Test de pregătire în format oficial — EN (proveniență neconfirmată, 2011)

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Inversul numărului $\frac{5}{3}$ este egal cu: a) $\frac{3}{5}$ b) $\frac{5}{3}$ c) $-\frac{5}{3}$ d) $\frac{8}{3}$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $8$ și $12$ este egală cu: a) $9$ b) $20$ c) $10$ d) $96$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea soluțiilor inecuației $2x-4\ge 0$ este egală cu: a) $(2,\infty )$ b) $(-\infty ,2]$ c) $[-2,\infty )$ d) $[2,\infty )$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un pătrat cu perimetrul de $16$ cm are latura de: a) $2$ cm b) $4$ cm c) $8$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $VABC$ în care $AB=5$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu:

a) $15$ cm b) $20$ cm c) $25$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă profiturile lunare ale unei firme în primul semestru al anului 2011. Profitul total realizat de firmă în această perioadă de timp este egal cu:

a) $300$ mii lei b) $350$ mii lei c) $400$ mii lei d) $420$ mii lei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ este reprezentat în figura alăturată (baza $ABCD$, respectiv fața de sus $EFGH$).

Numărul muchiilor paralelipipedului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $10$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră mulțimea $A=\left\{x\mid x\in \mathbb{Z}-\{-1\},\frac{3x+2}{x+1}\in \mathbb{Z}\right\}$. Mulțimea $A$ este egală cu: a) $\{0,2\}$ b) $\{-2,0\}$ c) $\{-1,0\}$ d) $\varnothing$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră două numere reale pozitive distincte. Suma lor se înmulțește cu diferența lor. Produsul astfel obținut este un număr pozitiv cu $4$ mai mic decât pătratul numărului mai mare. Cel mai mic dintre cele două numere este egal cu: a) $1$ b) $4$ c) $2$ d) $\sqrt{2}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Punctele în care graficul funcției $f$ intersectează axele de coordonate $Ox$, respectiv $Oy$, sunt: a) $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ și $(0,1)$ b) $\left(\frac{1}{2},0\right)$ și $(0,1)$ c) $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ și $(0,-1)$ d) $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ și $(1,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Aria triunghiului determinat de reprezentarea grafică a funcției $f$ și axele de coordonate $Ox$ și $Oy$ este egală cu: a) $\frac{1}{2}{\text{u}}^2$ b) $\frac{1}{4}{\text{u}}^2$ c) $1{\text{u}}^2$ d) $\frac{1}{8}{\text{u}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Un exemplu de numere întregi $a,b,c$ astfel încât să aibă loc egalitatea $x^3-3x^2-10x=(x+a)(x+b)(x+c)$, pentru orice număr real $x$, este: a) $a=0,b=2,c=-5$ b) $a=0,b=-2,c=5$ c) $a=1,b=2,c=-5$ d) $a=3,b=-2,c=5$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O cameră frigorifică în formă de paralelipiped dreptunghic este plină cu pachete cubice, fiecare având latura de $4$ dm, fără să rămână goluri între ele. Podeaua camerei frigorifice este acoperită complet cu un strat de $7$ pachete, așezate unul după altul, „în șir indian" (ca în figura alăturată). Înălțimea camerei este de $5$ ori mai mare decât înălțimea unui pachet.

Calculați aria suprafeței podelei încăperii.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou camera frigorifică în formă de paralelipiped dreptunghic, plină cu pachete cubice cu latura de $4$ dm, cu podeaua acoperită de un strat de $7$ pachete așezate în șir și cu înălțimea de $5$ ori mai mare decât înălțimea unui pachet, adică $L=28$ dm, $l=4$ dm și $h=20$ dm.

Arătați că aria laterală a camerei frigorifice este egală cu $1280$ dm².

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou camera frigorifică în formă de paralelipiped dreptunghic, plină cu pachete cubice cu latura de $4$ dm, cu podeaua acoperită de un strat de $7$ pachete așezate în șir și cu înălțimea de $5$ ori mai mare decât înălțimea unui pachet, adică $L=28$ dm, $l=4$ dm și $h=20$ dm.

Determinați volumul camerei frigorifice, exprimat în litri.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei piese de carton, linia curbă reprezentând două semicercuri.

Calculați lungimea conturului piesei.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piesa de carton de mai jos, linia curbă reprezentând două semicercuri.

Determinați aria suprafeței piesei.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piesa de carton de mai jos, linia curbă reprezentând două semicercuri (avem la dispoziție oricâte piese de acest fel).

