Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2010

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $624:3$ este egal cu: a) $206$ b) $207$ c) $208$ d) $212$

Exercițiul 2 · 5 puncte Inversul numărului $\frac{2}{3}$ este egal cu: a) $-\frac{3}{2}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $-\frac{2}{3}$ d) $\frac{3}{2}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 3\}$. Scrisă sub formă de interval, mulțimea $A$ este egală cu: a) $[0,3]$ b) $(0,3)$ c) $[0,3)$ d) $(0,3]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un romb $ABCD$ are diagonalele $AC=5$ cm și $BD=4$ cm. Aria rombului este egală cu: a) $10{\text{cm}}^2$ b) $20{\text{cm}}^2$ c) $9{\text{cm}}^2$ d) $4,5{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte O prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are ca baze triunghiurile echilaterale $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Dacă $AB=A{A}^{\prime }=4$ m, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu: a) $24$ m b) $36$ m c) $48$ m d) $20$ m

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos, diferența dintre temperatura cea mai mare și cea mai mică este egală cu:

a) $25^{\circ }\text{C}$ b) $30^{\circ }\text{C}$ c) $40^{\circ }\text{C}$ d) $35^{\circ }\text{C}$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă triunghiulară regulată are vârful $S$ și baza $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor piramidei $SABC$ este egal cu: a) $6$ b) $5$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a două numere naturale este $17,5$ și unul dintre numere este $7$. Al doilea număr este egal cu: a) $31$ b) $25$ c) $28$ d) $24$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui telefon mobil a scăzut cu $10\%$ și, după o săptămână, noul preț a scăzut cu încă $10\%$. După cele două modificări de preț, telefonul costă $81$ de lei. Prețul inițial al telefonului a fost egal cu: a) $90$ lei b) $95$ lei c) $110$ lei d) $100$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Telefonul mobil de la itemul anterior, cu prețul inițial de $100$ lei, ajunge — după cele două reduceri succesive de $10\%$ — la $81$ de lei. Procentul din prețul inițial cu care s-a micșorat prețul produsului după cele două ieftiniri este egal cu: a) $20\%$ b) $19\%$ c) $10\%$ d) $18\%$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2-a)\cdot x+2$. Dacă punctul $A(2;a)$ aparține graficului funcției $f$, atunci valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $2$ b) $1$ c) $4$ d) $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Simplificând raportul $\frac{x^2-2x-15}{x^2-10x+25}$ cu $x-5$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{5\}$, se obține: a) $\frac{x-3}{x+5}$ b) $\frac{x-3}{x-5}$ c) $\frac{x+3}{x-5}$ d) $\frac{x+3}{x+5}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura 1 reprezintă schița unui cort în formă de prismă dreaptă care are ca baze triunghiurile echilaterale $ABC$ și $DEF$. Se știe că $BC=2$ m și $CF=3$ m.

Calculați distanța de la punctul $A$ la planul $(BCE)$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou cortul în formă de prismă dreaptă cu baze triunghiurile echilaterale $ABC$ și $DEF$, cu $BC=2$ m și $CF=3$ m.

Calculați volumul cortului.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou cortul în formă de prismă dreaptă cu baze triunghiurile echilaterale $ABC$ și $DEF$, cu $BC=2$ m și $CF=3$ m.

Verificați dacă, pentru confecționarea cortului, sunt suficienți $22{\text{m}}^2$ de pânză specială (toate fețele cortului sunt din pânză, inclusiv podeaua).

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura 2 reprezintă schița unui teren dreptunghiular $ABCD$ a cărui arie este de $8$ hectare. Exprimați aria terenului în ${\text{m}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou terenul dreptunghiular $ABCD$ cu aria de $8$ hectare.

Pe acest teren se sapă un șanț $[BP]$ pentru canalizare ($P\in AD$). Unghiurile $ABP$ și $PBC$ sunt congruente. Valoarea raportului dintre aria triunghiului $ABP$ și aria dreptunghiului $ABCD$ este $0,25$. Arătați că $BC=2AB$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou terenul dreptunghiular $ABCD$ cu aria de $8$ hectare și șanțul $[BP]$ ($P\in AD$), cu unghiurile $ABP$ și $PBC$ congruente și $\frac{{\mathcal{A}}_{ABP}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=0,25$ (de unde $BC=2AB$, ca la itemul anterior).

