Examenul oficial — Sesiunea specială Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2^5$ este egal cu: a) $10$ b) $16$ c) $25$ d) $32$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{2}=1,5$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $2,10$ b) $3$ c) $3,10$ d) $0,75$

Exercițiul 3 · 5 puncte Opusul numărului $5$ este egal cu: a) $-5$ b) $-\frac{1}{5}$ c) $\frac{1}{5}$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $0,123$; $0,1(23)$; $0,12(3)$ și $0,(123)$, cel mai mare este: a) $0,123$ b) $0,(123)$ c) $0,1(23)$ d) $0,12(3)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Laura, Petru, Tudor și Sofia, au calculat numărul $\sqrt{10^2-6^2}$ și rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de: a) Laura b) Petru c) Tudor d) Sofia

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră intervalul $I=[-3,5)$. Andrei afirmă că: „Intervalul $I$ conține $5$ numere naturale.”. Afirmația lui Andrei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$. Știind că $AB=2$ cm, $BC=4$ cm și $CD=1$ cm, lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $5$ cm c) $6$ cm d) $7$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $E$ sunt coliniare și unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOE$ sunt congruente. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $ON$ este bisectoarea unghiului $DOE$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $135^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$. Punctul $O$, din interiorul triunghiului, se află la distanțe egale cu $4$ cm de fiecare dintre cele trei vârfuri ale triunghiului. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $D$ este simetricul punctului $O$ față de punctul $M$. Lungimea segmentului $OD$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $6$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$. Diagonala $AC$ este perpendiculară pe latura $BC$, $AB=18$ cm, iar măsura unghiului $ADC$ este egală cu $120^{\circ }$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $9$ cm c) $6\sqrt{3}$ cm d) $9\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc cu raza de $6$ cm, astfel încât punctele $A$ și $D$ sunt diametral opuse și arcele $AB$, $BC$ și $CD$ sunt congruente. Aria triunghiului $ABD$ este egală cu:

a) $6\sqrt{3}$ cm² b) $12\sqrt{3}$ cm² c) $18\sqrt{3}$ cm² d) $36\sqrt{3}$ cm²

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu muchia laterală $VA$ de $5$ dm și muchia bazei $AB$ de $6$ dm. Toate fețele laterale ale piramidei se vopsesc. Aria suprafeței vopsite este egală cu:

a) $12$ dm² b) $36$ dm² c) $48$ dm² d) $84$ dm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Ioana cumpără $3$ kg de mere și $2$ kg de portocale și plătește $19$ lei. Maria cumpără $2$ kg de mere și $3$ kg de portocale, de aceeași calitate, pentru care plătește $21$ de lei. a) (2 p) Cu $71$ de lei poate cumpăra Mihai $10$ kg de mere și $10$ kg de portocale, de aceeași calitate cu cele cumpărate de Ioana și Maria? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină cât a plătit Ioana pe un kilogram de mere.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)={\left(\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{3}+\frac{5}{2}\right)}^2-x\left(\frac{x}{3}+1\right)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=-2x-6$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numerele naturale $a$ pentru care $E(a)>-10$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{2}$. a) (2 p) Arată că $f(1)+\sqrt{2}=1$. b) (3 p) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției $f$ și de axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate pătratele $ABMN$ și $BCEF$, cu $AB=3$ cm și $BC=2\cdot AB$. Punctul $B$ aparține segmentului $AC$.

a) (2 p) Arată că perimetrul pătratului $BCEF$ este egal cu $24$ cm. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $AF$ și $CM$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=6\sqrt{3}$ cm și $BC=3\sqrt{6}$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $E$ aparține diagonalei $BD$ și $DE=3\sqrt{2}$ cm.

a) (2 p) Arată că $BD=9\sqrt{2}$ cm. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $AE$ și $CM$ sunt paralele.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ este punctul $O$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

