Testul oficial de pregătire nr. 12 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Produsul a două numere prime este egal cu $14$. Suma celor două numere prime este egală cu: a) $2$ b) $7$ c) $9$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte Într-o lădiță sunt $48$ de mere roșii, verzi și galbene. Probabilitatea ca, alegând un măr din lădiță, acesta să fie roșu este egală cu $\frac{5}{8}$. Numărul de mere roșii din această lădiță este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $30$ d) $40$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mihai a înregistrat în tabelul următor temperaturile măsurate la aceeași oră pe parcursul unei săptămâni.

Media aritmetică a temperaturilor măsurate de Mihai, în această săptămână, la aceeași oră, este egală cu: a) $0^{\circ }$C b) $-2^{\circ }$C c) $-5^{\circ }$C d) $-7^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Știind că $x$ este un număr natural, $x>1$, iar fracția $\frac{6}{x}$ este supraunitară și ireductibilă, atunci $x$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{5^2-1^2}$ și $b=\frac{48}{\sqrt{6}}$ aparține intervalului: a) $[5,6]$ b) $[10,11]$ c) $[12,13]$ d) $[15,16]$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor este prezentat numărul de elevi al fiecăreia dintre clasele V-VIII ale unei școli:

Numărul elevilor din clasele a VIII-a din această școală reprezintă $p\%$ din numărul total al elevilor școlii. Valoarea lui $p$ este egală cu: a) $25$ b) $29$ c) $31$ d) $60$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, pe segmentul $AE$ se consideră punctul $C$ astfel încât $AC<CE$, iar punctele $B$ și $D$ sunt mijloacele segmentelor $AC$, respectiv $CE$. Dintre următoarele afirmații, cea adevărată este:

a) $AC<BD<CE$ b) $BD<AC<CE$ c) $AC<CE<BD$ d) $AC=BD=CE$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat unghiul drept $AOB$, bisectoarea $OC$ a acestuia și semidreapta $OD$ astfel încât semidreapta $OB$ este bisectoarea unghiului $COD$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $50^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $40^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, segmentele $AB$, $AC$ și $CB$ reprezintă alei într-un parc, unde dreptele $AB$ și $BC$ sunt perpendiculare. Ana și Dan ocupă inițial pozițiile $A$, respectiv $D$, unde $D$ este mijlocul segmentului $AC$. Din pozițiile inițiale, Ana ajunge în punctul $B$ și Dan parcurge segmentul $DE$, unde $DE\parallel AB$, ajungând în punctul $E$. Raportul dintre distanța parcursă de Dan și cea parcursă de Ana este egal cu:

a) $\frac{1}{4}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $\frac{2}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini în formă de pătrat $ABCD$ cu latura $AB=10$ cm. Pe suprafața corespunzătoare triunghiului echilateral $AEB$ sunt plantate begonii, pe suprafața corespunzătoare triunghiului $DEC$ sunt plantate crizanteme, iar pe suprafețele corespunzătoare triunghiurilor $AED$ și $BEC$ sunt plantate panseluțe, $E$ fiind un punct din interiorul pătratului $ABCD$. Aria suprafeței totale cultivate cu panseluțe este:

a) mai mare decât suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme b) mai mică decât suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme c) egală cu suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme d) egală cu o treime din aria suprafeței întregii grădini

Exercițiul 5 · 5 puncte Diametrul unui cerc cu lungimea de $10\pi$ cm este egal cu: a) $5$ cm b) $10$ cm c) $20$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu lungimea segmentului $B{C}^{\prime }$ egală cu $4\sqrt{2}$ cm. Aria totală a cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu:

