Testul oficial de pregătire nr. 15 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cel mai mic număr par de ordinul zecilor, format cu cifre identice, este numărul: a) $10$ b) $11$ c) $22$ d) $98$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $\frac{3}{4}$ din $1600$ este egal cu: a) $120$ b) $1200$ c) $\frac{6400}{3}$ d) $4800$

Exercițiul 3 · 5 puncte Patru elevi propun câte un exercițiu de calcul. În tabelul de mai jos sunt scrise numele elevilor și exercițiile propuse de aceștia.

Conform informațiilor din tabel, prin rezolvarea corectă a calculelor, rezultatul care reprezintă cel mai mic număr corespunde exercițiului propus de: a) Alina b) Mihai c) Daria d) Vlad

Exercițiul 4 · 5 puncte Șase caiete tip dictando și cinci caiete de matematică costă $15$ lei, iar șase caiete tip dictando și două caiete de matematică costă $11,4$ lei. Prețul unui caiet de matematică este de: a) $1,2$ lei b) $1,5$ lei c) $2,1$ lei d) $3,6$ lei

Exercițiul 5 · 5 puncte Numărul $2\sqrt{7}$ aparține intervalului de numere reale: a) $(2,3)$ b) $[3,4]$ c) $[4,5)$ d) $(5,6)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Într-o livadă sunt $300$ de pomi fructiferi de trei tipuri: meri, peri și caiși. În diagrama de mai jos este reprezentată distribuția celor $300$ de pomi fructiferi în funcție de tipul acestora.

Conform diagramei, numărul caișilor din livadă este egal cu: a) $60$ b) $105$ c) $135$ d) $150$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$, distincte, în această ordine, astfel încât punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$ și, respectiv, al segmentului $BD$. Dintre afirmațiile următoare, cea adevărată este:

a) $AC-CD>DE$ b) $AC-CD<DE$ c) $AC-CD=DE$ d) $AC+CD=DE$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctul $I$ este punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor acestui triunghi. Știind că măsura unghiului $BIC$ este egală cu $120^{\circ }$, atunci măsura unghiului $BAI$ este:

$120°$

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $AC$, respectiv $BC$, iar punctele $Q$, $R$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $MP$, $NP$, respectiv $MN$. Raportul dintre perimetrul triunghiului $QRT$ și perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu:

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{4}$ d) $\frac{1}{12}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră rombul $ABCD$ în care diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Perimetrul rombului este egal cu $100$ cm, iar distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este egală cu $24$ cm. Aria suprafeței triunghiului $AOB$ este egală cu:

a) $2400{\text{cm}}^2$ b) $600{\text{cm}}^2$ c) $300{\text{cm}}^2$ d) $150{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și punctele $A$ și $B$ care aparțin acestui cerc. Lungimea segmentului $AB$ este de $8$ cm și distanța de la centrul cercului la dreapta $AB$ este de $3$ cm. Lungimea acestui cerc este egală cu:

a) $25\pi$ cm b) $10\pi$ cm c) $8\pi$ cm d) $5\pi$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ care are dimensiunile: $AB=2\sqrt{2}$ cm, $BC=3\sqrt{3}$ cm și $AE=5$ cm. Afirmația „Patrulaterul $ACGE$ este pătrat." este:

a) adevărată b) falsă

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Bunica Mariei are în ograda sa iepuri, găini și rațe. În total, în ogradă sunt $69$ de animale care au $198$ de picioare. Numărul găinilor este cu $11$ mai mare decât al rațelor. a) (2 p) Pot fi în ograda bunicii Mariei $35$ de iepuri? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul găinilor din ograda bunicii Mariei.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele: $a=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$ și $b={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\cdot \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. a) (2 p) Arată că $a=\frac{5}{6}$. b) (3 p) Arată că numărul $N=2a-5b$ este natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. a) (2 p) Arată că: $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(2\cdot \frac{1}{2}\right)$.

b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Punctul $C$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$ astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Calculează suma distanțelor de la punctul $C$ la axele de coordonate.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB\equiv AC$, $BC=20$ cm, punctul $G$ reprezintă centrul de greutate al triunghiului $ABC$, punctul $T$ este mijlocul segmentului $BC$ și $GT=8$ cm. Punctul $S$ este simetricul punctului $G$ față de mijlocul segmentului $AC$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $72$ cm. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $S$ la dreapta $CG$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$ cu $AB=8$ cm, $BC=20$ cm, $CD=25$ cm, $AD=4$ cm și $BD=10$ cm.

a) (2 p) Arată că raportul dintre sinusul unghiului $ADB$ și sinusul unghiului $ABD$ este egal cu $2$. b) (3 p) Demonstrează că semidreapta $DB$ este bisectoarea unghiului $ADC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu baza triunghiul $ABC$, $AB=6$ cm, $VA=10$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $VC$.

