Acasă · Evaluarea Națională · Testul oficial de pregătire nr. 5 — Evaluarea Națională 2022 (Ministerul Educației)

Testul oficial de pregătire nr. 5 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un divizor al numărului $75$ este: a) $150$ b) $12$ c) $7$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezultatul calculului $1, 5 : 2$ este egal cu: a) $0, 75$ b) $2, 25$ c) $3$ d) $75$

Exercițiul 3 · 5 puncte Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element al mulțimii $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , acesta să fie număr par este egală cu: a) $\frac{3}{7}$ b) $\frac{4}{7}$ c) $\frac{7}{4}$ d) $\frac{7}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Numărul real $- 23$ aparține intervalului: a) $(- 3, 4)$ b) $(3, 4)$ c) $(- 4, - 3)$ d) $(- 3, - 2)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Alin, Cristina, Mihai și Dana, calculează suma tuturor numerelor naturale care împărțite la $3$ dau câtul $4$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Alin	Cristina	Mihai	Dana
$54$	$42$	$39$	$12$

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect suma numerelor este: a) Alin b) Cristina c) Mihai d) Dana

Exercițiul 6 · 5 puncte Prețul unui stilou este $40$ lei. Matei afirmă: „Dacă prețul stiloului ar fi fost cu $20%$ mai mic, atunci cu $128$ lei aș fi putut cumpăra $4$ stilouri de același fel.". Afirmația lui Matei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ și $E$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât punctul $B$ este mijlocul segmentului $A C$ , punctul $C$ este mijlocul segmentului $A D$ și punctul $D$ este mijlocul segmentului $A E$ . Raportul $\frac{B D}{A E}$ este egal cu:

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{3}{7}$ c) $\frac{2}{5}$ d) $\frac{3}{8}$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate într-un plan, dreptele $a$ și $b$ intersectate de dreapta $d$ , fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de $3 2^{\circ}$ și, respectiv de $14 0^{\circ}$ . Unghiul dintre dreptele $a$ și $b$ este egal cu:

a) $0^{\circ}$ b) $8^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $17 2^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $A B C$ cu $A C = 6$ cm. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ , $B G \cap A C = {D}$ și $GE ∥ B C$ , $E \in A C$ . Lungimea segmentului $D E$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $3$ cm c) $2$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ . Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $A C$ , iar punctul $P$ se află pe latura $D C$ , astfel încât dreptele $P O$ și $A C$ sunt perpendiculare. Dacă $A P = 3$ cm și $B C = 5$ cm, atunci lungimea segmentului $A B$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $5$ cm c) $35$ cm d) $214$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ se află pe un cerc și sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic în $A$ . Dacă punctul $M$ se află pe latura $B C$ și dreapta $A M$ intersectează a doua oară cercul în punctul $P$ , atunci măsura unghiului $B P C$ este egală cu:

a) $3 0^{\circ}$ b) $6 0^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $12 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Muchia $A B$ a tetraedrului regulat $A B C D$ este egală cu $6$ cm. Aria totală a tetraedrului regulat $A B C D$ este egală cu:

a) $363$ cm² b) $273$ cm² c) $36$ cm² d) $18$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dacă împărțim numărul $\overline{ab c}$ , scris în baza $10$ , la numărul $\overline{a c}$ obținem câtul $6$ și restul $5$ . a) (2 p) Este posibil ca numărul $\overline{a c}$ să fie egal cu $18$ ? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numerele $\overline{ab c}$ .

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = (5 x + 3)^{2} - (3 x + 4)^{2}$ , unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E (x) = (2 x - 1) (8 x + 7)$ , pentru orice număr real $x$ . b) (3 p) Dacă numărul natural $n$ nu este divizibil cu $3$ , atunci arată că $E (n)$ este divizibil cu $3$ .

