Testul oficial de pregătire nr. 4 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Diferența dintre numărul $21$ și cel mai mic număr prim este egală cu: a) $18$ b) $19$ c) $20$ d) $21$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul natural nenul $x$ pentru care $\frac{1}{x}=1$ este egal cu: a) $-1$ b) $1$ c) $2$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor întregi din intervalul $(-3,4]$ este egală cu: a) $0$ b) $\frac{1}{2}$ c) $\frac{4}{7}$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Mulțimea valorilor naturale ale lui $x$ pentru care $\frac{6}{x+1}$ este număr natural este: a) $\{-7,-4,-3,-2,0,1,2\}$ b) $\{0,1,2,3,5\}$ c) $\{0,1,2,5\}$ d) $\{1,2,5\}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Andrei, Dina, Matei și Nora calculează diferența dintre cel mai mare și cel mai mic dintre numerele reale $x=7-4\sqrt{3}$ și $y=7+4\sqrt{3}$. Rezultatele obținute de ei sunt trecute în tabelul următor:

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect diferența este: a) Andrei b) Dina c) Matei d) Nora

Exercițiul 6 · 5 puncte Adrian are $150$ de lei, iar Bogdan are $100$ de lei. Adrian afirmă: „Dacă Bogdan mi-ar da jumătate din suma lui, atunci aș avea dublul sumei care i-ar rămâne lui Bogdan.” Afirmația lui Adrian este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte coliniare $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$, astfel încât punctul $C$ este și mijlocul segmentului $AE$ și mijlocul segmentului $BD$. Dacă $BC=2\cdot AB$, atunci numărul perechilor de segmente congruente, determinate de punctele date, este egal cu:

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A,O$ și $B$. Punctele $C,D$ și $E$ sunt situate de aceeași parte a dreptei $AB$, astfel încât semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $DOB$. Dreptele $OE$ și $OC$ sunt perpendiculare și măsura unghiului $DOE$ este de $50^{\circ }$. Măsura unghiului $AOE$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $40^{\circ }$ c) $50^{\circ }$ d) $100^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $AM=3$ cm. Măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$, iar dreptele $MN$ și $BC$ sunt perpendiculare. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm b) $1,5$ cm c) $\sqrt{3}$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez $ABCD$ cu suprafața de $424$ m². Dacă $EF$ este linia mijlocie a trapezului $ABCD$, atunci aria triunghiului $CEF$ este:

a) $53$ m² b) $106$ m² c) $207$ m² d) $212$ m²

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A,B,C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse, segmentele $AB$ și $CD$ sunt concurente, iar măsura unghiului $DOB$ este de $70^{\circ }$. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $110^{\circ }$ d) $180^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$. Dacă triunghiul $VBD$ este echilateral și $AB=\sqrt{2}$ dm, atunci suma lungimilor muchiilor laterale ale piramidei este egală cu:

a) $8$ dm b) $8\sqrt{2}$ dm c) $4\sqrt{2}$ dm d) $6$ dm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-un bloc de locuințe sunt $110$ camere, repartizate în $40$ de apartamente cu $2$, respectiv cu $3$ camere. a) (2 p) Este posibil ca numărul apartamentelor cu două camere din acel bloc să fie egal cu numărul apartamentelor cu trei camere? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul apartamentelor cu $2$ camere din acest bloc.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(-x+x^2{)}^2+4x^3$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(-1)=E(0)$. b) (3 p) Determină numărul natural nenul $n$, știind că $\frac{1}{\sqrt{E(1)}}+\frac{1}{\sqrt{E(2)}}+\frac{1}{\sqrt{E(3)}}+...+\frac{1}{\sqrt{E(n)}}=\frac{2021}{2022}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x$. a) (2 p) Calculează $\frac{f(0)-f(2)}{2}$. b) (3 p) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, determină distanța dintre punctul $C(-4,0)$ și mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ cm și $AD=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar punctul $N$ se află pe $BD$, astfel încât dreptele $MN$ și $BD$ sunt perpendiculare.

a) (2 p) Calculează perimetrul triunghiului $ABD$. b) (3 p) Arată că aria triunghiului $BCN$ este $16,32$ cm².

