Testul oficial de pregătire nr. 1 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cel mai mic multiplu comun al numerelor $2$ și $5$ este egal cu: a) $2$ b) $7$ c) $10$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Valoarea numărului $x$ din proporția $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$ este egală cu: a) $4$ b) $12$ c) $15$ d) $60$

Exercițiul 3 · 5 puncte Duminică, temperatura măsurată la ora $10$, la o stație meteo de pe vârful Omu, a fost de $-17^{\circ }$C, în timp ce temperatura măsurată la aceeași oră în Baia Mare a fost de $4^{\circ }$C. Temperatura înregistrată duminică la ora $10$ în Baia Mare este mai mare decât temperatura înregistrată în același timp pe vârful Omu cu: a) $-21^{\circ }$C b) $-13^{\circ }$C c) $13^{\circ }$C d) $21^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine descrescătoare este: a) $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{13}{24},\frac{2}{3}$ b) $\frac{13}{24},\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$ c) $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{13}{24},\frac{1}{2}$ d) $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{13}{24}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ana, Cristian, George și Lia, au calculat produsul numerelor $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$ și $\sqrt{20}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect a fost: a) Ana b) Cristian c) George d) Lia

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este reprezentat numărul de bilete vândute pentru două filme care au rulat la un cinematograf într-o zi de duminică, în funcție de ora începerii.

Ana afirmă că: „Cel mai mare număr de bilete vândute este pentru filmele cu ora de început $21:30$”. Afirmația Anei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura următoare sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $M$, $C$ și $D$, în această ordine. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$, punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, iar segmentele $AB$ și $CD$ sunt congruente. Dacă $BM=2,5$ cm, atunci segmentul $AC$ are lungimea egală cu:

a) $2,5$ cm b) $5$ cm c) $7,5$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura următoare, punctele $C$ și $D$ sunt situate în interiorul unghiului $AOB$, astfel încât semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOD$, iar fiecare dintre unghiurile $AOC$ și $BOD$ are măsura de $26^{\circ }$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

a) $26^{\circ }$ b) $39^{\circ }$ c) $52^{\circ }$ d) $78^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte La cercul de robotică, Radu a creat un roboțel care se poate deplasa parcurgând drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă. Terenul de verificare, reprezentat în figura următoare, are forma unui triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=40$ dm și $\angle B=30^{\circ }$. Roboțelul pornește din punctul $A$ către dreapta $BC$, pe care o întâlnește în punctul $M$, după care se deplasează spre dreapta $AB$, pe care o intersectează în punctul $N$. Lungimea segmentului $AN$ este egală cu:

a) $20$ dm b) $15$ dm c) $10$ dm d) $5$ dm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura următoare, $M$ este un punct în interiorul pătratului $ABCD$, astfel încât măsura unghiului $DAM$ este egală cu $30^{\circ }$ și $AM=CD$. Măsura unghiului $ADM$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $75^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât triunghiul $ABC$ este echilateral și $BD$ este diametru. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte O cutie plină cu suc de caise are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AE=20$ cm, $AB=12$ cm și $AD=5$ cm. Tot sucul din cutie se toarnă în pahare de $200$ ml. Numărul paharelor umplute cu sucul de caise din cutie este egal cu:

a) $5$ b) $6$ c) $12$ d) $20$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La un magazin s-au vândut într-o zi $500$ kg de cireșe și de mere. Suma obținută prin vânzarea acestora este de $4620$ de lei. Un kilogram de cireșe costă $15$ lei, iar un kilogram de mere costă $7$ lei. a) (2 p) Este posibil ca suma obținută din vânzarea cireșelor să fie egală cu suma obținută din vânzarea merelor? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Câte kilograme de mere s-au vândut în ziua aceea la magazin?

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(4x+3{)}^2+(2x-4)(4x+3)+(x-2{)}^2$, unde $x\in \mathbb{R}$. a) (2 p) Verifică dacă $E(-3)$ este pătratul unui număr natural. b) (3 p) Determină numărul natural $n$ pentru care $\sqrt{E(n)}\le 3$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\sqrt{144}+2\sqrt{18}-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$ și $y={\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{72}+{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2-7$. a) (2 p) Arată că $x=9+6\sqrt{2}$. b) (3 p) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12$ cm, $BC=CD=8$ cm, iar unghiul $A$ are măsura egală cu $90^{\circ }$.

a) (2 p) Arată că $AD=4\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $ABM$, unde $\{M\}=AD\cap BC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura următoare este reprezentată o placă de gresie de forma unui dreptunghi $ABCD$ cu $AB=60$ cm și $BC=40$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe segmentul $DC$ astfel încât $DN=MN=MC$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BN$.

a) (2 p) Arată că perimetrul patrulaterului $ABMN$ este egal cu $40\left(2+\sqrt{5}\right)$ cm. b) (3 p) Determină raportul dintre aria dreptunghiului $ABCD$ și suma ariilor patrulaterelor $ADNO$ și $BCMO$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=8$ cm și înălțimea $VO=4\sqrt{2}$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VB$, respectiv $CV$.

