Testul oficial de pregătire nr. 14 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Numărul natural de forma $\overline{2x}$ divizibil cu $6$ este: a) $28$ b) $26$ c) $24$ d) $22$

Exercițiul 2 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la temperatura înregistrată în patru zile, la ora $8:00$, respectiv ora $12:00$.

Zilele pentru care raportul dintre temperatura înregistrată la ora $8:00$ și temperatura înregistrată la ora $12:00$ are aceeași valoare sunt: a) Luni și Miercuri b) Luni și Joi c) Marți și Miercuri d) Marți și Joi

Exercițiul 3 · 5 puncte Vârful Omu din Munții Bucegi are altitudinea de $2505$ m. Marea Neagră are o adâncime medie de $1271$ m. Valoarea absolută a diferenței dintre adâncimea medie a Mării Negre și altitudinea vârfului Omu este egală cu: a) $3776$ m b) $-3776$ m c) $1234$ m d) $-1234$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre următoarele seturi de numere, cel care reprezintă numai fracții ordinare subunitare este: a) $\frac{2}{3},\frac{2}{5},\frac{4}{3},\frac{6}{8},\frac{1}{3},\frac{5}{7}$ b) $\frac{10}{13},\frac{1}{5},\frac{2}{3},\frac{15}{8},\frac{2}{7},\frac{3}{10}$ c) $\frac{1}{4},\frac{9}{15},\frac{6}{11},\frac{7}{8},\frac{6}{5},\frac{5}{7}$ d) $\frac{5}{9},\frac{3}{8},\frac{2}{7},\frac{10}{11},\frac{4}{13},\frac{5}{7}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Radu, Alexandru, Vlad și Eva, calculează media geometrică a numerelor $8\sqrt{3}$ și $3\sqrt{3}$. Rezultatele obținute sunt înregistrate în tabelul următor.

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică a celor două numere este: a) Radu b) Alexandru c) Vlad d) Eva

Exercițiul 6 · 5 puncte Elevii unei clase au obținut la un test notele prezentate în tabelul de mai jos:

Un elev afirmă că "media notelor obținute de elevii clasei este egală cu $7,30$". Afirmația făcută este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A$, $B$, $C$. Știind că punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ respectiv $BC$, $AB=2$ cm și $BC=4$ cm, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $1$ cm b) $2$ cm c) $3$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$ se găsesc la distanțe egale unul față de celălalt, respectiv la distanțe egale față de punctul $G$. Măsura unghiului $BGC$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $120^{\circ }$ c) $130^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ de latură $3$ cm. Perpendiculara în $D$ pe diagonala $BD$ a pătratului $ABCD$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $E$. Perimetrul triunghiului $DBE$ este egal cu:

a) $9$ cm b) $3\left(2+\sqrt{2}\right)$ cm c) $18$ cm d) $6\left(1+\sqrt{2}\right)$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei fețe de masă în formă de romb cu lungimile diagonalelor de $60$ cm și de $80$ cm. Pe fața de masă este cusută o broderie în formă de dreptunghi, care are vârfurile în mijloacele laturilor feței de masă. Valoarea raportului dintre suprafața broderiei și suprafața feței de masă este:

a) $\frac{1}{8}$ b) $\frac{1}{4}$ c) $\frac{1}{3}$ d) $\frac{1}{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată punctele $A$ și $B$ sunt situate pe cercul de centru $O$ și sunt diametral opuse, iar punctul $C$ aparține cercului dat astfel încât $AC=2\sqrt{3}$ cm și $BC=OC$. Aria triunghiului $BOC$ este egală cu:

a) $\sqrt{3}$ cm² b) $6$ cm² c) $8$ cm² d) $6\sqrt{3}$ cm²

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm. Volumul piramidei $VABCD$ este egal cu:

a) $96$ cm³ b) $144$ cm³ c) $384$ cm³ d) $1152$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrieți rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un automobil a parcurs un drum în trei zile, astfel: în prima zi a parcurs $35\%$ din lungimea drumului, în a doua zi $20\%$ din lungimea drumului rămas, iar în a treia zi restul de $624$ km. a) (2 p) Este adevărat că automobilul a parcurs în primele două zile jumătate din lungimea drumului? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină în care dintre cele trei zile automobilul a parcurs cei mai mulți kilometri.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+2021{)}^2-10(x+2021)+21$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că $E(-2018)\cdot E(-2019)\cdot E(-2020)\cdot E(-2021)=0$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+8$.

a) (2 p) Determină numărul real $a$, știind că punctul $A(a,2a)$ aparține graficului funcției $f$. b) (3 p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $A(2,4)$, iar $B$ este punctul de intersecție al graficului funcției $f$ cu axa $Oy$. Determină lungimea segmentului $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Pe latura $AB$ a triunghiului se consideră punctul $M$ și se construiește paralela $MN$ la dreapta $BC$, cu $N\in AC$. Paralela prin $N$ la dreapta $AB$ intersectează pe $BC$ în punctul $P$.

a) (2 p) Arată că $MN\cdot AC=BC\cdot AN$. b) (3 p) Demonstrează că $\frac{BP}{BC}+\frac{BM}{AB}=1$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, măsura unghiului $ACB$ este de $30^{\circ }$ și $AB=6$ cm.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu $18$ cm. b) (3 p) Arată că aria triunghiului $AMC$ este mai mică decât $16$ cm².

