, $AC=8$ cm și $BC=10$ cm. Știind că punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$ și punctul $P$ este situat pe ipotenuza $BC$, astfel încât $PC=4$ cm, atunci măsura unghiului $APM$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $75^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ și punctele $M$ și $P$ mijloacele laturilor $AB$, respectiv $BC$. Raportul dintre aria triunghiului $DMP$ și aria dreptunghiului $ABCD$ este egal cu:

a) $\frac{1}{4}$ b) $\frac{3}{8}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $\frac{3}{4}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A$, $B$ și $C$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât $AB\perp BC$, $AB=6$ cm și $BC=8$ cm. Suma distanțelor de la punctul $O$ la dreptele $AB$ și $BC$ este egală cu:

a) $7$ cm b) $10$ cm c) $14$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte Un robinet deschis poate umple un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de $5$ m, $3$ m și $2$ m, în $20$ de ore. În câte ore poate umple același robinet un bazin în formă de cub cu latura de $3$ m?

a) $20$ de ore b) $18$ ore c) $12$ ore d) $6$ ore

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră numărul natural $A=\overline{ab}+\overline{ba}$, unde $a$ și $b$ sunt cifre distincte. a) (2 p) Este posibil ca numărul $A$ să fie egal cu $198$? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul natural $\overline{ab}$, știind că $\overline{ab}$ este divizibil cu $5$ și $A$ este pătratul unui număr natural.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x-1{)}^2+(x+4)(x-3)-2(x^2-4)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că $E(x)=-x-3$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{3}x+4$. a) (2 p) Calculează $f(0)+f(-3)$. b) (3 p) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, determină coordonatele punctelor $M$, situate pe axa $Oy$, astfel încât segmentele $AB$ și $BM$ să aibă aceeași lungime.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $AMPQ$ cu $AM=2$ cm. Punctul $B$ se află pe dreapta $AM$, astfel încât $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $C$ este situat pe dreapta $AQ$, astfel încât $Q$ aparține segmentului $AC$ și $CQ=2\cdot AQ$.

