Simulare model sesiune de rezervă — Evaluarea Națională 2026

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $27-24:3$ este egal cu: a) $19$ b) $17$ c) $1$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5$, rezultatul calculului $a+b$ este egal cu: a) $7$ b) $10$ c) $12$ d) $35$

Exercițiul 3 · 5 puncte Soluția ecuației $5-x=5$ este numărul: a) $-10$ b) $-1$ c) $0$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Inversul numărului $\frac{5}{9}$ este numărul: a) $-\frac{9}{5}$ b) $-\frac{5}{9}$ c) $\frac{5}{9}$ d) $\frac{9}{5}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Mihai, Cristina, Ionuț și Ana, calculează produsul numerelor $a=5-2\sqrt{6}$ și $b=5+2\sqrt{6}$.

Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Mihai b) Cristina c) Ionuț d) Ana

Exercițiul 6 · 5 puncte Un telefon care costă $1000$ de lei se scumpește cu $20\%$. Matei afirmă: „Noul preț al telefonului este $1200$ de lei.". Afirmația lui Matei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Dacă $AB=2$ cm, $CD=2\cdot AB$ și $AD=9$ cm, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $5$ cm c) $6$ cm d) $7$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente $AOB$, $BOC$ și $COA$. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $DOB$. Măsura unghiului $EOC$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $150^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=4$ cm și măsura unghiului $C$ egală cu $30^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu:

a) $\sqrt{3}$ cm b) $6$ cm c) $8$ cm d) $6\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$ și $AD=BC=DC$. Măsura unghiului $DAC$ este egală cu $20^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

a) $20^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $60^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, înscris în cercul de centru $O$. Dacă măsura unghiului $ABO$ este egală cu $30^{\circ }$, atunci măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește $45$ de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial. a) (2 p) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}\right):\frac{5(x^2+2x+1)}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 2$. a) (2 p) Arată că $\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. b) (3 p) Determină numărul natural $n$, $n\ne 2$, pentru care $E(n)=\frac{1}{6}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{2}x+3$.

a) (2 p) Arată că $f(-1)+f(1)=6$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Arată că distanța de la punctul $C(2,3)$ la dreapta $AB$ este egală cu $\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$, iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$, astfel încât $\angle BDC=90^{\circ }$ și $\angle BCD=60^{\circ }$.

a) (2 p) Demonstrează că $AO=CD$. b) (3 p) Arată că $AB=CE$, unde punctul $E$ aparține segmentului $BD$, astfel încât $\angle BCE=15^{\circ }$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=6$ cm și $BC=3$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$.

a) (2 p) Arată că $CP=2\cdot AP$. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $MT$, unde punctul $T$ este mijlocul segmentului $CP$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$, cu baza $ABCD$, $VA=AB=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$.