Calculați lungimea, exprimată în metri, a șanțului $[BP]$ și aproximați rezultatul cu cel mai apropiat număr natural.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $624:3=208$.
2. d) Inversul lui $\frac{2}{3}$ este $\frac{3}{2}$.
3. a) $A=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 3\}=[0,3]$.
4. a) Aria rombului $=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10{\text{cm}}^2$.
5. b) Prisma are $9$ muchii de lungime $4$ m ($6$ muchii de bază, câte $3$ în fiecare din cele două triunghiuri echilaterale, plus $3$ muchii laterale), deci suma $=9\cdot 4=36$ m.
6. d) Temperatura maximă este $30^{\circ }\text{C}$ (iulie), iar cea minimă este $-5^{\circ }\text{C}$ (ianuarie); diferența $=30-(-5)=35^{\circ }\text{C}$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) O piramidă triunghiulară $SABC$ are $4$ vârfuri; muchiile sale sunt $SA$, $SB$, $SC$ (laterale) și $AB$, $BC$, $CA$ (ale bazei), deci $6$ muchii în total.
2. c) Media aritmetică $m_a=\frac{a+b}{2}=17,5\Rightarrow a+b=35$. Al doilea număr $=35-7=28$.
3. d) Notăm cu $x$ prețul inițial: $90\%\cdot 90\%\cdot x=81\Rightarrow 0,81x=81\Rightarrow x=100$ lei.
4. b) $p\%$ din $100=81\Rightarrow p=81$; deci prețul s-a micșorat cu $100-81=19$, adică $19\%$ din prețul inițial.
5. a) $f(2)=a$ (din $A(2;a)$ pe grafic) și $f(2)=(2-a)\cdot 2+2=6-2a$. Din $6-2a=a$ rezultă $3a=6\Rightarrow a=2$.
6. c) $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$ și $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$, deci $\frac{x^2-2x-15}{x^2-10x+25}=\frac{(x-5)(x+3)}{(x-5{)}^2}=\frac{x+3}{x-5}$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Fie $M$ mijlocul muchiei $[BC]$. Cum triunghiul $ABC$ este echilateral, $AM\perp BC$ (mediana este și înălțime). Prisma fiind dreaptă, muchia $BE$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $AM\perp BE$; cum $AM$ este perpendiculară pe două drepte concurente ($BC$ și $BE$) din planul $(BCE)$, rezultă $AM\perp (BCE)$, deci $AM$ este distanța de la $A$ la planul $(BCE)$ (2 p). $AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria bazei (triunghi echilateral cu latura $2$): $A_b=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (2 p). $V_{\text{prisma˘}}=A_b\cdot h=\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}{\text{m}}^3$ (înălțimea prismei este muchia laterală $CF=3$ m) (3 p, din care 1 p pentru formulă).

Exercițiul 3 · 5 puncte Aria totală a cortului $=2A_b+A_{lat}=2\sqrt{3}+3\cdot (2\cdot 3)=18+2\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (3 p). Cum $2\sqrt{3}=\sqrt{12}<\sqrt{16}=4$, rezultă $18+2\sqrt{3}<18+4=22$, deci sunt suficienți $22{\text{m}}^2$ de pânză (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $1$ ha $=10000{\text{m}}^2$ (2 p). $8$ ha $=8\cdot 10000=80000{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Unghiul $\sphericalangle ABC$ al dreptunghiului este drept; cum $\sphericalangle ABP\equiv \sphericalangle PBC$, fiecare măsoară $45^{\circ }$, deci triunghiul $ABP$ (dreptunghic în $A$) este isoscel, cu $AB=AP$ (1 p). $A_{ABP}=\frac{A{B}^2}{2}$ (1 p); $A_{ABCD}=AB\cdot BC$ (1 p); din $\frac{A_{ABP}}{A_{ABCD}}=\frac{1}{4}$ (1 p) rezultă $\frac{AB}{2BC}=\frac{1}{4}\Rightarrow BC=2AB$ (1 p, finalizare).

Exercițiul 6 · 5 puncte Din $A_{ABCD}=AB\cdot BC=AB\cdot 2AB=2A{B}^2=80000$ rezultă $A{B}^2=40000\Rightarrow AB=200$ m (2 p). Din teorema lui Pitagora, în triunghiul dreptunghic isoscel $ABP$ ($AB=AP=200$ m): $BP=\sqrt{200^2+200^2}=200\sqrt{2}$ m (2 p). $BP\simeq 283$ m (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, sesiunea specială, Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2009–2010, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — sesiunea specială, Varianta 7, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2009–2010, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2010, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2010, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Singura excepție este Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea: enunțul original cerea „desenați piramida" (o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă), motiv pentru care a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (piramida triunghiulară regulată de vârf $S$ și bază $ABC$). Exercițiile 3 și 4 ai Subiectului al II-lea provin din subpunctele a) și b) ale problemei 3 din documentul original (procentul unui telefon mobil) — fiecare subpunct avea deja un răspuns unic determinat, deci enunțul și răspunsul corect sunt de asemenea 100% autentice. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Notă privind diacriticele: documentul oficial scanat din 2010 conține un bug de encoding la diacritice (de exemplu „ł" în loc de „ț"); toate diacriticele au fost corectate la forma corectă din limba română.

Testul verifică: calculul cu ordinea operațiilor, mulțimi și intervale, aria rombului, muchiile unei prisme triunghiulare, citirea unui grafic; piramida triunghiulară regulată, media aritmetică, procente succesive, funcția de gradul I, simplificarea unei fracții algebrice; geometrie în spațiu (prismă/cort — distanțe, volum, arie totală) și geometrie plană (teren dreptunghiular — arii, teorema lui Pitagora).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.