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 3$ . a) (2 p) Arată că $f (5) \cdot f (- 5) = 4$ . b) (3 p) Arată că simetricul punctului $A (- 3, - 6)$ față de originea $O (0, 0)$ a sistemului de axe ortogonale $x O y$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate pătratele $A B C D$ și $M P Q D$ . Punctul $Q$ se află pe latura $C D$ și $A M = 2$ cm.

a) (2 p) Arată că $P B = 22$ cm. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $A Q$ , $C M$ și $D P$ sunt concurente.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $A B C$ . Punctul $D$ se află pe latura $A C$ astfel încât $A D = 2$ cm și $D C = 4$ cm, iar punctul $E$ se află pe dreapta $B C$ astfel încât dreptele $E D$ și $A C$ sunt perpendiculare.

a) (2 p) Arată că $E B = 2$ cm. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $E$ la dreapta $C F$ , unde ${F} = E D \cap A B$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $C C^{'}$ , punctul $P$ este mijlocul segmentului $A D$ și $M P = 26$ cm.

a) (2 p) Arată că $A B = 4$ cm. b) (3 p) Arată că sinusul unghiului dintre dreapta $M P$ și planul $(A B B^{'})$ este egal cu $\frac{6}{6}$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	d)	a)	b)	c)	c)	a)

d) Divizorii lui $75 = 3 \cdot 5^{2}$ sunt $1, 3, 5, 15, 25, 75$ ; dintre variante, doar $5$ este divizor.
a) $1, 5 : 2 = 0, 75$ .
b) Mulțimea $A$ are $7$ elemente, dintre care $4$ pare ( $0, 2, 4, 6$ ), deci probabilitatea este $\frac{4}{7}$ .
c) $- 23 \approx - 3, 46$ , număr cuprins în intervalul $(- 4, - 3)$ .
c) Numerele naturale care împărțite la $3$ dau câtul $4$ sunt $12, 13, 14$ (restul poate fi $0, 1$ sau $2$ ), iar suma lor este $12 + 13 + 14 = 39$ , calculată corect de Mihai.
a) Prețul redus ar fi $40 - 40 \cdot 20% = 32$ lei, iar $128 : 32 = 4$ stilouri, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	d)	b)	d)	b)	c)	a)