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$, cu $AB=8$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AC$, iar punctul $P$ se află pe latura $AB$, astfel încât dreptele $MP$ și $AB$ sunt perpendiculare.

a) (2 p) Arată că $BP=2$ cm. b) (3 p) Arată că lungimea segmentului $PN$ este mai mare decât $3\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm.

a) (2 p) Arată că volumul cubului este mai mare decât $0,2$ litri. b) (3 p) Calculează unghiul dintre dreapta $AQ$ și planul $(A^{\prime }BC)$, unde punctul $Q$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }D$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat.

Subiectul I (30 p)

1. b) Cel mai mic număr prim este $2$, deci $21-2=19$.
2. b) Din $\frac{1}{x}=1$ rezultă $x=1$.
3. d) Numerele întregi din $(-3,4]$ sunt $-2,-1,0,1,2,3,4$ (șapte numere), cu suma $7$, deci media aritmetică este $7:7=1$.
4. c) $\frac{6}{x+1}$ este număr natural dacă $x+1$ este divizor natural al lui $6$, deci $x+1\in \{1,2,3,6\}$, adică $x\in \{0,1,2,5\}$.
5. c) Cum $4\sqrt{3}\approx 6,93$, avem $x=7-4\sqrt{3}>0$ și $y=7+4\sqrt{3}>x$, deci diferența dintre cel mai mare și cel mai mic este $y-x=8\sqrt{3}$ — rezultatul obținut de Matei.
6. b) Dacă Bogdan i-ar da lui Adrian jumătate din suma lui ($50$ lei), Adrian ar avea $150+50=200$ lei, iar lui Bogdan i-ar rămâne $50$ lei; cum $200\ne 2\cdot 50$, afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notând $AB=a$, avem $BC=2a$; $C$ fiind mijlocul lui $AE$, $AC=CE=3a$; $C$ fiind mijlocul lui $BD$, $BC=CD=2a$. Poziționând punctele, obținem $AB=DE=a$, $BC=CD=2a$, $AC=CE=3a$ și $AD=BE=5a$ — patru perechi de segmente congruente.
2. c) $OC$ fiind bisectoarea unghiului $DOB$, notăm $m(\angle DOC)=m(\angle COB)=x$; din $OE\perp OC$ rezultă $m(\angle EOD)+m(\angle DOC)=90^{\circ }$, deci $50^{\circ }+x=90^{\circ }$, adică $x=40^{\circ }$. Atunci $m(\angle AOE)=180^{\circ }-(m(\angle EOD)+m(\angle DOC)+m(\angle COB))=180^{\circ }-(50^{\circ }+40^{\circ }+40^{\circ })=50^{\circ }$.
3. c) $M$ fiind mijlocul ipotenuzei $BC$ în triunghiul dreptunghic $ABC$, $AM=BM=CM=3$ cm, deci $BC=6$ cm. Cu $m(\angle C)=30^{\circ }$, rezultă $AC=BC\cos 30^{\circ }=3\sqrt{3}$ cm. Perpendiculara din $M$ pe $BC$ intersectează $AC$ în $N$; calculând cu triunghiuri asemenea (sau prin coordonate), se obține $MN=\sqrt{3}$ cm.
4. b) Notând $AB=b$, $DC=d$ bazele și $h$ înălțimea trapezului, aria trapezului este $\frac{(b+d)h}{2}=424$. Cum $E,F$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $AD$, triunghiul $CEF$ are baza $EF=\frac{b+d}{2}$ (linia mijlocie) și înălțimea $\frac{h}{2}$ (jumătate din înălțimea trapezului), deci aria sa este $\frac{1}{2}\cdot \frac{b+d}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(b+d)h}{8}=\frac{2\cdot 424}{8}=106$ m².
5. a) $AB$ fiind diametru, arcul $AB$ (de partea lui $D$) are $180^{\circ }$, deci arcul $AD=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$. Unghiul înscris $\angle ACD$ subîntinde arcul $AD$, deci $m(\angle ACD)=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }$.
6. a) Diagonala bazei este $BD=AB\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ dm; triunghiul $VBD$ fiind echilateral, $VB=VD=BD=2$ dm, iar piramida fiind regulată, toate muchiile laterale sunt egale: $VA=VB=VC=VD=2$ dm, deci suma lor este $4\cdot 2=8$ dm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă numărul apartamentelor cu $2$ camere ar fi egal cu numărul apartamentelor cu $3$ camere, atunci ar fi câte $20$ din fiecare (din totalul de $40$) (1 p). Numărul de camere ar fi $20\cdot 2+20\cdot 3=40+60=100\ne 110$, deci nu este posibil ca numărul apartamentelor cu două camere să fie egal cu numărul apartamentelor cu trei camere (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu $2$ camere și cu $y$ numărul apartamentelor cu $3$ camere; obținem sistemul $x+y=40$, $2x+3y=110$ (1 p). Din prima ecuație, $y=40-x$, deci $2x+3(40-x)=110$ (1 p), adică $-x+120=110$, de unde $x=10$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(-x+x^2{)}^2+4x^3=x^4-2x^3+x^2+4x^3=x^4+2x^3+x^2=(x^2+x{)}^2$ (1 p). Atunci $E(-1)=((-1{)}^2+(-1){)}^2=0$ și $E(0)=(0^2+0{)}^2=0$, deci $E(-1)=E(0)$ (1 p). b) (3 p) Pentru orice număr natural $n$, $E(n)=(n^2+n{)}^2=(n(n+1){)}^2$, deci $\sqrt{E(n)}=n(n+1)$ (1 p). Suma devine $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ (1 p). Din $\frac{n}{n+1}=\frac{2021}{2022}$ rezultă $n=2021$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2-0=2$ și $f(2)=2-2=0$ (1 p), deci $\frac{f(0)-f(2)}{2}=\frac{2-0}{2}=1$ (1 p). b) (3 p) Din $f(x)=0$ rezultă $x=2$, deci $A(2,0)$; iar $f(0)=2$, deci $B(0,2)$ (1 p). Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M(1,1)$ (1 p). Distanța dintre $C(-4,0)$ și $M(1,1)$ este $CM=\sqrt{(1-(-4){)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul $ABD$ dreptunghic în $A$, $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $ABD$ este $AB+AD+BD=8+6+10=24$ cm (1 p). b) (3 p) $M$ fiind mijlocul lui $CD$, $DM=4$ cm. Triunghiurile $DMN$ (dreptunghic în $N$, căci $MN\perp BD$) și $DCB$ (dreptunghic în $C$) au unghiul $D$ comun, deci $△DMN\sim △DCB$, cu raportul $k=\frac{DM}{DB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ (1 p). Rezultă $DN=k\cdot DC=\frac{2}{5}\cdot 8=3,2$ cm, deci $BN=BD-DN=10-3,2=6,8$ cm (1 p). Triunghiurile $BCN$ și $DCN$ au același vârf $C$ și bazele $BN$, respectiv $DN$ pe dreapta $BD$, deci $\frac{{\mathcal{A}}_{BCN}}{{\mathcal{A}}_{BCD}}=\frac{BN}{BD}=\frac{6,8}{10}=0,68$; cum ${\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{DC\cdot CB}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$ cm², rezultă ${\mathcal{A}}_{BCN}=24\cdot 0,68=16,32$ cm² (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $BMP$ este dreptunghic în $P$ (căci $MP\perp AB$), cu $m(\angle B)=60^{\circ }$ (unghi al triunghiului echilateral) și ipotenuza $BM=\frac{BC}{2}=4$ cm ($M$ fiind mijlocul lui $BC$) (1 p). Rezultă $BP=BM\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2$ cm (1 p). b) (3 p) $MN=\frac{AB}{2}=4$ cm (linie mijlocie în triunghiul $ABC$), iar $MP=\sqrt{B{M}^2-B{P}^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Măsura unghiului $PMN$ este $180^{\circ }-(30^{\circ }+60^{\circ })=90^{\circ }$ (unde $30^{\circ }$ provine din unghiul dintre $MN$ și $MC$, iar $60^{\circ }$ din unghiul $BMP$), deci triunghiul $PMN$ este dreptunghic în $M$, cu $PN=\sqrt{P{M}^2+M{N}^2}=\sqrt{12+16}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ cm (1 p). Cum $(2\sqrt{7}{)}^2=28>27=(3\sqrt{3}{)}^2$, rezultă $PN=2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Volumul cubului este $V=A{B}^3=6^3=216$ cm³ (1 p). Cum $216$ cm³ $=0,216$ dm³ $=0,216$ litri și $0,216>0,2$, rezultă că volumul cubului este mai mare decât $0,2$ litri (1 p). b) (3 p) $BC\perp AB$ și $BC\perp B{B}^{\prime }$ (muchii ale cubului), deci $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; cum $BC\subset (A^{\prime }BC)$, rezultă $(A^{\prime }BC)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, cele două plane având drept intersecție dreapta $A^{\prime }B$ (1 p). Fie $M$ mijlocul segmentului $A^{\prime }B$: triunghiul $A{A}^{\prime }B$ este dreptunghic isoscel în $A$ ($A{A}^{\prime }=AB=6$ cm), deci mediana $AM$ este și înălțime, adică $AM\perp A^{\prime }B$; cum $AM\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(A^{\prime }BC)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ după $A^{\prime }B$, rezultă $AM\perp (A^{\prime }BC)$, cu $AM=\frac{A^{\prime }B}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm (1 p). Analog, în triunghiul dreptunghic isoscel $A{A}^{\prime }D$ ($A{A}^{\prime }=AD=6$ cm), $AQ$ este mediana către ipotenuza $A^{\prime }D$, deci $AQ=\frac{A^{\prime }D}{2}=3\sqrt{2}$ cm; calculând (de exemplu prin coordonate $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $D(0,6,0)$, $A^{\prime }(0,0,6)$, cu $M(3,0,3)$ și $Q(0,3,3)$) obținem $QM=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-3{)}^2+(3-3{)}^2}=3\sqrt{2}$ cm, deci triunghiul $AQM$ este echilateral, cu $m(\angle QAM)=60^{\circ }$. Cum $AM\perp (A^{\prime }BC)$, unghiul dintre dreapta $AQ$ și planul $(A^{\prime }BC)$ este complementul unghiului $QAM$ față de $90^{\circ }$: $m(\angle (AQ,(A^{\prime }BC)))=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$ (1 p).

