Testul oficial de pregătire nr. 2 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Câtul împărțirii cu rest a numărului natural $35$ la numărul natural $15$ este egal cu: a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $\frac{1}{4}$ din $60$ este egal cu: a) $15$ b) $60$ c) $120$ d) $240$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi negative din intervalul $(-4;5]$ este egală cu: a) $9$ b) $5$ c) $-6$ d) $-10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este: a) $8,(5);8,55;\frac{17}{2};\frac{161}{20}$ b) $8,55;8,(5);\frac{161}{20};\frac{17}{2}$ c) $\frac{161}{20};8,(5);8,55;\frac{17}{2}$ d) $\frac{161}{20};\frac{17}{2};8,55;8,(5)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Aurel, Călin, Dragoș și Victor, calculează produsul numerelor reale $a=2\sqrt{7}-5$ și $b=2\sqrt{7}+5$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect produsul numerelor este: a) Dragoș b) Călin c) Aurel d) Victor

Exercițiul 6 · 5 puncte Un pieton se deplasează cu viteza de $6$ km pe oră. Afirmația: „Pietonul, păstrând constantă viteza de deplasare, a parcurs $10$ km în $60$ de minute.”, este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=2$ cm, $BD=7$ cm, $CD=4$ cm și $CE=9$ cm. Lungimea segmentului $AE$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $9$ cm c) $12$ cm d) $14$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt intersectate de secanta $d$, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de $55^{\circ }$ și respectiv $2x+35^{\circ }$. Valoarea lui $x$ este de:

a) $10^{\circ }$ b) $20^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $50^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ de bază $BC$. Unghiul $B$ are măsura de $75^{\circ }$ și $AB=4$ cm. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

a) $4$ cm² b) $4\sqrt{3}$ cm² c) $8$ cm² d) $16$ cm²

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu măsura unghiului $ABC$ de $120^{\circ }$ și lungimea segmentului $BD$ egală cu $4$ cm. Perimetrul triunghiului $ABD$ este egal cu:

a) $16$ cm b) $8\sqrt{3}$ cm c) $12$ cm d) $4\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază $BC$, înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $AOC$ este egală cu $140^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $80^{\circ }$ d) $140^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagonala paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4$ dm, $BC=3$ dm și înălțimea $A{A}^{\prime }=5$ dm, este egală cu:

a) $5$ dm b) $\sqrt{34}$ dm c) $\sqrt{41}$ dm d) $5\sqrt{2}$ dm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Ionel împarte pe rând numărul natural $n$ la $3$, $9$ respectiv $15$ și obține de fiecare dată restul $2$. a) (2 p) Este posibil ca numărul natural $n$ să fie egal cu $38$? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină cel mai mare număr natural $n$ de două cifre, care îndeplinește condițiile din enunț.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1{)}^2-4(2x^2+3x)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=2-12x$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numerele naturale $a$ pentru care $-10a+2-E(a)\le 2\sqrt{3}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$.

a) (2 p) Arată că $f\left(-\frac{1}{2}\right)-f\left(\frac{1}{2}\right)=-2$. b) (3 p) Calculează distanța de la originea $O(0,0)$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la reprezentarea grafică a funcției $f$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=4$ cm și $BC=3$ cm. Punctul $E$ este mijlocul segmentului $CD$ și $F$ este punctul de intersecție a dreptelor $BE$ și $AC$.

a) (2 p) Arată că $BE=\sqrt{13}$ cm. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $FP$, unde $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $DF$ și $BC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, în care $AC=8$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ se află pe latura $AB$ astfel încât $MB=2$ cm.

a) (2 p) Arată că $AM=4$ cm. b) (3 p) Arată că suma distanțelor de la punctele $A$ și $B$ la dreapta $CM$ este mai mare decât $\frac{16}{3}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=6$ cm. Înălțimea $VO$ a piramidei are lungimea egală cu $4$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