a) $16$ cm² b) $64$ cm² c) $96$ cm² d) $192$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O florărie are la vânzare lalele și trandafiri, dar prețurile acestora nu sunt afișate. Anastasia întreabă vânzătorul despre prețuri. Acesta îi propune să afle singură prețurile care o interesează, spunându-i că cinci fire de lalele și patru fire de trandafiri costă împreună $43$ de lei, iar două fire de lalele și trei fire de trandafiri costă împreună $27$ de lei. a) (2 p) Anastasia face afirmația următoare: „Prețul unui fir de trandafir este de $10$ lei.”. Este această afirmație adevărată? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină prețul unui fir de trandafir pe care îl are spre vânzare florăria.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(1+2\sqrt{3}x)(2\sqrt{3}x-1)-2(2x+1{)}^2-(4x+1)(x-3)+1-x$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=2x+1$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numerele naturale $a$ pentru care $E(a)\le 3\sqrt{5}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{2}x+2$. a) (2 p) Arată că $f(-2)+f(2)=4$. b) (3 p) Se consideră punctele $A(-2,-1)$ și $B(2,5)$ care aparțin reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. Determină coordonatele punctului $M(x,y)$ situat pe axa $Oy$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$, astfel încât suma lungimilor segmentelor $MA$ și $MB$ să fie minimă.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și punctul $B$ aparține segmentului $CD$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36\sqrt{3}$ cm². b) (3 p) Demonstrează că triunghiurile $BMN$ și $ABC$ sunt asemenea.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră triunghiul $DBC$ cu $BC=BD=6$ cm și $DC=6\sqrt{3}$ cm. Punctul $A$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $AC=4\sqrt{3}$ cm.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$. b) (3 p) Demonstrează că triunghiul $ABD$ este isoscel.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu baza triunghiul $ABC$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, $AB=18$ cm și $VA=9\sqrt{2}$ cm.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului dintre dreapta $VM$ și dreapta $AC$ este egală cu $60^{\circ }$. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(VAC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $14=2\cdot 7$ este singura descompunere a lui $14$ în produs de două numere prime, iar suma lor este $2+7=9$.
2. c) Numărul de mere roșii este $48\cdot \frac{5}{8}=30$.
3. b) Suma temperaturilor este $-4-1-5-2+0+1-3=-14$, iar media aritmetică este $-14:7=-2^{\circ }$C.
4. d) Fracția $\frac{6}{x}$ este supraunitară dacă $x<6$, iar cu $x>1$ rămân $x\in \{2,3,4,5\}$; fracția este ireductibilă doar dacă $x$ este prim cu $6$, ceea ce se întâmplă doar pentru $x=5$.
5. c) $a=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ și $b=\frac{48}{\sqrt{6}}=8\sqrt{6}$; media lor este $\frac{2\sqrt{6}+8\sqrt{6}}{2}=5\sqrt{6}\approx 12,25\in [12,13]$.
6. a) Numărul total de elevi este $32+30+28+31+27+32+29+31=240$, iar cei din clasele a VIII-a sunt $29+31=60$; $p=\frac{60}{240}\cdot 100=25$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Notând $AC=2p$ și $CE=2q$, cu $p<q$: $AB=p$ (jumătate din $AC$) și $BD=BC+CD=p+q$ (de la mijlocul lui $AC$ la mijlocul lui $CE$). Cum $p<q$, rezultă $AC=2p<p+q=BD$ și $BD=p+q<2q=CE$, deci $AC<BD<CE$.
2. c) $OC$ este bisectoarea unghiului drept $AOB$, deci $m(\angle COB)=45^{\circ }$; $OB$ este bisectoarea unghiului $COD$, deci $m(\angle BOD)=m(\angle COB)=45^{\circ }$.
3. c) $D$ este mijlocul lui $AC$, iar $DE\parallel AB$, cu $E\in BC$; conform teoremei liniei mijlocii, $E$ este mijlocul lui $BC$ și $DE=\frac{AB}{2}$, deci raportul cerut este $\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$.
4. c) Pentru orice punct $E$ interior unui pătrat (sau dreptunghi) $ABCD$, suma ariilor triunghiurilor $AEB$ și $DEC$ este egală cu suma ariilor triunghiurilor $AED$ și $BEC$ (fiecare pereche însumează jumătate din aria pătratului), deci suprafața cultivată cu panseluțe este egală cu suma suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme.
5. b) Din $C=\pi d$ obținem $d=\frac{10\pi }{\pi }=10$ cm.
6. c) $B{C}^{\prime }$ este diagonala feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ a cubului, deci $B{C}^{\prime }=a\sqrt{2}$, unde $a$ este muchia cubului: $a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\Rightarrow a=4$ cm. Aria totală a cubului este $6a^2=6\cdot 16=96$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă prețul unui fir de trandafir ar fi $10$ lei, trei fire de trandafiri ar costa $3\cdot 10=30$ de lei (1 p). Cum două fire de lalele și trei fire de trandafiri costă împreună doar $27$ de lei (mai puțin decât $30$ de lei, iar prețul lalelelor nu poate fi negativ), nu este posibil ca prețul unui fir de trandafir să fie $10$ lei (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ prețul unui fir de lalea și cu $y$ prețul unui fir de trandafir: $5x+4y=43$ și $2x+3y=27$ (1 p). Amplificând prima ecuație cu $3$ și a doua cu $4$ obținem $15x+12y=129$ și $8x+12y=108$; scăzând, rezultă $7x=21$, deci $x=3$ (1 p). Înlocuind în $2x+3y=27$: $6+3y=27\Rightarrow y=7$, deci prețul unui fir de trandafir este de $7$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(1+2\sqrt{3}x)(2\sqrt{3}x-1)=(2\sqrt{3}x{)}^2-1^2=12x^2-1$ (1 p). $E(x)=(12x^2-1)-2(4x^2+4x+1)-(4x^2-11x-3)+1-x=(12-8-4)x^2+(-8+11-1)x+(-1-2+3+1)=2x+1$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(a)\le 3\sqrt{5}$ devine $2a+1\le 3\sqrt{5}$ (1 p). Cum $3\sqrt{5}\approx 6,7$, iar $2a+1$ este întotdeauna un număr natural impar, rezultă $2a+1\in \{1,3,5\}$ (1 p), deci $a\in \{0,1,2\}$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-2)=\frac{3}{2}\cdot (-2)+2=-1$ și $f(2)=\frac{3}{2}\cdot 2+2=5$ (1 p), deci $f(-2)+f(2)=-1+5=4$ (1 p). b) (3 p) Cum $A(-2,-1)$ și $B(2,5)$ sunt de o parte și de alta a axei $Oy$, suma $MA+MB$ este minimă atunci când $M$, $A$ și $B$ sunt coliniare (1 p), adică $M$ este chiar punctul de intersecție dintre dreapta $AB$ (graficul funcției $f$) și axa $Oy$ (1 p). Acesta este $M(0,f(0))=M(0,2)$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Aria triunghiului echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm este $\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}$ (1 p) $=36\sqrt{3}$ cm² (1 p). b) (3 p) Cum $B\in CD$ și $BC=2BD$, rezultă $BD=6$ cm, iar unghiul $ABD$ este suplementar unghiului $ABC=60^{\circ }$, deci $m(\angle ABD)=120^{\circ }$ (1 p). Semidreapta $BM$ fiind bisectoarea unghiului $ABD$, $m(\angle ABM)=m(\angle MBD)=60^{\circ }$ (1 p). Cum $MN\parallel BC$, unghiurile corespunzătoare arată că triunghiul $BMN$ are, la fel ca $ABC$, toate unghiurile de $60^{\circ }$, deci $BMN\sim ABC$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $M$ mijlocul laturii $DC$. Triunghiul $BDC$ fiind isoscel, cu $BD=BC$, înălțimea din $B$ cade în mijlocul bazei: $BM\perp DC$, cu $MC=\frac{DC}{2}=3\sqrt{3}$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $BMC$: $\cos C=\frac{MC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $m(\angle C)=30^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $BM=\sqrt{B{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{36-27}=3$ cm (1 p). $AM=AC-MC=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$ cm și $AD=DC-AC=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $M$: $AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ cm $=AD$, deci triunghiul $ABD$ este isoscel (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Construim $MN\parallel AC$, cu $N$ mijlocul laturii $AB$; $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN=\frac{AC}{2}=9$ cm (1 p). Triunghiurile $VBC$ și $VAB$ sunt isoscele (cu $VA=VB=VC=9\sqrt{2}$ cm), deci $VM\perp BC$ și $VN\perp AB$, cu $VM=VN=\sqrt{V{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{162-81}=9$ cm; cum $MN\parallel AC$, unghiul dintre $VM$ și $AC$ este unghiul $VMN$, iar triunghiul $VMN$ (cu toate laturile de $9$ cm) este echilateral, deci $m(\angle VMN)=60^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Din $V{A}^2+V{B}^2=162+162=324=A{B}^2$ rezultă că triunghiul $VAB$ este dreptunghic în $V$ ($VA\perp VB$); analog $V{B}^2+V{C}^2=B{C}^2$, deci $VB\perp VC$. Cum $VB\perp VA$ și $VB\perp VC$ (drepte concurente, ambele conținute în planul $(VAC)$), rezultă $VB\perp (VAC)$ (1 p). Fie $P$ mijlocul segmentului $VC$: $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $VBC$, deci $MP\parallel VB$ și $MP=\frac{VB}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$ cm (1 p). Cum $MP\parallel VB$ și $VB\perp (VAC)$, rezultă $MP\perp (VAC)$, cu piciorul perpendicularei în $P$, deci $d(M,(VAC))=MP=\frac{9\sqrt{2}}{2}$ cm (1 p).