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDEF$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, iar $AB=12$ cm și $AD=18$ cm.

a) (2 p) Arată că aria totală a prismei este mai mare decât $720$ cm². b) (3 p) Se consideră punctul $A^{\prime }$ din planul $(BCD)$ astfel încât $A{A}^{\prime }=9$ cm. Determină măsura unghiului dintre dreptele $A{A}^{\prime }$ și $EF$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Numerele de forma $\overline{2x}$: $22,24,26,28$. Divizibile cu $6$ (pare și cu suma cifrelor multiplu de $3$): doar $24$ ($2+4=6$).
2. d) Rapoartele $8:00/12:00$: Luni $4/8=0,5$; Marți $3/9=0,\mathrm{33...}$; Miercuri $4/16=0,25$; Joi $6/18=0,\mathrm{33...}$. Marți și Joi au aceeași valoare.
3. a) Adâncimea medie a Mării Negre este $-1271$ m; diferența față de altitudinea vârfului Omu ($2505$ m) este $-1271-2505=-3776$; valoarea absolută este $3776$ m.
4. d) În setul d) toate fracțiile sunt subunitare: $\frac{5}{9},\frac{3}{8},\frac{2}{7},\frac{10}{11},\frac{4}{13},\frac{5}{7}$ au numărătorul mai mic decât numitorul; celelalte seturi conțin cel puțin o fracție supraunitară sau echiunitară.
5. b) Media geometrică a lui $8\sqrt{3}$ și $3\sqrt{3}$ este $\sqrt{8\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=\sqrt{24\cdot 3}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ — rezultatul lui Alexandru.
6. b) Media $=\frac{10\cdot 2+9\cdot 2+8\cdot 6+7\cdot 7+6\cdot 5+5\cdot 1+4\cdot 1}{24}=\frac{174}{24}=7,25\ne 7,30$, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $M$ mijlocul lui $AB$, $N$ mijlocul lui $BC$: $MN=MB+BN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=1+2=3$ cm.
2. b) $A$, $B$, $C$ egal depărtate unul de altul și de $G$ ⇒ $G$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$; unghiul la centru $BGC$ subîntinde latura $BC$ și are măsura $120^{\circ }$.
3. d) Diagonala $BD=3\sqrt{2}$ cm; unghiul $DBE=45^{\circ }$ (unghiul dintre diagonală și latură), iar triunghiul $DBE$ este dreptunghic isoscel în $D$, deci $DE=BD=3\sqrt{2}$ și $BE=BD\sqrt{2}=6$; perimetrul $=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+6=6+6\sqrt{2}=6(1+\sqrt{2})$ cm.
4. d) Dreptunghiul format prin unirea mijloacelor laturilor unui patrulater (paralelogramul lui Varignon) are aria egală cu jumătate din aria patrulaterului inițial, indiferent de forma acestuia — deci raportul este $\frac{1}{2}$.
5. a) $AB$ diametru ⇒ unghiul $ACB=90^{\circ }$ (Thales); cu $BC=OC=R$ (rază) și $AC=2\sqrt{3}$: $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2\Rightarrow 12+R^2=4R^2\Rightarrow R^2=4\Rightarrow R=2$; triunghiul $BOC$ are $OB=OC=BC=2$ (echilateral), aria $=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=\sqrt{3}$ cm².
6. c) $V=\frac{1}{3}\cdot A_{baz\breve{a}}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 12^2\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8=384$ cm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) După prima zi rămân $65\%$ din drum; în a doua zi se parcurg $20\%$ din $65\%$, adică $13\%$ din lungimea totală (1 p). În primele două zile s-au parcurs $35\%+13\%=48\%$ din drum, deci NU este adevărat că automobilul a parcurs jumătate ($50\%$) din drum în primele două zile (1 p). b) (3 p) În primele două zile automobilul a parcurs $48\%$ din drum, deci în a treia zi a parcurs $100\%-48\%=52\%$ din lungimea drumului (1 p). Cum $52\%>35\%$ și $52\%>13\%$, a treia zi corespunde procentului cel mai mare din drum (1 p), deci cea mai lungă distanță dintre cele parcurse de automobil în cele trei zile corespunde celei de-a treia zi (cei $624$ km) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-10x+21$: se caută două numere care se înmulțesc la $21$ și se adună la $10$, adică $3$ și $7$; deci $x^2-10x+21=x^2-3x-7x+21=x(x-3)-7(x-3)=(x-3)(x-7)$ (2 p). b) (3 p) Notând $y=x+2021$, obținem $E(x)=y^2-10y+21=(y-3)(y-7)=(x+2021-3)(x+2021-7)=(x+2018)(x+2014)$, pentru orice număr real $x$ (2 p). Atunci $E(-2018)=(-2018+2018)(-2018+2014)=0\cdot (-4)=0$, deci produsul $E(-2018)\cdot E(-2019)\cdot E(-2020)\cdot E(-2021)=0$ (conține factorul $E(-2018)=0$) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Punctul $A(a,2a)$ aparține graficului lui $f$, deci $f(a)=2a\Rightarrow -2a+8=2a\Rightarrow 4a=8$ (1 p) $\Rightarrow a=2$ (1 p). b) (3 p) $B$ este punctul de intersecție al graficului cu axa $Oy$, adică $B(0,f(0))=B(0,8)$ (1 p). Cu $A(2,4)$: $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(4-8{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ (1 p) $=2\sqrt{5}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, deci $△AMN\sim △ABC$ (1 p), de unde $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow MN\cdot AC=BC\cdot AN$ (1 p). b) (3 p) Cum $NP\parallel AB$, rezultă $△CNP\sim △CAB$, deci $\frac{BP}{BC}=1-\frac{CP}{CB}=1-\frac{CN}{CA}=\frac{AN}{AC}$ (1 p). Din asemănarea de la punctul a), $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$, deci $\frac{BP}{BC}=\frac{AM}{AB}$ (1 p). Atunci $\frac{BP}{BC}+\frac{BM}{AB}=\frac{AM}{AB}+\frac{BM}{AB}=\frac{AM+BM}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $ABC$, unghiul $C=30^{\circ }$, deci $BC=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{0,5}=12$ cm; cum $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $AM=BM=CM=\frac{BC}{2}=6$ cm (1 p). Perimetrul $△ABM=AB+BM+AM=6+6+6=18$ cm (1 p). b) (3 p) Din teorema lui Pitagora, $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=144-36=108$, deci $AC=6\sqrt{3}$ cm (1 p). $AM$ fiind mediană, ariile $△ABM$ și $△AMC$ sunt egale, fiecare fiind jumătate din aria $△ABC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$ cm² (1 p), deci aria $△AMC=9\sqrt{3}$ cm²; cum $9\sqrt{3}=\sqrt{243}<\sqrt{256}=16$, rezultă că aria triunghiului $AMC$ este mai mică decât $16$ cm² (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei (triunghi echilateral cu latura $12$ cm): $A_b=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$ cm²; perimetrul bazei $=36$ cm, deci aria laterală $=36\cdot 18=648$ cm² (1 p). Aria totală $=2\cdot 36\sqrt{3}+648=72\sqrt{3}+648$; cum $\sqrt{3}>1$, avem $72\sqrt{3}>72$, deci aria totală este mai mare decât $648+72=720$ cm² (1 p). b) (3 p) Fie $M$ mijlocul lui $BC$; cum $AD\perp (ABC)$, rezultă $DM\perp BC$, deci $BC\perp (ADM)$ (1 p). Construind $AQ\perp DM$ cu $Q\in DM$, obținem $AQ\perp BC$ și $AQ\perp DM$, deci $AQ\perp (BDC)$, adică $AQ$ este distanța de la $A$ la planul $(BCD)$; în triunghiul dreptunghic $ADM$ (dreptunghic în $A$, cu $AM=6\sqrt{3}$ înălțimea triunghiului echilateral și $AD=18$), $AQ=\frac{AD\cdot AM}{DM}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=9$ cm, deci $A^{\prime }\equiv Q$, confirmând $A{A}^{\prime }=9$ cm (1 p). Cum $EF\parallel BC$ și $BC\perp (ADM)$ (planul care conține și dreapta $A{A}^{\prime }$), rezultă $EF\perp A{A}^{\prime }$, deci măsura unghiului dintre dreptele $A{A}^{\prime }$ și $EF$ este $90^{\circ }$ (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 14 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 14 dintr-o serie de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, elaborate de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021, destinate antrenamentului elevilor înaintea probei scrise de Evaluare Națională. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: divizibilitate, rapoarte de temperaturi, valoare absolută (altitudine/adâncime), fracții ordinare subunitare, medie geometrică cu radicali, medie aritmetică ponderată; geometrie plană (puncte coliniare cu mijloace de segmente, unghi la centru într-un triunghi echilateral, pătrat cu perpendiculară pe diagonală, romb cu broderie dreptunghiulară, cerc cu diametru și triunghi dreptunghic înscris) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră); algebră (expresie cu paranteze și translație, factorizare, produs nul), funcția liniară cu distanța dintre puncte, teorema fundamentală a asemănării (paralele într-un triunghi), triunghi dreptunghic cu unghi de $30^{\circ }$ și mediană, prismă dreaptă cu bază triunghi echilateral (arie totală, unghi între drepte necoplanare).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris într-un semicerc este întotdeauna drept (teorema lui Thales pe cerc); mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză; unind mijloacele laturilor unui patrulater oarecare se obține un paralelogram a cărui arie este jumătate din aria patrulaterului inițial.