Arătați că există un mod de aranjare, fără suprapunere, a mai multor piese de acest fel, astfel încât să acopere complet un pătrat cu lungimea laturii de $16$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) Inversul lui $\frac{5}{3}$ este $\frac{3}{5}$.
2. c) Media aritmetică $=\frac{8+12}{2}=10$.
3. d) $2x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 2$, deci mulțimea soluțiilor este $[2,\infty )$.
4. b) Latura $=16:4=4$ cm.
5. d) Tetraedrul regulat are $6$ muchii egale, deci suma lungimilor este $6\cdot 5=30$ cm.
6. b) Profitul total $=50+60+50+70+50+70=350$ mii lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Orice paralelipiped dreptunghic are $12$ muchii ($4$ pe bază, $4$ pe fața de sus, $4$ verticale).
2. b) $\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3(x+1)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$, care este întreg doar dacă $x+1\in \{-1,1\}$, adică $x\in \{-2,0\}$ (ambele diferite de $-1$). Deci $A=\{-2,0\}$.
3. c) Notând $a>b>0$: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2=a^2-4\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2$ (numărul mai mic).
4. a) $f(x)=0\Rightarrow 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$, deci graficul taie $Ox$ în $\left(-\frac{1}{2},0\right)$; $f(0)=1$, deci taie $Oy$ în $(0,1)$.
5. b) Triunghiul are vârfurile $O(0,0)$, $\left(-\frac{1}{2},0\right)$, $(0,1)$, deci aria $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}{\text{u}}^2$.
6. a) $x^3-3x^2-10x=x(x^2-3x-10)=x(x-5)(x+2)=(x+0)(x+2)(x-5)$, deci $a=0,b=2,c=-5$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cele $7$ pachete de pe stratul de jos sunt așezate unul după altul, „în șir indian". Dimensiunile camerei frigorifice sunt: $L=7\cdot 4\text{dm}=28$ dm, $l=4$ dm și $h=5\cdot 4\text{dm}=20$ dm. Aria podelei este $A_b=28\text{dm}\cdot 4\text{dm}=112{\text{dm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Perimetrul bazei este $P_b=2(28+4)=64$ dm. Aria laterală este $A_l=h\cdot P_b=20\text{dm}\cdot 64\text{dm}=1280{\text{dm}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Volumul este $V=28\text{dm}\cdot 4\text{dm}\cdot 20\text{dm}=2240{\text{dm}}^3=2240$ litri (deoarece $1{\text{dm}}^3=1$ litru).

Exercițiul 4 · 5 puncte Lungimea conturului $=2\cdot L_{\text{semicerc}}+2\cdot 4\text{cm}+8\text{cm}=4(\pi +4)$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Decupăm semidiscul inferior și îl așezăm în spațiul gol de sus. Se formează un dreptunghi cu lungimea de $8$ cm și lățimea de $4$ cm. Aria piesei este egală cu aria dreptunghiului format, adică $A_{\text{piesa˘}}=8\text{cm}\cdot 4\text{cm}=32{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Alegem $2$ piese și le așezăm astfel încât să formeze un pătrat cu latura de $8$ cm, deci de arie $64{\text{cm}}^2$. Pătratul mare are latura de $16$ cm, deci are aria de $256{\text{cm}}^2$. Prin urmare, pentru a acoperi toată suprafața pătratului mare, este nevoie de $256:64=4$ pătrate de latură $8$ cm, deci $4\cdot 2=8$ piese inițiale.

Test de pregătire în formatul oficial al Evaluării Naționale, atribuit anului școlar 2010–2011 („sesiunea specială, Varianta 9"). Proveniența nu a putut fi confirmată: nu există o publicare CNEE a unei sesiuni speciale în 2011. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepții semnalate: Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcina de desen originală, respectiv din cerința „reprezentați grafic"). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

⚠️ Proveniență neconfirmată — nu îl atribuim Ministerului Educației. Antetul testului spune „Evaluarea Națională 2010–2011, sesiunea specială, Varianta 9", dar nu am putut confirma că în 2011 a existat o sesiune specială: ordinul de organizare (OMECTS 4801/31.08.2010) prevede o singură serie de probe, iar pagina oficială subiecte2011.edu.ro nu are, în niciuna dintre capturile din arhiva web, rubrica „Sesiune specială" — spre deosebire de 2010 și de 2012, care o au. Documentul după care s-a făcut transcrierea era o reculegere de pe un site terț, nu un fișier publicat de Centrul Național de Evaluare și Examinare. Îl păstrăm ca test de pregătire în formatul oficial al examenului: enunțurile, figurile și baremul sunt coerente și verificate, dar nu putem spune că sunt un subiect dat la Evaluarea Națională.

Notă de transparență privind formatul: în 2011, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la itemii Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2011, iar la fiecare item au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Există două excepții, ambele semnalate explicit: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea — enunțul original cerea „desenați paralelipipedul dreptunghic" (o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă), motiv pentru care a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$); și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea — cerința „reprezentați grafic funcția" a fost reformulată ca întrebare despre punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, informație folosită de fapt și în enunțul original pentru a determina aria de la itemul următor. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calcul cu fracții (inversul unui număr), medie aritmetică, inecuații și scrierea sub formă de interval, perimetrul pătratului, tetraedru regulat, citirea unui grafic cu bare; paralelipiped dreptunghic, mulțimi definite prin condiții de divizibilitate, numere reale (diferența pătratelor), funcția liniară și aria unui triunghi, descompunerea unui polinom de gradul 3 în factori; geometrie în spațiu (paralelipiped dreptunghic — arii și volum) și o figură compusă dintr-un dreptunghi și două semicercuri (perimetru, arie și pavarea unui pătrat).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.