Examenul oficial — Sesiunea specială Evaluarea Națională 2025

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $25-5\cdot 3$ este egal cu: a) $0$ b) $10$ c) $60$ d) $90$

Exercițiul 2 · 5 puncte Din cei $400$ de pomi fructiferi ai unei livezi, $50\%$ sunt pruni. Numărul prunilor din livadă este egal cu: a) $40$ b) $50$ c) $100$ d) $200$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr întreg din intervalul $(-3,5]$ este egal cu: a) $-3$ b) $-2$ c) $0$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $3x-1\ge 5$ este: a) $(-\infty ,2]$ b) $\left(-\infty ,\frac{4}{3}\right]$ c) $[2,+\infty )$ d) $\left[\frac{4}{3},+\infty \right)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, calculează produsul numerelor $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ și $b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ioana b) Mara c) Petrică d) Ștefan

Exercițiul 6 · 5 puncte O mașină se deplasează în intervalul orar $12:00-14:00$ cu o viteză medie de $80$ km/h. Mihai afirmă că: „În acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu $160$ km.". Afirmația lui Mihai este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=16$ cm. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $12$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate dreptele perpendiculare $AB$ și $CD$. Punctul $O$ este intersecția celor două drepte și semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

a) $45°$ b) $125°$ c) $135°$ d) $180°$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $BC=4$ cm. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $AB$. Distanța de la punctul $P$ la dreapta $AC$ este egală cu:

a) $1$ cm b) $\sqrt{3}$ cm c) $2$ cm d) $\sqrt{5}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$. Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, iar punctul $S$ este mijlocul laturii $BC$. Raportul dintre aria triunghiului $COS$ și aria paralelogramului $ABCD$ este egal cu:

a) $\frac{1}{8}$ b) $\frac{1}{4}$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $AB=50$ cm. Lungimea acestui cerc este egală cu:

a) $2500\pi$ cm b) $100\pi$ cm c) $50\pi$ cm d) $25\pi$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$. Dacă $AB=A{A}^{\prime }=6$ cm, atunci aria laterală a prismei este egală cu:

a) $216$ cm² b) $108$ cm² c) $54\sqrt{3}$ cm² d) $18\sqrt{3}$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Doi copii, Alin și Ioana, au fiecare câte un coș cu alune. Dacă Alin ar primi de la Ioana $4$ alune, atunci Ioana ar avea de $3$ ori mai multe alune decât Alin. a) (2 p) Este posibil ca Ioana să aibă în coș exact $45$ de alune? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Dacă Ioana ar primi de la Alin două alune, atunci Alin ar avea de $6$ ori mai puține alune decât Ioana. Determină numărul alunelor din coșul Ioanei.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+3}{x-1}+\frac{4x}{x^2+2x-3}\right):\frac{x+9}{x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -9$, $x\ne -3$ și $x\ne 1$. a) (2 p) Arată că $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Arată că numărul $T=\sqrt{90\cdot E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)\cdot E(6)}$ este natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x-2$.

a) (2 p) Arată că $f(4)\cdot f(6)=0$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează lungimea medianei din $C$ a triunghiului $ABC$, unde $C(0,3)$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AC=9$ cm. Punctul $H$ este ortocentrul triunghiului $ABC$, punctul $M$ este proiecția punctului $H$ pe dreapta $AC$ și $HM=2$ cm.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $AHC$ este egală cu $9$ cm². b) (3 p) Știind că $AH=2\cdot CD$, unde $\{D\}=AH\cap BC$, determină lungimea segmentului $CD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $BCQ$, cu $QB=QC$, unde punctul $Q$ este situat în exteriorul pătratului.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $ACQ$ este egală cu $90°$. b) (3 p) Arată că $AT=3\cdot TC$, unde $T$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DQ$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=6$ cm.