a) (2 p) Arată că $BC=2\sqrt{13}$ cm. b) (3 p) Știind că $MP\cap BC=\{S\}$ și $QP\cap BC=\{T\}$, demonstrează că $\frac{ST}{BC}=\frac{1}{6}$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=8$ cm. Punctul $M$ se află pe latura $BC$, astfel încât $MC=2$ cm.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $AMC$ este egală cu $4\sqrt{3}$ cm². b) (3 p) Arată că suma distanțelor de la punctele $B$ și $C$ la dreapta $AM$ este mai mare decât $4\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=6$ cm, punctul $M$ mijlocul muchiei $VB$ și $AC\cap BD=\{O\}$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $AMC$ este egal cu $6(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ cm. b) (3 p) Determină tangenta unghiului dintre planele $(VAB)$ și $(VBD)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) Sumele posibile ale a două elemente distincte din $\{1,2,3,4\}$ sunt $3,4,5,6,7$; dintre variante, doar $3$ este posibilă.
2. b) Cantități vândute: mere $200\cdot 0,2=40$ kg, pere $150\cdot 0,4=60$ kg, banane $100\cdot 0,5=50$ kg, cireșe $180\cdot 0,2=36$ kg. Maximul este la pere ($60$ kg).
3. d) Dintre $-2,2,-4,4$, numărul mai mic decât $-3$ este $-4$.
4. c) $1,(3)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.
5. a) $(\sqrt{2}+1{)}^2-(\sqrt{2}-1{)}^2=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$, deci Mircea a calculat corect.
6. c) Fiecare oră cu pauza ei durează $60$ minute. Educație muzicală: $9:00$–$9:50$; Istorie: $10:00$–$10:50$; Fizică: $11:00$–$11:50$; Matematică începe la $12:00$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Simetricul lui $A(1,2)$ față de axa $Oy$ are aceeași ordonată și abscisa opusă: $(-1,2)$.
2. c) $AB\parallel CD$ cu transversala $AD$: unghiurile $BAD$ și $ADC$ sunt alterne interne (egale), deci $m(\angle ADC)=71^{\circ }$. În triunghiul $OCD$: $m(\angle DOC)=180^{\circ }-m(\angle OCD)-m(\angle ODC)=180^{\circ }-36^{\circ }-71^{\circ }=73^{\circ }$. Cum $\angle AOB$ și $\angle DOC$ sunt unghiuri opuse la vârf, $m(\angle AOB)=73^{\circ }$.
3. b) Cu $A$ originea unui reper, $B=(0,6)$, $C=(8,0)$ (din $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\Rightarrow AB=6$), $M=(4,0)$ mijlocul lui $AC$; $P$ pe $BC$ cu $PC=4$ dă $P=(4,8;2,4)$. Vectorii $\overrightarrow{PA}$ și $\overrightarrow{PM}$ fac un unghi de $45^{\circ }$.
4. b) Cu $A=(0,b)$, $B=(a,b)$, $C=(a,0)$, $D=(0,0)$: $M=(a/2,b)$, $P=(a,b/2)$; aria$(DMP)=\frac{3ab}{8}$, iar aria$(ABCD)=ab$, deci raportul este $\frac{3}{8}$.
5. a) Cum $AB\perp BC$, prin teorema unghiului înscris $AC$ este diametru. Cu $B$ originea unui reper, $A=(0,6)$, $C=(8,0)$: $O$, mijlocul lui $AC$, este $(4,3)$, deci distanța la $AB$ este $4$ cm și distanța la $BC$ este $3$ cm; suma este $7$ cm.
6. b) Debitul robinetului: $\frac{5\cdot 3\cdot 2}{20}=1,5$ m³/oră. Volumul cubului cu latura $3$ m este $27$ m³, deci timpul este $\frac{27}{1,5}=18$ ore.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) $A=\overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$ (1 p). Dacă $A=198$, atunci $a+b=18$; singurele cifre cu suma $18$ sunt $a=b=9$, dar $a$ și $b$ trebuie să fie distincte, deci numărul $A$ nu poate fi egal cu $198$ (1 p). b) (3 p) $\overline{ab}$ divizibil cu $5$ înseamnă $b=0$ sau $b=5$ (1 p). Pentru ca $A=11(a+b)$ (cu $11$ prim) să fie pătrat perfect, trebuie ca $a+b$ să fie multiplu de $11$; cum $a+b\le 18$, rezultă $a+b=11$ (1 p). Pentru $b=0$ obținem $a=11$, imposibil (nu e cifră); pentru $b=5$ obținem $a=6$ ($a\ne b$, convine), deci $A=11\cdot 11=121=11^2$ și numărul căutat este $\overline{ab}=65$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(x+4)(x-3)=x^2-3x+4x-12=x^2+x-12$ (1 p), identitate adevărată pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=(x^2-2x+1)+(x^2+x-12)-2x^2+8$ (1 p) $=(1+1-2)x^2+(-2+1)x+(1-12+8)=-x-3$, pentru orice număr real $x$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=\frac{4}{3}\cdot 0+4=4$ (1 p). $f(-3)=\frac{4}{3}\cdot (-3)+4=-4+4=0$, deci $f(0)+f(-3)=4$ (1 p). b) (3 p) $f(x)=0\Rightarrow x=-3$, deci $A(-3,0)$; $f(0)=4$, deci $B(0,4)$ (1 p). $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (1 p). $M$ este pe axa $Oy$ cu $BM=AB=5$: dacă $M$ este de aceeași parte cu $A$ (sub $B$), $M(0,4-5)=M(0,-1)$; dacă $M$ este de partea