a) (2 p) Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$. b) (3 p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $27-24:3=27-8=19$.
2. d) Din $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5$ rezultă $a=15$, $b=20$, deci $a+b=35$.
3. c) $5-x=5\Rightarrow x=0$.
4. d) Inversul lui $\frac{5}{9}$ este $\frac{9}{5}$.
5. b) $a\cdot b=(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=25-24=1$ — rezultatul corect a fost obținut de Cristina.
6. a) Noul preț este $1000+20\%\cdot 1000=1000+200=1200$ de lei, deci afirmația lui Matei este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $CD=2\cdot AB=2\cdot 2=4$ cm. Cum $A,B,C,D$ sunt coliniare în această ordine, $AD=AB+BC+CD$, deci $9=2+BC+4$, de unde $BC=3$ cm.
2. d) Unghiurile congruente $AOB=BOC=COA$ însumează $360^{\circ }$ (unghi complet), deci fiecare este $120^{\circ }$. $OD$ bisectoarea lui $AOB$ dă $m(\angle DOB)=60^{\circ }$; $OE$ bisectoarea lui $DOB$ dă $m(\angle EOB)=30^{\circ }$. Atunci $m(\angle EOC)=m(\angle EOB)+m(\angle BOC)=30^{\circ }+120^{\circ }=150^{\circ }$.
3. b) În triunghiul dreptunghic $ABC$ (dreptunghic în $A$), $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$ dă $AM=BM=CM=\frac{BC}{2}=2$ cm (mediana din unghiul drept). Cu $m(\angle C)=30^{\circ }$, $AB=BC\cdot \sin 30^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2$ cm. Perimetrul triunghiului $ABM$ este $AB+BM+AM=2+2+2=6$ cm.
4. c) Din $AD=DC$, triunghiul $ADC$ este isoscel, deci $m(\angle DCA)=m(\angle DAC)=20^{\circ }$, de unde $m(\angle ADC)=180^{\circ }-20^{\circ }-20^{\circ }=140^{\circ }$. Cum $AB\parallel CD$, unghiurile $ADC$ și $DAB$ sunt suplementare (interne de aceeași parte a transversalei $AD$), deci $m(\angle DAB)=180^{\circ }-140^{\circ }=40^{\circ }$. Trapezul fiind isoscel ($AD=BC$), unghiurile de la baza mare sunt egale: $m(\angle ABC)=m(\angle DAB)=40^{\circ }$.
5. b) $OA=OB$ (raze), deci triunghiul $AOB$ este isoscel cu $m(\angle OAB)=m(\angle OBA)=30^{\circ }$, de unde $m(\angle AOB)=120^{\circ }$. Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc $AB$ ca unghiul la centru $AOB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$.
6. b) $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel CD$ (muchii opuse ale unei fețe a cubului), deci unghiul dintre $AC$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $AC$ și $CD$. În pătratul $ABCD$, diagonala $AC$ face un unghi de $45^{\circ }$ cu latura $CD$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Fie $x$ suma inițială. Suma cheltuită în prima zi este $\frac{x}{4}$, iar suma rămasă este $\frac{3x}{4}$ (1 p). Suma cheltuită în a doua zi este $\frac{1}{4}\cdot \frac{3x}{4}=\frac{3x}{16}$. Cum $\frac{3x}{16}<\frac{4x}{16}=\frac{x}{4}$, Maria nu a cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi (1 p). b) (3 p) Suma rămasă după a doua zi este $\frac{3x}{4}-\frac{3x}{16}=\frac{9x}{16}$ (1 p). Din enunț, $\frac{9x}{16}-45=\frac{x}{4}$, adică $9x-720=4x$, deci $5x=720$ (1 p). Rezultă $x=144$ lei — suma pe care a avut-o Maria inițial (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem la același numitor $(x-2)(x+2)$: numărătorul devine $7+2(x+2)+3(x-2)=7+2x+4+3x-6=5x+5$ (1 p). Deci suma este $\frac{5x+5}{(x-2)(x+2)}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}:\frac{5(x+1{)}^2}{x-2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x-2}{5(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 2$ (1 p). Din $E(n)=\frac{1}{6}$ obținem $(n+1)(n+2)=6$ (1 p). Cum $n$ este număr natural, $n\ne 2$, rezultă $n=1$ (căci $2\cdot 3=6$) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=\frac{3}{2}\cdot (-1)+3=\frac{3}{2}$ (1 p). $f(1)=\frac{3}{2}\cdot 1+3=\frac{9}{2}$, deci $f(-1)+f(1)=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=\frac{12}{2}=6$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează axa $Ox$ în $A(-2,0)$ (din $f(x)=0\Rightarrow \frac{3}{2}x=-3\Rightarrow x=-2$) și axa $Oy$ în $B(0,3)$ (din $f(0)=3$) (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, deci $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ (1 p). Distanța de la $C(2,3)$ la dreapta $AB$: dreapta $AB$ are ecuația $3x-2y+6=0$, iar $d(C,AB)=\frac{|3\cdot 2-2\cdot 3+6|}{\sqrt{9+4}}=\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $AO$ este mediană în triunghiul dreptunghic $ABC$ (dreptunghic în $A$), deci $AO=\frac{BC}{2}$ (1 p). În triunghiul dreptunghic $DBC$ (dreptunghic în $D$), $m(\angle BCD)=60^{\circ }$, deci $m(\angle DBC)=30^{\circ }$, de unde $CD=BC\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{BC}{2}$, deci $AO=CD$ (1 p). b) (3 p) $m(\angle ECD)=m(\angle BCD)-m(\angle BCE)=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, cu $m(\angle AOB)=90^{\circ }$ (mediana din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic isoscel este și înălțime și bisectoare) (1 p). Triunghiurile $AOB$ și $CDE$ sunt congruente (au $AO=CD$, unghiuri corespunzătoare egale), de unde rezultă $AB=CE$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiurile $APM$ și $CPD$ sunt asemenea ($AM\parallel DC$), cu raportul $\frac{AM}{DC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (1 p). Deci $\frac{AP}{CP}=\frac{1}{2}$, adică $CP=2\cdot AP$ (1 p). b) (3 p) În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $B$, $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$ cm (1 p). Triunghiurile $AMD$ și $BMC$ sunt dreptunghice isoscele (căci $AM=BM=3$ cm $=BC$), de unde rezultă $m(\angle PMC)=90^{\circ }$ (1 p). Cum $AP:CP=1:2$, $CP=\frac{2}{3}\cdot AC=2\sqrt{5}$ cm; în triunghiul dreptunghic $PMC$, $MT$ este mediană (căci $T$ este mijlocul ipotenuzei $CP$), deci $MT=\frac{CP}{2}=\sqrt{5}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $\{O\}=AC\cap BD$, $VO\perp (ABC)$; cum $OA=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ cm, din triunghiul dreptunghic $VOA$ rezultă $VO=\sqrt{V{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{144-72}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Volumul este $V=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot VO}{3}=\frac{144\cdot 6\sqrt{2}}{3}=288\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$ (1 p). b) (3 p) $MN\perp (ABC)$; fie $Q$ piciorul perpendicularei din $N$ pe $AD$ și $T$ piciorul perpendicularei din $N$ pe $MQ$; cum $AD\perp MN$ și $AD\perp NQ$, rezultă $AD\perp (MNQ)$, deci $AD\perp NT$; cum și $NT\perp MQ$, rezultă $NT\perp (VAD)$ (1 p). Deci unghiul dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$ este unghiul dintre $MN$ și proiecția sa $MQ$ pe acest plan, adică $\angle NMQ$ (1 p). Cu $MN=3\sqrt{2}$ cm și $NQ=3$ cm (jumătate din apotema bazei), $\text{tg}(\angle NMQ)=\frac{NQ}{MN}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1 p).