a) (2 p) Arată că aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu $60$ cm². b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $Q$ la planul $(VAD)$, unde $Q$ este mijlocul segmentului $OC$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $35=15\cdot 2+5$, deci câtul este $2$.
2. a) $\frac{1}{4}\cdot 60=15$.
3. c) Numerele întregi negative din $(-4;5]$ sunt $-3,-2,-1$, iar suma lor este $-6$.
4. d) $\frac{161}{20}=8,05$, $\frac{17}{2}=8,5$, $8,55$ și $8,(5)=8,555\dots$; cum $8,05<8,5<8,55<8,555\dots$, ordinea crescătoare este $\frac{161}{20};\frac{17}{2};8,55;8,(5)$.
5. b) $a\cdot b=\left(2\sqrt{7}-5\right)\left(2\sqrt{7}+5\right)={\left(2\sqrt{7}\right)}^2-5^2=28-25=3$, rezultat obținut de Călin.
6. b) Cu viteza de $6$ km/h, în $60$ de minute (o oră) pietonul parcurge $6$ km, nu $10$ km, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Din $AB=2$ cm și $BD=7$ cm rezultă $BC+CD=7$, iar cum $CD=4$ cm, $BC=3$ cm; din $CE=9$ cm rezultă $DE=CE-CD=5$ cm. Atunci $AE=AB+BC+CD+DE=2+3+4+5=14$ cm.
2. c) Unghiurile $2x+35^{\circ }$ și $55^{\circ }$ sunt interne, de aceeași parte a secantei $d$ față de paralelele $a$ și $b$, deci sunt suplementare: $(2x+35)+55=180\Rightarrow 2x=90\Rightarrow x=45^{\circ }$.
3. a) Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC=4$ cm și $m(\angle B)=m(\angle C)=75^{\circ }$, deci $m(\angle A)=180^{\circ }-2\cdot 75^{\circ }=30^{\circ }$. Aria este ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{4\cdot 4\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=\frac{16\cdot \frac{1}{2}}{2}=4$ cm².
4. c) Diagonala $BD$ bisectează unghiul $\angle ABC=120^{\circ }$ din vârfurile $B$ și $D$, deci $m(\angle ABD)=60^{\circ }$; cum unghiul din vârful $A$ al rombului rămâne întreg în triunghiul $ABD$ și este de $60^{\circ }$ (opus lui $\angle BCD=60^{\circ }$), triunghiul $ABD$ are toate unghiurile de $60^{\circ }$, deci este echilateral cu $AB=AD=BD=4$ cm. Perimetrul este $3\cdot 4=12$ cm.
5. a) Cum $AB=AC$ (triunghi isoscel de bază $BC$), arcele subîntinse de $AB$ și de $AC$ (care nu conțin al treilea vârf) sunt egale, deci arcul $AC$ (fără $B$) $=140^{\circ }=$ arcul $AB$ (fără $C$). Arcul $BC$ (fără $A$) $=360^{\circ }-140^{\circ }-140^{\circ }=80^{\circ }$, iar unghiul înscris $\angle BAC$ subîntinde acest arc, deci $m(\angle BAC)=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$.
6. d) Diagonala paralelipipedului dreptunghic se calculează direct din cele trei muchii perpendiculare cu vârf comun: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{4^2+3^2+5^2}=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ dm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Împărțind $38$ la $15$ obținem $38=15\cdot 2+8$ (1 p). Cum restul obținut este $8\ne 2$, deducem că nu este posibil ca numărul natural $n$ să fie egal cu $38$ (1 p). b) (3 p) Din enunț, $n=3c_1+2=9c_2+2=15c_3+2$ cu $c_1,c_2,c_3$ numere naturale, deci $n-2$ este multiplu comun al numerelor $3$, $9$ și $15$ (1 p). Cel mai mic multiplu comun al numerelor $3$, $9$ și $15$ este $45$, deci $n-2$ este multiplu de $45$ (1 p). Cel mai mare număr natural de două cifre de forma $n=45k+2$ este obținut pentru $k=2$: $n=92$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1{)}^2-4(2x^2+3x)=\left(4x^2+4x+1\right)+\left(4x^2-4x+1\right)-\left(8x^2+12x\right)$ (1 p) $=8x^2+2-8x^2-12x=2-12x$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(a)=2-12a$, deci $-10a+2-E(a)=-10a+2-(2-12a)=2a$ (1 p). Inecuația devine $2a\le 2\sqrt{3}\Rightarrow a\le \sqrt{3}$ (1 p). Cum $a$ este număr natural și $\sqrt{3}\approx 1,73$, obținem $a\in \{0,1\}$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+4=-1+4=3$, iar $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+4=1+4=5$ (1 p). Atunci $f\left(-\frac{1}{2}\right)-f\left(\frac{1}{2}\right)=3-5=-2$ (1 p). b) (3 p) Reprezentarea grafică a funcției $f$ intersectează axele în $A(-2,0)$ și $B(0,4)$ (1 p). Lungimea $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (1 p). Distanța de la $O$ la dreapta $AB$ este $d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{2\cdot 4}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Punctul $E$ este mijlocul segmentului $CD$, iar $CD=AB=4$ cm, deci $CE=2$ cm (1 p). Triunghiul $BCE$ este dreptunghic în $C$, deci $BE=\sqrt{B{C}^2+C{E}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ cm (1 p). b) (3 p) Diagonalele dreptunghiului $AC$ și $BD$ se înjumătățesc reciproc, deci dreapta $AC$ trece prin mijlocul lui $BD$; cum $BE$ este mediana din $B$ a triunghiului $BCD$ (E fiind mijlocul lui $CD$), rezultă că $F$, intersecția dreptelor $BE$ și $AC$, este centrul de greutate al triunghiului $BCD$ (1 p). Mediana din $D$ a triunghiului $BCD$ trece prin $F$ și prin mijlocul laturii $BC$, deci $P$ (intersecția dreptelor $DF$ și $BC$) este mijlocul lui $BC$, adică $CP=\frac{BC}{2}=1,5$ cm; triunghiul $DCP$ este dreptunghic în $C$, deci $DP=\sqrt{D{C}^2+C{P}^2}=\sqrt{16+2,25}=\sqrt{18,25}=\frac{\sqrt{73}}{2}$ cm (1 p). Cum $F$ este centrul de greutate, $DF:FP=2:1$, deci $FP=\frac{1}{3}\cdot DP=\frac{\sqrt{73}}{6}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$ cm (1 p). Atunci $AM=AB-MB=6-2=4$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $AMC$ este dreptunghic în $A$, deci $CM=\sqrt{A{C}^2+A{M}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ cm (1 p). Scriind aria triunghiului $ABC$ în două moduri, ${\mathcal{A}}_{ABC}={\mathcal{A}}_{AMC}+{\mathcal{A}}_{MBC}=\frac{CM}{2}\cdot \left(d(A,CM)+d(B,CM)\right)$, iar ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm², deci $d(A,CM)+d(B,CM)=\frac{48}{CM}=\frac{48}{4\sqrt{5}}$ (1 p). Cum $C{M}^2=80<81=9^2$, rezultă $CM<9$, deci $d(A,CM)+d(B,CM)=\frac{48}{CM}>\frac{48}{9}=\frac{16}{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Fie $M$ mijlocul segmentului $AD$; $OM=\frac{AB}{2}=3$ cm este apotema bazei, iar triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, deci $VM=\sqrt{O{M}^2+V{O}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ cm (apotema piramidei) (1 p). Aria laterală este ${\mathcal{A}}_l=4\cdot \frac{AB\cdot VM}{2}=4\cdot \frac{6\cdot 5}{2}=60$ cm² (1 p). b) (3 p) Fie $M$ mijlocul lui $AD$. Cum $AD\perp OM$ (apotema bazei) și $AD\perp VO$ (înălțimea piramidei), rezultă $AD\perp (VOM)$; cum $M\in AD$, dreapta $VM$ este conținută în planul $(VAD)$. Fie $S$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $VM$ (în planul $(VOM)$); atunci $OS\perp VM$, iar cum $OS\subset (VOM)$ și $AD\perp (VOM)$, rezultă și $OS\perp AD$. Fiind perpendiculară pe două drepte concurente ale planului $(VAD)$ ($VM$ și $AD$, concurente în $M$), rezultă $OS\perp (VAD)$, deci $d(O,(VAD))=OS$. Din triunghiul dreptunghic $VOM$, $OS=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}$ cm (1 p).