a) (2 p) Arată că $VB=8$ cm. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $VM$ și $BC$ sunt perpendiculare, unde $\{M\}=AP\cap DQ$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $\text{cmmmc}(2,5)=10$.
2. b) Din $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$ rezultă $x=\frac{15\cdot 4}{5}=12$.
3. d) Diferența este $4-(-17)=21^{\circ }$C.
4. c) $\frac{3}{4}=0,75$; $\frac{2}{3}\approx 0,667$; $\frac{13}{24}\approx 0,542$; $\frac{1}{2}=0,5$, deci ordinea descrescătoare este $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{13}{24},\frac{1}{2}$.
5. b) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{2\cdot 5\cdot 8\cdot 20}=\sqrt{1600}=40$, rezultat obținut de Cristian.
6. a) Totalul biletelor pe fiecare oră este: $41,142,174,102,70,178$; cel mai mare total ($178$) este la ora $21:30$, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notând $AB=CD=k$, din $B$ mijlocul lui $AC$ rezultă $AC=2k$, iar din $M$ mijlocul lui $AD$ (cu $AD=3k$) rezultă $AM=1,5k$, deci $BM=AM-AB=0,5k=2,5$ cm, adică $k=5$ cm și $AC=2k=10$ cm.
2. c) $OC$ fiind bisectoarea unghiului $AOD$, $m(\angle COD)=m(\angle AOC)=26^{\circ }$, deci $m(\angle BOC)=m(\angle BOD)+m(\angle DOC)=26^{\circ }+26^{\circ }=52^{\circ }$.
3. c) $AM$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$, cu $AC=\frac{40\sqrt{3}}{3}$ dm și $BC=\frac{80\sqrt{3}}{3}$ dm, de unde $AM=\frac{AB\cdot AC}{BC}=20$ dm; folosind coordonate cu $A$ originea și $AB$ pe axă, punctul $M$ are abscisa $10$, deci $N$ (piciorul perpendicularei din $M$ pe $AB$) satisface $AN=10$ dm.
4. c) Triunghiul $ADM$ este isoscel cu $AD=AM$ și unghiul de la vârf $m(\angle DAM)=30^{\circ }$, deci $m(\angle ADM)=m(\angle AMD)=\frac{180^{\circ }-30^{\circ }}{2}=75^{\circ }$.
5. a) $BD$ fiind diametru, $m(\angle BCD)=90^{\circ }$; cum triunghiul $ABC$ este echilateral, $m(\angle ACB)=60^{\circ }$, iar folosind poziția lui $D$ pe cerc (coordonate: $A(0,1)$, $B(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$, $C(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$, $D(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$), rezultă $m(\angle ACD)=30^{\circ }$.
6. b) Volumul cutiei este $V=AB\cdot AD\cdot AE=12\cdot 5\cdot 20=1200{\text{ cm}}^3=1200\text{ ml}$, deci numărul paharelor este $1200:200=6$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă suma din vânzarea cireșelor ar fi egală cu cea din vânzarea merelor, fiecare sumă ar fi $4620:2=2310$ lei (1 p). Cantitatea de cireșe ar fi $2310:15=154$ kg, iar cea de mere ar fi $2310:7=330$ kg; cum $154+330=484\ne 500$, deducem că nu este posibil ca suma obținută din vânzarea cireșelor să fie egală cu suma obținută din vânzarea merelor (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul kilogramelor de mere vândute, deci numărul kilogramelor de cireșe vândute este $500-x$; ecuația devine $15(500-x)+7x=4620$ (1 p), adică $7500-8x=4620$ (1 p), de unde $x=360$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(4x+3{)}^2+(2x-4)(4x+3)+(x-2{)}^2=16x^2+24x+9+8x^2-10x-12+x^2-4x+4=25x^2+10x+1=(5x+1{)}^2$ (1 p). $E(-3)=(5\cdot (-3)+1{)}^2=(-14{)}^2=196=14^2$, deci este pătratul numărului natural $14$ (1 p). b) (3 p) $\sqrt{E(n)}=\sqrt{(5n+1{)}^2}=|5n+1|=5n+1$, pentru $n$ număr natural (1 p). Din $5n+1\le 3$ rezultă $5n\le 2$ (1 p), deci $n\le \frac{2}{5}$, iar cum $n$ este număr natural, rezultă $n=0$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\sqrt{144}=12$, $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ și ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$ (1 p), deci $x=12+6\sqrt{2}-3=9+6\sqrt{2}$ (1 p). b) (3 p) ${\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2=2\left(5+3\right)=16$ (termenii cu radical se anulează reciproc) (1 p), deci $y=16-\sqrt{72}-7=16-6\sqrt{2}-7=9-6\sqrt{2}$ (1 p). Produsul $xy=(9+6\sqrt{2})(9-6\sqrt{2})=9^2-(6\sqrt{2}{)}^2=81-72=9$, care este număr natural (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Construim $CE\perp AB$, $E\in AB$; cum $\angle A=\angle D=\angle E=90^{\circ }$, rezultă că $AECD$ este dreptunghi, deci $AE=CD=8$ cm, de unde $EB=AB-AE=12-8=4$ cm (1 p). Triunghiul $CEB$ este dreptunghic în $E$, cu $CB=8$ cm și $EB=4$ cm, deci $CE=\sqrt{C{B}^2-E{B}^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$ cm, iar cum $AD=CE$, obținem $AD=4\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) $CD\parallel AB$, deci $△MDC\sim △MAB$, de unde $\frac{MD}{MA}=\frac{DC}{AB}=\frac{2}{3}$, adică $\frac{AD}{MA}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ (1 p). Din $AD=4\sqrt{3}$ cm rezultă $MA=3\cdot 4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ cm (1 p). Cum unghiul din $A$ este drept, ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{MA\cdot AB}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{2}=72\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $DC=AB=60$ cm, iar $DN=NM=MC=60:3=20$ cm (1 p). $AN=BM=\sqrt{A{D}^2+D{N}^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}$ cm, deci perimetrul $ABMN=AB+BM+MN+NA=60+20\sqrt{5}+20+20\sqrt{5}=80+40\sqrt{5}=40\left(2+\sqrt{5}\right)$ cm (1 p). b) (3 p) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=60\cdot 40=2400{\text{ cm}}^2$ (1 p). $△OMN\sim △OAB$, cu raportul $\frac{MN}{AB}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$, deci $\frac{d(O,MN)}{d(O,AB)}=\frac{1}{3}$; cum $d(O,MN)+d(O,AB)=40$ cm, rezultă $d(O,MN)=10$ cm și $d(O,AB)=30$ cm, de unde ${\mathcal{A}}_{OMN}=\frac{20\cdot 10}{2}=100{\text{ cm}}^2$ și ${\mathcal{A}}_{OAB}=\frac{60\cdot 30}{2}=900{\text{ cm}}^2$ (1 p). Suma ariilor $ADNO$ și $BCMO$ este $2400-100-900=1400{\text{ cm}}^2$, deci raportul căutat este $\frac{2400}{1400}=\frac{12}{7}$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $ABCD$ este pătrat cu latura $8$ cm, deci $OB=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $VOB$, $V{B}^2=V{O}^2+O{B}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2=32+32=64$, deci $VB=8$ cm (1 p). b) (3 p) $PQ$ este linie mijlocie în triunghiul $VBC$ ($P$ mijlocul lui $VB$, $Q$ mijlocul lui $CV$), deci $PQ\parallel BC$ și $PQ=\frac{BC}{2}$; cum $ABCD$ este pătrat, rezultă $PQ\parallel AD$ și $PQ=\frac{AD}{2}$ (1 p). Astfel $PQ$ este linie mijlocie și în triunghiul $MAD$ (unde $\{M\}=AP\cap DQ$), cu $P$ mijlocul lui $MA$ și $Q$ mijlocul lui $MD$; cum $Q$ este și mijlocul lui $CV$, diagonalele $VC$ și $MD$ ale patrulaterului $VMCD$ se înjumătățesc în $Q$, deci $VMCD$ este paralelogram (1 p). Rezultă $VM\parallel CD$, iar cum $CD\perp BC$ (unghi drept în pătratul $ABCD$), obținem $VM\perp BC$ (1 p).

