Modelul oficial CNPEE — Evaluarea Națională 2011

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dacă $31-7+9-x=20$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $-5$ b) $13$ c) $53$ d) $-13$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un biciclist urcă o pantă în $20$ de minute. La coborârea aceleiași pante, biciclistul își dublează viteza. Timpul în care biciclistul coboară panta este de: a) $10$ minute b) $40$ minute c) $30$ minute d) $5$ minute

Exercițiul 3 · 5 puncte După o reducere cu $15\%$, un penar costă $34$ lei. Prețul inițial al penarului a fost de: a) $28,9$ lei b) $49$ lei c) $40$ lei d) $39,1$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Un dreptunghi cu lungimea de $9$ cm și lățimea egală cu $\frac{2}{3}$ din lungime are aria egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $54{\text{cm}}^2$ c) $27{\text{cm}}^2$ d) $30{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră cubul $ALGORITM$ din figura alăturată. Măsura unghiului dintre dreptele $AM$ și $LG$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos sunt reprezentate rezultatele obținute de toți elevii unei clase la teza din semestrul al II-lea la matematică. Numărul elevilor din acea clasă este egal cu:

a) $35$ b) $28$ c) $24$ d) $31$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o piramidă patrulateră regulată cu baza $ABCD$ și vârful $V$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $VABCD$ este egal cu: a) $4$ b) $3$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |3x-2|\le 4\}$. Mulțimea $A\cap \mathbb{N}$ este egală cu: a) $\{1,2\}$ b) $\{0,1,2,3\}$ c) $\{0,1,2\}$ d) $\varnothing$

Exercițiul 3 · 5 puncte Din dublul unui număr necunoscut se scade $0,(3)$. Diferența obținută se împarte la $1,4(6)$ și se obține rezultatul $0,(45)$. Numărul necunoscut este egal cu: a) $1$ b) $\frac{1}{2}$ c) $2$ d) $\frac{1}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+5$, ca în figura alăturată.

Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul: a) $(0,2)$ b) $\left(\frac{5}{2},0\right)$ c) $(0,-5)$ d) $(0,5)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+5$, ca în figura alăturată.

Numărul real $m$ pentru care punctul $A(m,-1)$ este situat pe graficul funcției $f$ este egal cu: a) $-6$ b) $6$ c) $3$ d) $-3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul $a={\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)}^2+(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})$ este egal cu: a) $-4$ b) $5$ c) $9$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un vas în formă de cub cu lungimea muchiei de $1$ m este plin cu apă. Se golește toată apa din vasul cubic într-un vas în formă de paralelipiped dreptunghic care are înălțimea de $10$ dm, iar dimensiunile bazei de $25$ dm și de $8$ dm.

Calculați câți litri de apă sunt în vasul cubic.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou vasul cubic cu muchia de $1$ m, plin cu apă, golit într-un vas paralelipipedic cu înălțimea de $10$ dm și dimensiunile bazei de $25$ dm și $8$ dm.

Calculați aria laterală a vasului paralelipipedic.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou vasul cubic cu muchia de $1$ m, plin cu apă, golit într-un vas paralelipipedic cu înălțimea de $10$ dm și dimensiunile bazei de $25$ dm și $8$ dm.

Calculați înălțimea la care se ridică apa în vasul paralelipipedic.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schița unui rond de flori, circular, care se află în interiorul unei grădini dreptunghiulare și care este tangent laturilor $(AB)$ și $(CD)$ ale grădinii în punctele $M$, respectiv $N$. Se știe că: $AB=9$ m și $BC=6$ m.

Calculați aria rondului.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou rondul de flori circular, tangent laturilor $(AB)$ și $(CD)$ ale grădinii dreptunghiulare în punctele $M$, respectiv $N$, cu $AB=9$ m și $BC=6$ m.

Verificați dacă aria porțiunii hașurate este mai mică decât aria rondului circular. ($3,14<\pi <3,15$)

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou grădina dreptunghiulară $ABCD$, cu $AB=9$ m și $BC=6$ m, și rondul de flori circular tangent laturilor $(AB)$ și $(CD)$ în punctele $M$, respectiv $N$.