Simulare de tip Evaluarea Națională, model de sesiune de rezervă pentru anul școlar 2025-2026, cu enunț și barem complete, în structura oficială a examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Aceasta este o simulare de tip Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, concepută pentru platformă ca model de sesiune de rezervă pentru anul școlar 2025-2026. Nu este documentul oficial al examenului, ci un test propriu, cu enunțuri, cifre și figuri distincte de celelalte simulări de pe site, care respectă întocmai formatul oficial al examenului (structura subiectelor, tipurile de itemi, punctajul și baremul). Toate enunțurile și baremul au fost verificate matematic, item cu item. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu radicali, proporții, ecuații liniare, procente, geometrie plană (segmente coliniare, unghiuri și bisectoare, triunghi dreptunghic cu mediana ipotenuzei, trapez isoscel, cercul — unghi la centru și unghi înscris) și geometrie în spațiu (cub — unghiul a două drepte, piramidă patrulateră regulată — volum și unghiul dintre o dreaptă și un plan), calcul algebric cu fracții algebrice și funcția liniară.

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: la fracțiile algebrice se exclud valorile care anulează numitorii (inclusiv numitorul din raportul de împărțire); trigonometria nu apare explicit, dar geometria în spațiu folosește teorema lui Pitagora și proprietățile piramidei regulate.