a) (2 p) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $216$ cm³. b) (3 p) Punctul $N$ este mijlocul segmentului $B{B}^{\prime }$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$, $\left(AN\right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)=\{P\}$ și $\left(D^{\prime }M\right)\cap \left(ABC\right)=\{Q\}$. Determină lungimea segmentului $PQ$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $25-5\cdot 3=25-15=10$.
2. d) $50\%$ din $400$ este $\frac{50}{100}\cdot 400=200$.
3. b) Intervalul $(-3,5]$ nu îl conține pe $-3$, deci cel mai mic număr întreg din interval este $-2$.
4. c) Din $3x-1\ge 5$ rezultă $3x\ge 6$, deci $x\ge 2$, adică mulțimea soluțiilor este $[2,+\infty )$.
5. c) $a\cdot b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$, deci rezultatul corect a fost obținut de Petrică.
6. a) Distanța parcursă este $d=v\cdot t=80\cdot 2=160$ km, deci afirmația lui Mihai este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $MN=MB+BN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm.
2. c) Cum $AB\perp CD$, $m(\angle BOC)=90°$, iar $OM$ fiind bisectoarea unghiului $BOC$, $m(\angle BOM)=m(\angle MOC)=45°$. Punctele $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a lui $O$ (semidrepte opuse), deci $m(\angle AOM)=m(\angle AOC)+m(\angle COM)=90°+45°=135°$.
3. b) Înălțimea triunghiului echilateral $ABC$ cu latura $4$ cm este $h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm (distanța de la $B$ la dreapta $AC$). Cum $P$ este mijlocul lui $AB$, distanța de la $P$ la $AC$ este jumătate din distanța de la $B$ la $AC$: $\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ cm.
4. a) Notând ${\mathcal{A}}_{ABCD}$ aria paralelogramului, ${\mathcal{A}}_{ACD}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{2}$ (diagonala $AC$ împarte paralelogramul în două triunghiuri echivalente), iar ${\mathcal{A}}_{AOD}={\mathcal{A}}_{COD}=\frac{{\mathcal{A}}_{ACD}}{2}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{4}$ ($O$ fiind mijlocul lui $AC$). Analog, ${\mathcal{A}}_{COS}=\frac{{\mathcal{A}}_{COB}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{4}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{8}$ ($S$ fiind mijlocul lui $BC$). Raportul căutat este $\frac{1}{8}$.
5. c) Lungimea cercului cu diametrul $AB=50$ cm este $C=\pi \cdot d=\pi \cdot 50=50\pi$ cm.
6. b) Aria laterală a prismei drepte este ${\mathcal{A}}_{lat}=P_{baz\breve{a}}\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot AB\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 6\cdot 6=108$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $A$ numărul de alune ale lui Alin și cu $I$ numărul de alune ale Ioanei. Dacă Alin ar primi $4$ alune de la Ioana, condiția din enunț se scrie $I-4=3(A+4)$ (1 p). Pentru $I=45$: $45-4=3(A+4)\Rightarrow 41=3(A+4)\Rightarrow A+4=\frac{41}{3}$, care nu este număr natural, deci nu este posibil ca Ioana să aibă în coș exact $45$ de alune (1 p). b) (3 p) Dacă Ioana ar primi de la Alin $2$ alune, condiția din enunț se scrie $I+2=6(A-2)$ (1 p). Din prima relație, $I=3A+16$, iar din a doua, $I=6A-14$; egalând, $3A+16=6A-14\Rightarrow 3A=30\Rightarrow A=10$ (1 p). Rezultă $I=3\cdot 10+16=46$, deci Ioana are în coș $46$ de alune (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Desfacem parantezele: $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$ (1 p). Deci egalitatea $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ este adevărată pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) Cum $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$, avem $E(x)=\left(\frac{x+3}{x-1}+\frac{4x}{(x-1)(x+3)}\right):\frac{x+9}{x-1}=\frac{(x+3{)}^2+4x}{(x-1)(x+3)}\cdot \frac{x-1}{x+9}$, iar $(x+3{)}^2+4x=x^2+10x+9$ (1 p). Cum $x^2+10x+9=(x+1)(x+9)$, obținem $E(x)=\frac{(x+1)(x+9)}{(x-1)(x+3)}\cdot \frac{x-1}{x+9}=\frac{x+1}{x+3}$, pentru orice $x\ne -9,-3,1$ (1 p). Calculăm $E(3)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $E(4)=\frac{5}{7}$, $E(5)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, $E(6)=\frac{7}{9}$, deci $E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)\cdot E(6)=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{7}{9}=\frac{5}{18}$, iar $T=\sqrt{90\cdot \frac{5}{18}}=\sqrt{25}=5$, care este natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=2-2=0$ (1 p). Cum $f(4)=0$, rezultă $f(4)\cdot f(6)=0\cdot