Testul 12 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020–2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 12 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020–2021. Este o sursă publică, oficială (documentele oficiale de antrenament publicate de minister), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere prime, probabilități, medie aritmetică cu numere negative, fracții supraunitare și ireductibile, radicali, procente; geometrie plană (puncte mijloc pe segment, unghi drept cu bisectoare, triunghi dreptunghic cu alei perpendiculare într-un parc, pătrat cu triunghi echilateral interior, cerc cu diametru dedus din lungime, cub cu arie totală dedusă din diagonala unei fețe) și geometrie în spațiu (piramidă triunghiulară regulată cu distanță de la un punct la un plan); algebră (sistem de ecuații cu prețuri, expresie algebrică cu radicali și o inegalitate), funcția liniară cu distanță minimă (coliniaritate), triunghi echilateral cu bisectoare și paralelă, triunghi isoscel cu unghi de bază de $30^{\circ }$.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: pentru orice punct interior unui dreptunghi, suma ariilor a două triunghiuri opuse (formate cu vârfurile) este egală cu jumătate din aria dreptunghiului; suma $MA+MB$ (cu $M$ pe o dreaptă, iar $A$, $B$ de o parte și de alta a ei) este minimă când $M$, $A$, $B$ sunt coliniare; un triunghi isoscel cu bazele egale și unghiul de la vârf calculat din cosinus se rezolvă cu înălțimea dusă din vârf pe bază.