opusă, $M(0,4+5)=M(0,9)$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $AB=2\cdot AM=2\cdot 2=4$ cm și $AC=AQ+QC=AQ+2\cdot AQ=3\cdot AQ=3\cdot 2=6$ cm (1 p). Cum $AMPQ$ este pătrat, $BA\perp AC$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm (1 p). b) (3 p) $M$ este mijlocul lui $AB$ și $MP\parallel AC$ (laturi ale pătratului), deci $MS$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$ ($S$ fiind mijlocul lui $BC$), de unde $SC=\frac{BC}{2}=\sqrt{13}$ cm (1 p). $QP\parallel AB$, deci triunghiul $CQT$ este asemenea cu triunghiul $CAB$: $\frac{CT}{CB}=\frac{CQ}{CA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, deci $CT=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{4\sqrt{13}}{3}$ cm (1 p). $ST=CT-CS=\frac{4\sqrt{13}}{3}-\sqrt{13}=\frac{\sqrt{13}}{3}$, deci $\frac{ST}{BC}=\frac{\sqrt{13}/3}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{6}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $D$ piciorul înălțimii din $A$ pe $BC$ în triunghiul echilateral $ABC$: $AD=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Aria$(AMC)=\frac{MC\cdot AD}{2}=\frac{2\cdot 4\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm² (1 p). b) (3 p) Aria$(ABC)=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$ cm², deci Aria$(ABM)=$ Aria$(ABC)-$ Aria$(AMC)=16\sqrt{3}-4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ cm² (1 p). Notând $d(B,AM)$ și $d(C,AM)$ distanțele cerute, din $2\cdot$Aria$(ABM)=AM\cdot d(B,AM)$ și $2\cdot$Aria$(AMC)=AM\cdot d(C,AM)$ obținem $d(B,AM)+d(C,AM)=\frac{2(12\sqrt{3}+4\sqrt{3})}{AM}=\frac{32\sqrt{3}}{AM}$ (1 p). În triunghiul $AMC$, cu $AC=8$, $MC=2$ și $m(\angle ACM)=60^{\circ }$, se obține $AM=\sqrt{A{C}^2+M{C}^2-2\cdot AC\cdot MC\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}<8$ cm, deci $\frac{32\sqrt{3}}{AM}>\frac{32\sqrt{3}}{8}=4\sqrt{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $AM$ și $CM$ sunt mediane în triunghiurile echilaterale congruente $VAB$ și $VBC$ (laturi de $6$ cm), deci $AM=CM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm (1 p). $AC$ este diagonala pătratului bazei: $AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm, deci perimetrul triunghiului $AMC$ este $AM+CM+AC=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+6\sqrt{2}=6(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ cm (1 p). b) (3 p) Cum toate muchiile piramidei sunt egale cu $6$ cm, înălțimea $VO=\sqrt{V{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{36-18}=3\sqrt{2}$ cm, egală cu $OB=3\sqrt{2}$ cm (jumătate din diagonala bazei), deci triunghiul $VOB$ este dreptunghic isoscel, cu $OM$ mediană corespunzătoare ipotenuzei $VB$; astfel $OM=\frac{VB}{2}=3$ cm și $OM\perp VB$ (1 p). $AM\perp VB$ (mediană într-un triunghi echilateral), deci unghiul dintre planele $(VAB)$ și $(VBD)$ este unghiul $AMO$ (1 p). $AC\perp BD$ și $AC\perp VO$ (diagonalele bazei, respectiv înălțimea piramidei), deci $AO\perp (VBD)$, iar triunghiul $AOM$ este dreptunghic în $O$: $\mathrm{tg}(\angle AMO)=\frac{AO}{OM}=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$ (1 p).

Testul 10 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020–2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 10 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020–2021. Este o sursă publică, oficială (documentele oficiale de antrenament publicate de minister), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: mulțimi, procente, numere negative, fracții zecimale periodice, radicali, calcul cu puteri, raționament cu orare/durate; geometrie plană (simetrie față de o axă, unghiuri formate de drepte paralele tăiate de transversale, triunghi dreptunghic cu mediană, dreptunghi cu arii de triunghiuri, cerc cu coarde perpendiculare) și geometrie în spațiu (paralelipiped și cub — volum și debit); algebră (numărul $\overline{ab}+\overline{ba}$, expresii cu paranteze și multiplu), funcția liniară cu simetrie față de un punct, pătrat cu drepte secante și asemănare, triunghi echilateral cu arii și distanțe, piramidă patrulateră regulată cu unghi diedru.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: produsul a două numere naturale consecutive este întotdeauna par; mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză; unghiurile alterne interne formate de o transversală cu două drepte paralele sunt egale.