Punctul $A$ aparține planului $(VAD)$, deci $d(A,(VAD))=0$, iar $O$ este mijlocul diagonalei $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc reciproc). Cum distanța de la un punct al unei drepte la un plan fix variază liniar de-a lungul acelei drepte, din $d(A,(VAD))=0$ și $d(O,(VAD))=\frac{12}{5}$ cm ($O$ fiind mijlocul lui $AC$) rezultă $d(C,(VAD))=2\cdot d(O,(VAD))=\frac{24}{5}$ cm (1 p).

Punctul $Q$, mijlocul lui $OC$, se află pe dreapta $AC$ la $\frac{3}{4}$ din lungimea $AC$ măsurată de la $A$ (deoarece $AQ=AO+OQ=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{4}AC=\frac{3}{4}AC$); prin liniaritatea distanței la plan de-a lungul dreptei $AC$ (cu $d(A,(VAD))=0$), rezultă $d(Q,(VAD))=\frac{3}{4}\cdot d(C,(VAD))=\frac{3}{4}\cdot \frac{24}{5}=\frac{18}{5}$ cm (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 2 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2021 – 2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 2 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2021 – 2022. Este o sursă publică, oficială (documentele oficiale de pregătire CNPEE), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: împărțirea cu rest, fracții din numere, numere întregi și intervale, compararea numerelor reale (fracții zecimale periodice, fracții ordinare, radicali), calcul cu radicali conjugați, viteză și unități de timp; geometrie plană (puncte coliniare cu lungimi de segmente, unghiuri formate de drepte paralele cu o secantă, triunghi isoscel cu arie, romb cu diagonală și perimetru, unghi la centrul cercului) și geometrie în spațiu (paralelipiped dreptunghic cu diagonală); algebră (divizibilitate cu rest, expresii algebrice cu paranteze și inecuații), funcția liniară cu distanța de la origine la grafic, dreptunghi cu drepte concurente și centru de greutate, triunghi dreptunghic cu distanțe la o dreaptă, piramidă patrulateră cu arie laterală și distanță de la punct la plan.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: câtul și restul unei împărțiri; numere întregi într-un interval; ordinea comparării fracțiilor zecimale, ordinarelor și radicalilor; produsul a doi radicali conjugați $\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)=a^2-b$; unghiurile interne de aceeași parte a secantei dintre două paralele sunt suplementare; diagonala unui romb bisectează unghiurile din vârfuri; unghiul la centrul cercului este egal cu măsura arcului subîntins.