Testul 1 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională, absolvenți clasa a VIII-a, anul școlar 2021–2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 1 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), pentru absolvenții clasei a VIII-a din anul școlar 2021–2022. Este o sursă publică, oficială (documentul oficial de pregătire CNPEE), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: cel mai mic multiplu comun, proporții, numere întregi (temperaturi), ordonarea fracțiilor, radicali (produsul a patru numere), citirea și interpretarea unui tabel de date; geometrie plană (puncte coliniare cu proprietăți de mijloc, unghiuri și bisectoare, triunghi dreptunghic cu proiecții, pătrat cu punct interior, cerc cu triunghi echilateral și diametru) și geometrie în spațiu (paralelipiped dreptunghic cu volum); algebră (problemă cu preț și cantitate, expresie algebrică redusă la pătrat perfect, radicali compuși), geometrie plană avansată (trapez dreptunghic cu triunghiuri asemenea, dreptunghi cu rapoarte de arii) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră cu linie mijlocie și perpendicularitate).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: cel mai mic multiplu comun al lui $2$ și $5$ este $10$; unghiurile în care o semidreaptă este bisectoare se împart în două părți egale; unghiul înscris într-un semicerc (subîntins de diametru) are măsura de $90^{\circ }$; într-un triunghi asemenea corespunzător, raportul laturilor omoloage este constant.