a) (2 p) Arată că $AO=3\sqrt{6}$ cm. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $2^5=32$.
2. b) $\frac{a}{2}=1,5\Rightarrow a=1,5\cdot 2=3$.
3. a) Opusul lui $5$ este $-5$.
4. d) Comparând scrierile zecimale $0,12300\dots$ (a), $0,12312\dots$ (b), $0,12323\dots$ (c) și $0,12333\dots$ (d), cel mai mare este $0,12(3)=0,12333\dots$
5. d) $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$, rezultatul obținut de Sofia.
6. a) Numerele naturale din $[-3,5)$ sunt $0,1,2,3,4$ — exact $5$ numere, deci afirmația lui Andrei este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AD=AB+BC+CD=2+4+1=7$ cm.
2. d) Cum $A$, $O$, $E$ sunt coliniare și unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOE$ sunt congruente, fiecare are măsura $180^{\circ }:4=45^{\circ }$. $OM$ fiind bisectoarea unghiului $AOB$, $m(\angle MOB)=22,5^{\circ }$; $ON$ fiind bisectoarea unghiului $DOE$, $m(\angle DON)=22,5^{\circ }$. $m(\angle MON)=22,5^{\circ }+45^{\circ }+45^{\circ }+22,5^{\circ }=135^{\circ }$.
3. b) Într-un triunghi echilateral cu latura $\ell$, raza cercului circumscris este $R=\frac{\ell }{\sqrt{3}}$, iar distanța de la centru la mijlocul unei laturi (apotema) este $\frac{R}{2}$. Cu $R=OA=OB=OC=4$ cm, obținem $OM=2$ cm. Cum $D$ este simetricul lui $O$ față de $M$, $OD=2\cdot OM=4$ cm.
4. b) Din trapezul isoscel cu $m(\angle ADC)=120^{\circ }$ rezultă $m(\angle DAB)=m(\angle ABC)=60^{\circ }$ (unghiuri de bază egale, suplementare cu $\angle ADC$ prin paralelism). Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ (căci $AC\perp BC$), cu $m(\angle ABC)=60^{\circ }$ și ipotenuza $AB=18$ cm, deci $BC=AB\cdot \cos 60^{\circ }=18\cdot 0,5=9$ cm.
5. c) $AD=2\cdot 6=12$ cm este diametru, deci $m(\angle ABD)=90^{\circ }$ (unghi înscris ce subîntinde diametrul). Arcul $AB=60^{\circ }$ (treimea arcului semicercului $ABD$), deci $m(\angle ADB)=30^{\circ }$ (unghi înscris, jumătate din arcul $AB$) și $m(\angle BAD)=60^{\circ }$. Atunci $AB=AD\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot 0,5=6$ cm și $BD=AD\cdot \sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm. Aria $△ABD=\frac{AB\cdot BD}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$ cm².
6. c) Fiecare față laterală este triunghiul isoscel $VAB$, cu $VA=VB=5$ dm și $AB=6$ dm; înălțimea din $V$ pe $AB$ este $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ dm, deci aria unei fețe este $\frac{6\cdot 4}{2}=12$ dm², iar aria laterală (cele $4$ fețe) este $4\cdot 12=48$ dm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Adunând cele două cumpărături, $5$ kg de mere și $5$ kg de portocale costă $19+21=40$ de lei (1 p). Atunci $10$ kg de mere și $10$ kg de portocale (dublul cantității) costă $2\cdot 40=80$ de lei și, cum $71<80$, rezultă că Mihai nu poate cumpăra $10$ kg de mere și $10$ kg de portocale cu $71$ de lei (1 p). b) (3 p) Notând cu $x$ prețul unui kilogram de mere și cu $y$ prețul unui kilogram de portocale, obținem sistemul $3x+2y=19$, $2x+3y=21$ (1 p). Înmulțind prima ecuație cu $3$ și a doua cu $2$ și scăzând, obținem $5x=15$ (1 p), deci $x=3$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=\left(\frac{4x^2}{9}+\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{x^2}{9}+\frac{5x}{3}+\frac{25}{4}\right)-\left(\frac{x^2}{3}+x\right)$ (1 p) $=-2x-6$, pentru orice număr real $x$ (coeficientul lui $x^2$ este $\frac{4}{9}-\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=0$, coeficientul lui $x$ este $\frac{2}{3}-\frac{5}{3}-1=-2$, iar termenul liber este $\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=-6$) (1 p). b) (3 p) $E(a)>-10\iff -2a-6>-10$ (1 p) $\iff -2a>-4\iff a<2$ (1 p). Cum $a$ este număr natural, obținem $a=0$ sau $a=1$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=1-\sqrt{2}$ (1 p), deci $f(1)+\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})+\sqrt{2}=1$ (1 p). b) (3 p) $A(\sqrt{2},0)$ este punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ (din $f(x)=0\Rightarrow x=\sqrt{2}$) (1 p). $B(0,-\sqrt{2})$ este punctul de intersecție cu axa $Oy$ (din $f(0)=-\sqrt{2}$) (1 p). Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=OB=\sqrt{2}$, deci aria triunghiului este $\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=1$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $BC=2\cdot AB=2\cdot 3=6$ cm (1 p), deci perimetrul pătratului $BCEF$ este $4\cdot BC=4\cdot 6=24$ cm (1 p). b) (3 p) $FB\perp AC$ (latură a pătratului $BCEF$, perpendiculară pe $AC$ în $B$), deci $FB$ este înălțime în triunghiul $AFC$ (1 p). $m(\angle MAB)=m(\angle EBC)=45^{\circ }$ (diagonale ale pătratelor), de unde $AM\parallel BE$; cum $BE\perp CF$, obținem $AM\perp CF$, deci $AM$ este cealaltă înălțime a triunghiului $AFC$ (1 p). Înălțimile triunghiului $AFC$ se intersectează în punctul $M$ (ortocentrul), deci $CM\perp AF$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$, deci $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$ (unde $AD=BC=3\sqrt{6}$) (1 p) $=108+54=162$, deci $BD=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $F=CM\cap BD$. Din $MB\parallel DC$ rezultă $△FBM\sim △FDC$, cu raportul $\frac{MB}{DC}=\frac{1}{2}$, deci $\frac{FB}{FD}=\frac{1}{2}$, de unde $FB=\frac{1}{3}\cdot BD=3\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $BE=BD-DE=6\sqrt{2}$ cm și $EF=BE-BF=3\sqrt{2}$ cm, obținem $EF=FB$, deci $F$ este mijlocul segmentului $BE$ (1 p). $FM$ este linie mijlocie în triunghiul $ABE$, de unde $FM\parallel AE$, deci $CM\parallel AE$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $A{B}^{\prime }=AC=B^{\prime }C=6\sqrt{2}$ cm (diagonale ale fețelor cubului), deci triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral (1 p). Punctul $O$ este mijlocul segmentului $B^{\prime }C$, deci $AO$ este înălțimea triunghiului echilateral $A{B}^{\prime }C$: $AO=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$ cm (1 p). b) (3 p) $AB\perp BC$ și $AB\perp B{B}^{\prime }$ (muchii ale cubului perpendiculare în $B$), deci $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, de unde $AB\perp B^{\prime }C$; cum și $AO\perp B^{\prime }C$ (înălțime în triunghiul echilateral $A{B}^{\prime }C$), rezultă că planul $(ABO)$ — care conține și pe $M$, mijlocul lui $AB$ — este perpendicular pe dreapta $B^{\prime }C$ (1 p). Fie $E\in AO$ cu $ME\perp AO$; atunci $ME\perp B^{\prime }C$ (fiind conținut în planul $(ABO)\perp B^{\prime }C$) și $ME\perp AO$, deci $ME\perp (A{B}^{\prime }C)$, adică distanța de la $M$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este $ME$. Aria triunghiului $ABO$ (cu $AB=6$ cm, $AO=3\sqrt{6}$ cm) este $9\sqrt{2}$ cm²; cum $M$ este mijlocul lui $AB$, aria triunghiului $AMO$ este jumătate: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ cm² (1 p). Din $\text{Aria}(AMO)=\frac{AO\cdot ME}{2}$ obținem $ME=\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\sqrt{3}$ cm (1 p).