a) (2 p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $9\sqrt{91}{\text{cm}}^2$. b) (3 p) Determină lungimea proiecției segmentului $MN$ pe planul $(VAB)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Numerele de ordinul zecilor cu cifre identice sunt $11,22,33,\dots ,99$; cele pare sunt $22,44,66,88$, iar cel mai mic este $22$.
2. b) $\frac{3}{4}\cdot 1600=1200$.
3. a) Alina: $-3+(-4)=-7$; Mihai: $-3+4=1$; Daria: $-(-3)+4=7$; Vlad: $3-4=-1$. Cel mai mic este $-7$, obținut de Alina.
4. a) Scăzând cele două relații, $3$ caiete de matematică costă $15-11,4=3,6$ lei, deci un caiet costă $3,6:3=1,2$ lei.
5. d) $\sqrt{7}\approx 2,6458$, deci $2\sqrt{7}\approx 5,29$, număr aflat în intervalul $(5,6)$.
6. b) Caișii reprezintă $100\%-20\%-45\%=35\%$ din $300$, adică $105$ pomi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Notând $AC=CE=x$ și $BC=CD=y$ (din cele două condiții de mijloc), $DE=AC-BC$... mai simplu: $DE=CE-CD=x-y$ și $AC-CD=x-y$, deci $AC-CD=DE$.
2. a) Din formula unghiului format de bisectoare, $m(\angle BIC)=90^{\circ }+\frac{m(\angle A)}{2}$, deci $120^{\circ }=90^{\circ }+\frac{m(\angle A)}{2}$, de unde $m(\angle A)=60^{\circ }$; cum $AI$ este bisectoarea unghiului $A$, $m(\angle BAI)=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.
3. c) Triunghiul $MNP$ (cu $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor) are perimetrul jumătate din perimetrul $ABC$; triunghiul $QRT$ (cu $Q$, $R$, $T$ mijloacele laturilor lui $MNP$) are, la rândul lui, perimetrul jumătate din perimetrul $MNP$, deci $\frac{1}{4}$ din perimetrul $ABC$.
4. d) Perimetrul rombului este $100$ cm, deci latura este $25$ cm; aria rombului este $\text{latura˘}\times \text{ıˆna˘lțime}=25\cdot 24=600{\text{cm}}^2$; diagonalele împart rombul în $4$ triunghiuri congruente, deci aria triunghiului $AOB$ este $600:4=150{\text{cm}}^2$.
5. b) Raza cercului este $\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm (jumătate din coardă și distanța la centru formează un triunghi dreptunghic), deci lungimea cercului este $2\pi \cdot 5=10\pi$ cm.
6. b) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{8+27}=\sqrt{35}$ cm, diferit de $AE=5=\sqrt{25}$ cm, deci $ACGE$ este dreptunghi, dar nu pătrat: afirmația este falsă.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $i$, $g$, $r$ numărul de iepuri, găini, respectiv rațe. Presupunând $i=35$, din ecuația picioarelor $4\cdot 35+2(g+r)=198$ obținem $g+r=29$ (1 p). Cum $35+29=64\ne 69$ (numărul total de animale), rezultă că nu pot fi $35$ de iepuri în ograda bunicii Mariei (1 p). b) (3 p) Din $g=r+11$ rezultă $r=g-11$, iar din $i+g+r=69$ obținem $i=69-g-(g-11)=80-2g$, adică $i+2g=80$ (1 p). Înlocuind $r=g-11$ în ecuația picioarelor $4i+2(g+r)=198$, obținem $4i+2(2g-11)=198$, adică $4i+4g=220$, deci $i+g=55$ (1 p). Scăzând cele două relații, $(i+2g)-(i+g)=80-55$, deci $g=25$: bunica Mariei are $25$ de găini (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{4}{3}$ (1 p). $a=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=-\frac{3}{6}+\frac{8}{6}=\frac{5}{6}$ (1 p). b) (3 p) $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3-4}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$, deci ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{12}$ (1 p). $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-1^2=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$, deci $b=\frac{1}{12}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}$ (1 p). $N=2a-5b=2\cdot \frac{5}{6}-5\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=0$, număr natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(2)=2\cdot 2-3=1$ și $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-3=-2$, deci $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1+(-2)=-1$ (1 p). $f\left(2\cdot \frac{1}{2}\right)=f(1)=2\cdot 1-3=-1$, deci egalitatea este adevărată (1 p). b) (3 p) $A\left(\frac{3}{2},0\right)$ și $B(0,-3)$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ (1 p). Cum $A$ este mijlocul segmentului $BC$, $C=2A-B=\left(2\cdot \frac{3}{2}-0,2\cdot 0-(-3)\right)=(3,3)$ (se verifică $f(3)=2\cdot 3-3=3$) (1 p). Suma distanțelor de la $C$ la cele două axe este $|3|+|3|=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul isoscel $ABC$, $AT$ este mediană, deci și înălțime; punctul $G$ este centrul de greutate, deci $AT=3\cdot GT=3\cdot 8=24$ cm (1 p). Triunghiul $ATB$ este dreptunghic în $T$, cu $BT=10$ cm, deci $AB=\sqrt{A{T}^2+B{T}^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26$ cm, de unde perimetrul ${\mathcal{P}}_{ABC}=AB+AC+BC=26+26+20=72$ cm (1 p). b) (3 p) Alegem un reper cu $T$ originea și $BC$ pe axa $Ox$: $B(-10,0)$, $C(10,0)$, $A(0,24)$, $G(0,8)$ (pe $AT$, la distanța $GT=8$ de $T$) (1 p). Punctul $N$, mijlocul lui $AC$, are coordonatele $(5,12)$, iar $S$, simetricul lui $G$ față de $N$, are coordonatele $S=2N-G=(10,16)$ (1 p). Dreapta $CG$ (prin $C(10,0)$ și $G(0,8)$) are ecuația $4x+5y-40=0$; distanța de la $S(10,16)$ la această dreaptă este $d(S,CG)=\frac{|4\cdot 10+5\cdot 16-40|}{\sqrt{4^2+5^2}}=\frac{80}{\sqrt{41}}=\frac{80\sqrt{41}}{41}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $T$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BD$, cu $T\in BD$; atunci $\sin (\angle ADB)=\frac{AT}{AD}$ și $\sin (\angle ABD)=\frac{AT}{AB}$ (1 p). Raportul $\frac{\sin (\angle ADB)}{\sin (\angle ABD)}=\frac{AB}{AD}=\frac{8}{4}=2$ (1 p). b) (3 p) $\frac{DA}{DB}=\frac{4}{10}=0,4$, $\frac{AB}{BC}=\frac{8}{20}=0,4$ și $\frac{BD}{DC}=\frac{10}{25}=0,4$ (1 p). Cum cele trei rapoarte sunt egale, triunghiurile $DAB$ și $DBC$ sunt asemenea, cu corespondența $D\to D$, $A\to B$, $B\to C$, deci unghiurile situate în $D$ ale celor două triunghiuri sunt congruente: $\angle ADB=\angle BDC$ (1 p). Cum $\angle ADB=\angle BDC$, semidreapta $DB$ împarte unghiul $ADC$ în două unghiuri congruente, deci $DB$ este bisectoarea unghiului $ADC$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Fiind piramidă regulată, toate muchiile laterale sunt egale ($VA=VB=VC=10$ cm); apotema unei fețe laterale este înălțimea triunghiului isoscel cu baza $6$ cm și laturile $10$ cm: $VM=\sqrt{V{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{10^2-3^2}=\sqrt{91}$ cm (1 p). Aria unei fețe laterale este $\frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{6\sqrt{91}}{2}=3\sqrt{91}{\text{cm}}^2$, deci aria laterală totală (a celor $3$ fețe) este $3\cdot 3\sqrt{91}=9\sqrt{91}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) $M$ și $N$ fiind mijloacele laturilor $BC$, respectiv $VC$, segmentul $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VBC$, deci $MN\parallel VB$ (1 p). $MN=\frac{VB}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm (1 p). Cum $VB\subset (VAB)$ și $MN\parallel VB$, rezultă $MN\parallel (VAB)$, deci proiecția segmentului $MN$ pe planul $(VAB)$ are aceeași lungime ca $MN$, adică $5$ cm (1 p).

Testul 15 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE în anul școlar 2020-2021, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 15 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) în anul școlar 2020-2021. Este un test de antrenament oficial (nu proba efectivă susținută la examen), distribuit elevilor înainte de Evaluarea Națională, cu aceeași structură și același nivel de dificultate ca subiectele reale. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere naturale cu cifre identice, fracții și procente, calcul cu numere negative, sisteme de prețuri, radicali și intervale de numere reale, diagramă circulară cu procente; geometrie plană (puncte coliniare cu mijloace de segment, bisectoare într-un triunghi cu punctul de intersecție al bisectoarelor, linie mijlocie repetată într-un triunghi, romb cu arie de triunghi, cerc cu coardă și distanță la centru, paralelipiped dreptunghic cu diagonală de plan) și geometrie în spațiu (piramidă triunghiulară regulată cu arie laterală și proiecție pe un plan); algebră (problemă cu animale și sistem de ecuații, expresie numerică cu radicali), funcția liniară cu simetricul unui punct, triunghi isoscel cu centru de greutate și simetric, patrulater cu legea sinusurilor și bisectoare.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri ale unui triunghi cu vârful în punctul de intersecție al bisectoarelor este $90^{\circ }+\frac{A}{2}$; centrul de greutate al unui triunghi împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ față de vârf; într-un triunghi dreptunghic lungimea catetei opuse unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză; proiecția unui segment paralel cu un plan, pe acel plan, are aceeași lungime ca segmentul.