Testul 4, test oficial de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2021–2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 4 dintr-o serie de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicate de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2021–2022. Este un document distinct de un examen efectiv susținut (o „variantă" de Evaluare Națională) sau de o simulare organizată local — este un test de antrenament oficial, emis de minister special pentru pregătirea elevilor înaintea probei reale, cu structură și grad de dificultate identice cu Evaluarea Națională. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul acoperă integrat programa claselor V–VIII: diferențe și numere prime, ecuații simple cu fracții, medii aritmetice pe un interval de numere întregi, mulțimi de numere naturale, calcul cu radicali, raționament cu afirmații adevărat/fals; geometrie plană (puncte coliniare cu mijloace de segmente, bisectoarea unui unghi, mediana din unghiul drept într-un triunghi dreptunghic, trapez cu linie mijlocie și arie, unghi înscris și unghi la centru într-un cerc) și geometrie în spațiu (piramidă regulată cu triunghi echilateral și muchii laterale); algebră (sistem de ecuații pentru o problemă cu apartamente, expresie algebrică redusă la un pătrat perfect cu sumă telescopică de radicali, funcție liniară cu grafic și distanță între puncte) și geometrie cu demonstrație (dreptunghi cu perimetru și arie de triunghi, triunghi echilateral cu inegalitate între lungimi, cub cu volum și unghiul dintre o dreaptă și un plan).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: mediana dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză; linia mijlocie a unui trapez este egală cu semisuma bazelor; unghiul înscris într-un cerc este egal cu jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc.