Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2012

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18-12:3$ este egal cu: a) $2$ b) $12$ c) $14$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $17$ și $23$ este egală cu: a) $23$ b) $40$ c) $17$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un sfert din lungimea unui drum reprezintă $12$ km. Lungimea drumului este egală cu: a) $48$ km b) $16$ km c) $3$ km d) $24$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Suma dintre lungimea și lățimea unui dreptunghi este egală cu $10$ cm. Perimetrul acestui dreptunghi este egal cu: a) $10$ cm b) $20$ cm c) $40$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCDMNPQ$ din figura alăturată. Măsura unghiului dintre dreptele $AB$ și $DQ$ este egală cu:

a) $90^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $0^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase după înălțimile lor, măsurate în centimetri.

Numărul elevilor care au înălțimea mai mică de $140$ cm este egal cu: a) $15$ b) $5$ c) $20$ d) $25$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă patrulateră regulată are vârful $V$ și baza $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $VABCD$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul $a=2\cdot (8+\sqrt{18})-3\cdot (4+\sqrt{8})$ este egal cu: a) $4$ b) $-4$ c) $2$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un pix și o carte costă $10$ lei, cartea și un caiet costă $9$ lei, iar caietul și pixul costă $5$ lei. Prețul cărții este egal cu: a) $3$ lei b) $2$ lei c) $5$ lei d) $7$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6-3x$. Pentru a reprezenta grafic funcția $f$ în sistemul de coordonate $xOy$, se determină punctele de intersecție ale graficului cu cele două axe, ca în figura alăturată.

Aceste puncte sunt: a) $(0,6)$ și $(2,0)$ b) $(0,-6)$ și $(2,0)$ c) $(0,6)$ și $(-2,0)$ d) $(0,6)$ și $(6,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Determinați numărul real $p$ pentru care punctul $A(p,p+4)$ aparține graficului funcției $f$ de la itemul anterior. Numărul $p$ este egal cu: a) $2$ b) $\frac{1}{2}$ c) $-1$ d) $1$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(2-\frac{8}{x+2}\right):\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea lui $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) $-2$ c) $2$ d) $4$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schematic un turn format din prisma dreaptă $ABCDMNPQ$ cu baza pătrat și piramida patrulateră regulată $SMNPQ$. Se știe că $AB=5$ m, $AM=12$ m și $m(\sphericalangle MSN)=60^{\circ }$.

Calculați distanța dintre punctele $D$ și $M$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou turnul format din prisma dreaptă $ABCDMNPQ$ cu baza pătrat și piramida patrulateră regulată $SMNPQ$, ca în figura de mai jos. Se știe că $AB=5$ m, $AM=12$ m și $m(\sphericalangle MSN)=60^{\circ }$.

Calculați aria laterală a piramidei $SMNPQ$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou turnul format din prisma dreaptă $ABCDMNPQ$ cu baza pătrat și piramida patrulateră regulată $SMNPQ$, ca în figura de mai jos. Se știe că $AB=5$ m, $AM=12$ m și $m(\sphericalangle MSN)=60^{\circ }$.

Arătați că înălțimea turnului este mai mică decât $16$ m.

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ din figura de mai jos reprezintă schița unei mese de biliard. Dimensiunile mesei sunt $AB=12$ dm și $BC=18$ dm.

Calculați aria dreptunghiului $ABCD$, exprimată în metri pătrați.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou masa de biliard — dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ dm și $BC=18$ dm, ca în figura de mai jos.

Determinați perimetrul triunghiului $APB$, unde $P$ este mijlocul segmentului $[CD]$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou masa de biliard — dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ dm și $BC=18$ dm, ca în figura de mai jos.