f(6)=0$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează axa $Ox$ în $A(4,0)$ (din $f(x)=0\Rightarrow x=4$) și axa $Oy$ în $B(0,-2)$ (din $f(0)=-2$) (1 p). Cu $C(0,3)$: $AC=\sqrt{A{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{16+9}=5$, iar $BC=OC+OB=3+2=5$ (căci $B$ și $C$ sunt de o parte și de alta a lui $O$, pe axa $Oy$), deci triunghiul $ACB$ este isoscel cu $AC=BC=5$; $AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$ (1 p). În triunghiul isoscel $ACB$, $CD$ (unde $D$ este mijlocul lui $AB$) este mediană, deci $CD\perp AB$, de unde $CD=\sqrt{A{C}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{25-5}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Aria triunghiului $AHC$ se calculează cu baza $AC$ și înălțimea corespunzătoare $HM$: ${\mathcal{A}}_{AHC}=\frac{HM\cdot AC}{2}$ (1 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{AHC}=\frac{2\cdot 9}{2}=9$ cm² (1 p). b) (3 p) Triunghiurile $AHM$ și $ACD$ au unghiul din $A$ comun și câte un unghi drept (în $M$, respectiv în $D$), deci sunt asemenea, cu $\frac{AH}{AC}=\frac{HM}{CD}$ (1 p). Cum $AH=2\cdot CD$, înlocuind obținem $\frac{2\cdot CD}{9}=\frac{2}{CD}$, adică $2\cdot C{D}^2=HM\cdot AC=2\cdot 9=18$ (1 p). Rezultă $C{D}^2=9$, deci $CD=3$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel (jumătate din pătratul $ABCD$, prin diagonala $AC$), deci $m(\angle ACB)=45°$ (1 p). Triunghiul $BCQ$ este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $Q$, deci $m(\angle BCQ)=45°$; cum $Q$ este exterior pătratului, $m(\angle ACQ)=m(\angle ACB)+m(\angle BCQ)=45°+45°=90°$ (1 p). b) (3 p) Notăm cu $O$ intersecția diagonalelor pătratului (deci $O\in AC$). Cum diagonalele pătratului sunt perpendiculare, $m(\angle DOC)=90°$, iar cum $m(\angle ACQ)=90°$, avem și $m(\angle OCQ)=90°$; rezultă $DO\parallel CQ$ (1 p). Triunghiurile $OCB$ și $QCB$ sunt congruente (catete $BC$ comună, $m(\angle OCB)=m(\angle QCB)=45°$, $m(\angle OBC)=m(\angle QBC)=45°$), deci $CO=CQ$; cum $CO=DO$ (diagonalele pătratului sunt egale și se înjumătățesc), rezultă $DO=CQ$, iar din $DO\parallel CQ$ și $DO=CQ$ obținem că patrulaterul $DOQC$ este paralelogram (1 p). Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, iar $T=DQ\cap OC$ (segmentul $OC$ fiind parte din $AC$), deci $T$ este mijlocul lui $OC$: $OT=TC=\frac{CO}{2}$. Atunci $AT=AO+OT=CO+\frac{CO}{2}=\frac{3\cdot CO}{2}$, iar $TC=\frac{CO}{2}$, deci $AT=3\cdot TC$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Volumul cubului este $V_{cub}=A{B}^3$ (1 p), deci $V_{cub}=6^3=216$ cm³ (1 p). b) (3 p) Identificăm $\{P\}=(AN)\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ și $\{Q\}=(D^{\prime }M)\cap (ABC)$ (1 p). Triunghiurile $ABN$ și $P{B}^{\prime }N$ sunt congruente ($N$ fiind mijlocul lui $B{B}^{\prime }$, cu unghiuri opuse la vârf egale și $BN=N{B}^{\prime }$), deci $AB=P{B}^{\prime }$; analog, triunghiurile $D^{\prime }{C}^{\prime }M$ și $QCM$ sunt congruente ($M$ fiind mijlocul lui $C{C}^{\prime }$), deci $D^{\prime }{C}^{\prime }=QC$ (1 p). Cum $P{B}^{\prime }=QC=AB=6$ cm și $P{B}^{\prime }\parallel QC$, patrulaterul $CQP{B}^{\prime }$ este paralelogram, deci $PQ=B^{\prime }C$; cum $B^{\prime }C$ este diagonala feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, cu latura $6$ cm, $B^{\prime }C=6\sqrt{2}$ cm, deci $PQ=6\sqrt{2}$ cm (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială, anul școlar 2024-2025, publicat de Ministerul Educației și Cercetării (CNCE), reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL (nu o simulare) la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, susținut de absolvenții care au dat proba în cadrul sesiunii speciale, anul școlar 2024-2025, Varianta 3, publicat de Ministerul Educației și Cercetării (CNCE). Este un document distinct și real, diferit atât de examenul din sesiunea principală (iunie 2025), cât și de cel din sesiunea de rezervă — o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu puteri, procente, intervale de numere întregi, inecuații, radicali (numere conjugate), rapoarte în probleme cu context real, geometrie plană (segmente coliniare, unghiuri, triunghi echilateral, paralelogram, cerc) și geometrie în spațiu (prismă dreaptă, cub).

Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de gradul al II-lea nu apar (se rezolvă prin descompunere în factori, dacă e cazul); la fracțiile algebrice se exclud valorile care anulează numitorii.