d) Notând $A B = x$ : $B$ mijlocul lui $A C \Rightarrow B C = x$ ; $C$ mijlocul lui $A D \Rightarrow C D = 2 x$ ; $D$ mijlocul lui $A E \Rightarrow D E = 4 x$ . Atunci $B D = B C + C D = 3 x$ și $A E = A B + B C + C D + D E = 8 x$ , deci $\frac{B D}{A E} = \frac{3}{8}$ .
b) Construind prin punctul de intersecție al dreptelor $a$ și $b$ o paralelă la $d$ , unghiul dintre $a$ și $b$ se obține din diferența unghiurilor alterne/corespunzătoare determinate de cele două unghiuri date: $m (∠ (a, b)) = (18 0^{\circ} - 14 0^{\circ}) - 3 2^{\circ} = 8^{\circ}$ .
d) Punctul $D$ este mijlocul lui $A C$ (fiind piciorul medianei din $B$ prin centrul de greutate), deci $D C = 3$ cm; cum $G$ împarte mediana $B D$ în raportul $B G : G D = 2 : 1$ , triunghiurile $D GE$ și $D B C$ sunt asemenea, cu raportul $\frac{D G}{D B} = \frac{1}{3}$ , deci $D E = \frac{1}{3} \cdot D C = 1$ cm.
b) Notând $A B = a$ și folosind $B C = A D = 5$ cm, din condiția $P O ⊥ A C$ rezultă $A P^{2} = (\frac{a ^{2} - 5}{2 a})^{2} + 5 = 9$ , de unde $a^{2} - 4 a - 5 = 0$ , adică $a = 5$ cm.
c) $B C$ este diametrul cercului circumscris ( $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ este înscris în semicerc), deci pentru orice punct $P$ al cercului, unghiul $B P C$ este înscris în semicercul de diametru $B C$ , deci $m (∠ B P C) = 9 0^{\circ}$ .
a) Aria totală a tetraedrului regulat cu muchia $a = 6$ cm este $a^{2} 3 = 363$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă $\overline{a c} = 18$ , atunci $a = 1$ , $c = 8$ , iar $\overline{ab c} = 18 \cdot 6 + 5 = 113$ (1 p). Dar din $\overline{ab c} = 113$ rezultă cifra unităților $c = 3$ , în contradicție cu $c = 8$ obținut din $\overline{a c} = 18$ ; cum $8 \neq = 3$ , deducem că nu este posibil ca $\overline{a c}$ să fie egal cu $18$ (1 p). b) (3 p) Din $\overline{ab c} = 6 \cdot \overline{a c} + 5$ obținem $100 a + 10 b + c = 6 (10 a + c) + 5$ , adică $c = 8 a + 2 b - 1$ (1 p). Cum $c$ este cifră ( $0 \leq c \leq 9$ ) și $a \geq 1$ , singura valoare posibilă pentru $a$ este $1$ (pentru $a \geq 2$ , $c \geq 15$ , imposibil), cu $b \in {0, 1}$ (1 p). Pentru $b = 0$ obținem $c = 7$ , deci $\overline{ab c} = 107$ ; pentru $b = 1$ obținem $c = 9$ , deci $\overline{ab c} = 119$ (verificare: $107 = 17 \cdot 6 + 5$ și $119 = 19 \cdot 6 + 5$ ) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E (x) = (5 x + 3)^{2} - (3 x + 4)^{2} = [(5 x + 3) - (3 x + 4)] \cdot [(5 x + 3) + (3 x + 4)]$ (1 p) $= (2 x - 1) (8 x + 7)$ , pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) Dacă $n$ nu este divizibil cu $3$ , atunci $n = 3 k + 1$ sau $n = 3 k + 2$ , unde $k$ este număr natural (1 p). Dacă $n = 3 k + 1$ : $8 n + 7 = 24 k + 15 = 3 (8 k + 5)$ , deci $E (n) = (2 n - 1) \cdot 3 (8 k + 5)$ , divizibil cu $3$ (1 p). Dacă $n = 3 k + 2$ : $2 n - 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ , deci $E (n) = 3 (2 k + 1) (8 n + 7)$ , divizibil cu $3$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (5) = 5 + 3$ și $f (- 5) = - 5 + 3 = 3 - 5$ (1 p). Atunci $f (5) \cdot f (- 5) = (3 + 5) (3 - 5) = 9 - 5 = 4$ (1 p). b) (3 p) Simetricul punctului $A (- 3, - 6)$ față de originea $O (0, 0)$ este punctul $B (3, 6)$ (1 p). Calculăm $f (3) = 3 + 3 = 6$ (1 p), deci punctul $B (3, 6)$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Fie ${T} = QP \cap A B$ . Patrulaterele $A T P M$ și $T B C Q$ sunt dreptunghiuri, deci $T P = A M = 2$ cm și $T B = C Q = A M = 2$ cm (1 p). Triunghiul $B T P$ este dreptunghic în $T$ , deci $P B = B T^{2} + T P^{2} = 4 + 4 = 22$ cm (1 p). b) (3 p) Fie ${S} = A Q \cap D P$ și ${V} = C M \cap D P$ . Din triunghiurile asemenea $P S Q \sim D S A$ (cu $P Q ∥ A D$ ) rezultă $\frac{P S}{S D} = \frac{P Q}{A D}$ (1 p), iar din triunghiurile asemenea $P V M \sim C V D$ (cu $P M ∥ D C$ ) rezultă $\frac{P V}{V D} = \frac{P M}{D C}$ (1 p). Cum $P Q = P M$ și $A D = D C$ (laturi ale pătratelor $M P Q D$ , respectiv $A B C D$ ), obținem $\frac{P S}{S D} = \frac{P V}{V D}$ , deci $S = V$ , adică dreptele $A Q$ , $C M$ și $D P$ sunt concurente (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $A C = A D + D C = 2 + 4 = 6$ cm $= B C$ (triunghi echilateral) (1 p). Triunghiul $D C E$ este dreptunghic în $D$ , cu $m (∠ D C E) = m (∠ A C B) = 6 0^{\circ}$ , deci $E C = \frac{D C}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{4}{0 , 5} = 8$ cm, iar $E B = E C - B C = 8 - 6 = 2$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $A D F$ este dreptunghic în $D$ , cu $m (∠ D A F) = 6 0^{\circ}$ , deci $A F = \frac{A D}{cos 6 0 ^{\circ}} = 4$ cm și $B F = A B - A F = 6 - 4 = 2$ cm (1 p). Fie $Q$ piciorul perpendicularei din $F$ pe $B C$ ; în triunghiul dreptunghic $F QB$ , cu $m (∠ F B Q) = 6 0^{\circ}$ și $B F = 2$ cm, obținem $F Q = B F \cdot sin 6 0^{\circ} = 3$ cm și $B Q = B F \cdot cos 6 0^{\circ} = 1$ cm, deci $QC = B C - B Q = 5$ cm, iar $F C = F Q^{2} + Q C^{2} = 3 + 25 = 27$ cm (1 p). Echivalând aria triunghiului $E F C$ în două moduri, $\frac{E C \cdot F Q}{2} = \frac{F C \cdot d ( E , C F )}{2}$ , obținem $d (E, C F) = \frac{E C \cdot F Q}{F C} = \frac{8 3}{2 7} = \frac{4 21}{7}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Notăm $A B = x$ . Triunghiul $P D C$ este dreptunghic în $D$ (cu $P D = \frac{x}{2}$ , $D C = x$ ), deci $P C^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + x^{2} = \frac{5 x ^{2}}{4}$ ; triunghiul $M C P$ este dreptunghic în $C$ (cu $M C = \frac{x}{2}$ ), deci $M P^{2} = M C^{2} + P C^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{5 x ^{2}}{4} = \frac{3 x ^{2}}{2}$ (1 p). Din $M P = 26$ cm rezultă $\frac{3 x ^{2}}{2} = 24$ , deci $x^{2} = 16$ , adică $A B = 4$ cm (1 p). b) (3 p) Planele $(A B B^{'})$ (adică $(A B B^{'} A^{'})$ ) și $(D C C^{'} D^{'})$ sunt fețe opuse ale cubului, deci sunt paralele, astfel încât unghiul dintre $M P$ și planul $(A B B^{'})$ este egal cu unghiul dintre $M P$ și planul $(D C C^{'} D^{'})$ (1 p). Cum $P D ⊥ D D^{'}$ și $P D ⊥ D C$ , cu $D D^{'} \cap D C = {D}$ , rezultă $P D ⊥ (D C C^{'} D^{'})$ , deci unghiul căutat este $∠ D M P$ , cu $P D = \frac{A D}{2} = 2$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $P D M$ (dreptunghic în $D$ ), $sin (∠ D M P) = \frac{P D}{P M} = \frac{2}{2 6} = \frac{1}{6} = \frac{6}{6}$ (1 p).