O bilă se află în punctul $M$, mijlocul laturii $[AB]$. Un jucător lovește bila, care atinge latura $[BC]$ în punctul $N$ și apoi ajunge în punctul $D$. Știind că unghiurile $MNB$ și $CND$ sunt congruente, arătați că dreptele $MN$ și $ND$ sunt perpendiculare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $18-12:3=18-4=14$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. d) Media aritmetică $=\frac{17+23}{2}=\frac{40}{2}=20$.
3. a) Un sfert din lungimea drumului este $12$ km, deci lungimea drumului este $12\cdot 4=48$ km.
4. b) Perimetrul $=2\cdot (\text{lungime}+\text{la˘țime})=2\cdot 10=20$ cm.
5. a) Muchia $DQ$ este perpendiculară pe planul bazei $ABCD$ (muchie laterală a cubului), iar dreapta $AB$ este conținută în planul bazei, deci unghiul dintre $AB$ și $DQ$ este $90^{\circ }$.
6. b) Elevii cu înălțimea mai mică de $140$ cm sunt cei din clasele $120$-$129$ și $130$-$139$: $2+3=5$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) O piramidă patrulateră regulată are $4$ fețe laterale (triunghiurile $VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$ — câte una pentru fiecare latură a bazei $ABCD$), plus baza.
2. a) $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $a=2\cdot (8+3\sqrt{2})-3\cdot (4+2\sqrt{2})=16+6\sqrt{2}-12-6\sqrt{2}=4$.
3. d) Notând cu $x$ prețul cărții: $10-x$ este prețul pixului, iar $x-5$ este prețul caietului (din caiet+pix$=5$). Din caiet+carte$=9$: $(x-5)+x=9\Rightarrow 2x-5=9\Rightarrow x=7$.
4. a) $f(0)=6-3\cdot 0=6\Rightarrow$ punctul $(0,6)$; $f(x)=0\Rightarrow 6-3x=0\Rightarrow x=2\Rightarrow$ punctul $(2,0)$.
5. b) $A\in G_f\Rightarrow f(p)=p+4\Rightarrow 6-3p=p+4\Rightarrow 2=4p\Rightarrow p=\frac{1}{2}$.
6. c) $2-\frac{8}{x+2}=\frac{2(x+2)-8}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}=\frac{2(x-2)}{x+2}$; $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}$. Deci $E(x)=\frac{2(x-2)}{x+2}\cdot \frac{x+2}{x-2}=2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Baza $ABCD$ este pătrat cu $AB=5$ m, deci $AD=5$ m (2 p). Triunghiul $ADM$ este dreptunghic în $A$ (muchia $AM$ este perpendiculară pe planul bazei), deci $DM=\sqrt{A{D}^2+A{M}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $SMN$ este isoscel ($SM=SN$, muchii laterale ale piramidei) cu $m(\sphericalangle MSN)=60^{\circ }$, deci este echilateral, adică $SM=SN=MN=5$ m (2 p). Aria laterală $=4\cdot \frac{5^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie $O$ centrul pătratului $MNPQ$: $OM=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ m (jumătate din diagonala pătratului). Triunghiul $SOM$ este dreptunghic în $O$: $S{O}^2=S{M}^2-O{M}^2=25-12,5=12,5\Rightarrow SO=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ m (2 p). Înălțimea turnului este egală cu $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}+12\right)$ m (1 p). Cum $5\sqrt{2}=\sqrt{50}<\sqrt{64}=8$, rezultă $\frac{5\sqrt{2}}{2}<4$, deci înălțimea turnului este mai mică decât $4+12=16$ m (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria dreptunghiului $=AB\cdot BC=12\cdot 18=216{\text{dm}}^2$ (3 p). Cum $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2$, aria este $216:100=2,16{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AD=BC=18$ dm și $DP=CP=6$ dm (jumătăți din $CD=AB=12$ dm). Triunghiurile $ADP$ și $BCP$ sunt dreptunghice (în $D$, respectiv $C$), deci $AP=BP=\sqrt{18^2+6^2}=\sqrt{324+36}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$ dm (3 p). Perimetrul ${\mathcal{P}}_{APB}=AP+BP+AB=6\sqrt{10}+6\sqrt{10}+12=\left(12+12\sqrt{10}\right)$ dm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Din $\sphericalangle MBN\equiv \sphericalangle DCN$ (unghiuri drepte ale dreptunghiului) și $\sphericalangle MNB\equiv \sphericalangle DNC$ (dat), rezultă $△BNM\sim △CND$ (1 p). Din asemănare, $\frac{MB}{DC}=\frac{BN}{CN}$, cu $MB=6$ dm (jumătate din $AB$) și $DC=12$ dm, deci $\frac{BN}{CN}=\frac{1}{2}$ (1 p). Cum $BN+NC=BC=18$ dm, rezultă $BN=6$ dm și $NC=12$ dm (1 p). Triunghiurile $BNM$ și $CND$ sunt dreptunghice isoscele ($BN=BM=6$, respectiv $CN=CD=12$), deci $m(\sphericalangle MNB)=m(\sphericalangle DNC)=45^{\circ }$ (1 p). Cum $B$, $N$, $C$ sunt coliniare, $m(\sphericalangle MND)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }\Rightarrow MN\perp ND$ (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 10, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială a anului școlar 2011–2012, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Itemii 1 și 4 de la Subiectul al II-lea, reformulați din sarcinile de desen originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 10, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială din anul școlar 2011–2012, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2012, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2012, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Excepție fac doi exerciții ale Subiectului al II-lea, care cereau sarcini de desen (incompatibile cu formatul grilă) și au fost reformulați ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric, respectiv funcția, din enunțul oficial: Exercițiul 1 (desenul piramidei patrulatere regulate de vârf $V$ și bază $ABCD$, reformulat ca întrebare despre numărul fețelor laterale) și Exercițiul 4 (reprezentarea grafică a funcției $f(x)=6-3x$, reformulată ca întrebare despre punctele de intersecție cu axele, necesare pentru trasarea graficului). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calcul cu ordinea operațiilor, medie aritmetică, procente dintr-o mărime, perimetrul dreptunghiului, unghiuri în cub, tabel de frecvențe; piramidă patrulateră regulată, calcul cu radicali, sistem de prețuri (ecuație), funcția de gradul I (grafic, punct pe grafic), fracție algebrică (simplificare); geometrie în spațiu — un turn format dintr-o prismă și o piramidă patrulateră regulată (diagonală, arie laterală, inegalitate cu radicali) și o masă de biliard dreptunghiulară (arie, perimetru triunghi, triunghiuri asemenea și perpendicularitate).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.