Examen oficial, sesiunea specială a Evaluării Naționale, Varianta 4, anul școlar 2020 – 2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, destinat candidaților cu rezultate anulate sau aflați în situații speciale, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL (nu o simulare) la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 4, din sesiunea specială a anului școlar 2020 – 2021, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE). Sesiunea specială este organizată separat de sesiunea principală (susținută în iunie 2021, Varianta 3, deja prezentă pe site ca simulare-en-91) și de sesiunea de rezervă (Varianta 2, deja prezentă pe site ca simulare-en-120) — este destinată candidaților ale căror rezultate la o probă au fost anulate (de exemplu în urma unei fraude constatate) sau care se află în alte situații speciale reglementate de metodologia Evaluării Naționale. Subiectele sunt diferite de cele din sesiunea principală și din sesiunea de rezervă, dar au aceeași structură și dificultate. Acest test este un document distinct, cu enunțuri și barem proprii. Este o sursă publică, oficială (documentele oficiale publicate pe edupedu.ro), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: puteri, procente/rapoarte, opusul unui număr, fracții zecimale periodice, radicali, intervale de numere naturale; geometrie plană (puncte coliniare, unghiuri adiacente cu bisectoare, triunghi echilateral cu punct izogon, trapez isoscel cu diagonală perpendiculară, cerc cu arce congruente) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată); algebră (problemă cu preț pe kilogram rezolvată printr-un sistem de ecuații, expresie algebrică cu paranteze și inecuație), funcția liniară cu radical și arie de triunghi, pătrate alăturate cu drepte perpendiculare, dreptunghi cu diagonală și drepte paralele, cub cu distanță de la un punct la un plan.

Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: un triunghi isoscel cu un unghi de bază de $60^{\circ }$ este echilateral; unghiul înscris în semicerc (ce subîntinde diametrul) este drept; distanța de la un punct la un plan poate fi calculată folosind aria unui triunghi în două moduri.