Arătați că, oriunde am planta doi copaci în zona hașurată a grădinii, distanța dintre aceștia este mai mică decât $11$ m.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $31-7+9-x=20\Rightarrow 33-x=20\Rightarrow x=13$.
2. a) Distanța parcursă este aceeași la urcare și la coborâre. La viteză dublă, timpul se înjumătățește: $20:2=10$ minute.
3. c) Dacă prețul inițial este $P$, atunci $0,85\cdot P=34\Rightarrow P=34:0,85=40$ lei.
4. b) Lățimea $=\frac{2}{3}\cdot 9=6$ cm. Aria $=9\cdot 6=54{\text{cm}}^2$.
5. c) $AM$ este diagonala feței $ARMO$, iar $LG$ este paralelă cu muchia $AO$ a aceleiași fețe. Unghiul dintre diagonala unui pătrat și una dintre laturile sale este $45^{\circ }$.
6. d) Numărul elevilor $=3+4+5+7+5+4+3=31$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) O piramidă patrulateră are $4$ fețe laterale (triunghiurile $VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$), plus baza $ABCD$.
2. c) $|3x-2|\le 4\iff -4\le 3x-2\le 4\iff -2\le 3x\le 6\iff -\frac{2}{3}\le x\le 2$. Numerele naturale din acest interval sunt $0,1,2$, deci $A\cap \mathbb{N}=\{0,1,2\}$.
3. b) Notând $x$ numărul necunoscut: $\frac{2x-\frac{1}{3}}{\frac{22}{15}}=\frac{5}{11}\Rightarrow 2x-\frac{1}{3}=\frac{5}{11}\cdot \frac{22}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
4. d) $f(0)=-2\cdot 0+5=5$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,5)$.
5. c) $A(m,-1)\in G_f\iff f(m)=-1\iff -2m+5=-1\iff -2m=-6\iff m=3$.
6. d) ${\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)}^2=\frac{1}{4}-\sqrt{3}+3=\frac{13}{4}-\sqrt{3}$; ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)}^2=\frac{3}{4}+\sqrt{3}+1=\frac{7}{4}+\sqrt{3}$; suma acestor două este $\frac{13}{4}+\frac{7}{4}=5$. $(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=1-5=-4$. Deci $a=5+(-4)=1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Muchia cubului este egală cu $10$ dm (2 p). $V_{cub}=10^3=1000{\text{dm}}^3$, deci $V_{ap\breve{a}}=1000$ litri (2 p), adică $1000$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Perimetrul bazei vasului paralelipipedic $P_{baz\breve{a}}=2\cdot (25+8)=66$ dm (2 p). Aria laterală $A_{lat}=P_{baz\breve{a}}\cdot h=66\cdot 10=660{\text{dm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Notăm cu $h$ înălțimea cerută. Volumul apei este $V=25\cdot 8\cdot h=1000{\text{dm}}^3$ (3 p). Rezultă $h=1000:200=5$ dm (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Rondul este tangent laturilor paralele $(AB)$ și $(CD)$, deci diametrul rondului este egal cu $BC$, iar raza rondului este $r=6:2=3$ m (2 p). Aria rondului este $\pi r^2=9\pi {\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria dreptunghiului este egală cu $9\cdot 6=54{\text{m}}^2$ (2 p). Aria porțiunii hașurate este egală cu $(54-9\pi ){\text{m}}^2$ (1 p). Justificarea faptului că $54-9\pi <9\pi$: inegalitatea este echivalentă cu $54<18\pi$, adevărată deoarece $\pi >3,14>3\Rightarrow 18\pi >54$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cea mai mare distanță dintre două puncte ale dreptunghiului $ABCD$ (care include zona hașurată) este lungimea diagonalei $[AC]$ (2 p). Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=9^2+6^2=117$, deci $AC=\sqrt{117}$ m (2 p). Finalizare: $117<121=11^2\Rightarrow AC<11$ m, deci distanța dintre oricare doi copaci din zona hașurată este mai mică decât $11$ m (1 p).

Modelul oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2010–2011. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4a de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile originale de desen/reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), pentru anul școlar 2010–2011. Modelul a fost distribuit oficial elevilor și profesorilor înaintea susținerii examenului real, ca exemplu al formatului, structurii și dificultății probei. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial (subiect și barem).

Notă de transparență privind formatul: în 2010–2011, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest model în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul oficial, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Singura excepție este Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea: enunțul original cerea „desenați piramida" (o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă) și Exercițiul 4a, care cerea „reprezentați grafic funcția" (aceeași situație) — ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric, respectiv funcția, din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calcul cu ordinea operațiilor, medie a două mărimi ca raport de viteze, procente, aria dreptunghiului, unghiuri în cub, citirea unui grafic de bare; piramidă patrulateră regulată, mulțimi definite prin modul, ecuație cu fracții zecimale periodice, funcția de gradul I, calcul cu radicali; geometrie în spațiu (cub și paralelipiped dreptunghic — volum și arie laterală) și un cerc înscris într-un dreptunghi (arie, comparare de arii, teorema lui Pitagora).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.