Testul 5, test oficial de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2021–2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 5 dintr-o serie de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicate de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2021–2022. Este un document distinct de un examen efectiv susținut (o „variantă" de Evaluare Națională) sau de o simulare organizată local — este un test de antrenament oficial, emis de minister special pentru pregătirea elevilor înaintea probei reale, cu structură și grad de dificultate identice cu Evaluarea Națională. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul acoperă integrat programa claselor V–VIII: divizori și mulțimea numerelor naturale, împărțirea numerelor zecimale, probabilități, radicali și încadrarea în intervale, raționament cu sume de numere naturale, procente aplicate la prețuri; geometrie plană (segmente cu puncte mijloc succesive, unghiuri formate de drepte intersectate de o transversală, centrul de greutate al triunghiului cu linie mijlocie, dreptunghi cu diagonală și perpendiculară, unghi înscris în cerc cu diametru) și geometrie în spațiu (tetraedru regulat cu arie totală); algebră (împărțire cu cât și rest pentru numere scrise în baza $10$ , diferență de pătrate și divizibilitate, funcție liniară de gradul I cu simetrie față de origine); geometrie plană cu demonstrație (pătrate concurente, triunghi echilateral cu perpendiculare) și geometrie în spațiu cu demonstrație (cub — unghiul dintre o dreaptă și un plan).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: dacă $G$ este centrul de greutate al unui triunghi, atunci $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2 : 1$ dinspre vârf; unghiul înscris într-un semicerc (cu ipotenuza diametru) este drept; aria totală a tetraedrului regulat cu muchia $a$ este $a^{2} 3$ .