Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2013, Varianta 1

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $6\cdot 2+6$ este egal cu: a) $48$ b) $18$ c) $14$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{15}=\frac{2}{5}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $6$ b) $30$ c) $37,5$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural care aparține intervalului $[10,13)$ este numărul: a) $11$ b) $13$ c) $9$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria unui triunghi care are o latură de $6$ cm și înălțimea corespunzătoare ei de $5$ cm este egală cu: a) $30{\text{cm}}^2$ b) $11{\text{cm}}^2$ c) $15{\text{cm}}^2$ d) $1{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral. Dacă $AB=A{A}^{\prime }=5$ cm, atunci perimetrul patrulaterului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egal cu:

a) $15\text{cm}$ b) $10\text{cm}$ c) $25\text{cm}$ d) $20\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Membrii ansamblului folcloric al unei școli sunt grupați după vârstă astfel:

Numărul elevilor din ansamblu cu vârsta de $13$ ani este egal cu: a) $10$ b) $8$ c) $9$ d) $36$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $8$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezultatul calculului $\sqrt{3}+\sqrt{12}-3\sqrt{3}$ este egal cu: a) $3\sqrt{3}$ b) $6\sqrt{3}$ c) $0$ d) $2\sqrt{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a$ și $b$, $a>b$, știind că suma lor este egală cu $10$, iar diferența lor este egală cu $2$. Numărul $a$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$. Rezultatul calculului $f(0)+f(-1)$ este egal cu: a) $2$ b) $0$ c) $-1$ d) $1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$. Graficul funcției $f$, reprezentat într-un sistem de coordonate $xOy$, intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(-1,0)$ b) $(0,1)$ c) $(1,0)$ d) $(0,-1)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(x-1-\frac{x^2}{x+2}\right):\frac{x-2}{x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) depinde de $x$ b) $x+1$ c) $1$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini în formă de dreptunghi $ABCD$ cu lungimea $AB=8$ m și lățimea $BC=6$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $(AB)$, punctul $P$ este mijlocul segmentului $(AD)$, iar punctul $N$ este situat pe segmentul $(DC)$, astfel încât $NC=3$ m. Zona hașurată reprezintă partea din grădină acoperită cu gazon, iar zona nehașurată reprezintă partea din grădină unde sunt plantate flori.

Calculați perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini în formă de dreptunghi $ABCD$ cu lungimea $AB=8$ m și lățimea $BC=6$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $(AB)$, punctul $P$ este mijlocul segmentului $(AD)$, iar punctul $N$ este situat pe segmentul $(DC)$, astfel încât $NC=3$ m. Zona hașurată reprezintă partea din grădină acoperită cu gazon, iar zona nehașurată reprezintă partea din grădină unde sunt plantate flori.

Arătați că aria suprafeței acoperite cu gazon este egală cu $27{\text{m}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini în formă de dreptunghi $ABCD$ cu lungimea $AB=8$ m și lățimea $BC=6$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $(AB)$, punctul $P$ este mijlocul segmentului $(AD)$, iar punctul $N$ este situat pe segmentul $(DC)$, astfel încât $NC=3$ m. Zona hașurată reprezintă partea din grădină acoperită cu gazon, iar zona nehașurată reprezintă partea din grădină unde sunt plantate flori.

Verificați dacă aria suprafeței pe care sunt plantate flori este egală cu aria trapezului $MBCN$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o piatră semiprețioasă în formă de piramidă triunghiulară regulată $ABCD$, cu baza triunghiul $BCD$. Se știe că $m(\sphericalangle CAD)=90°$, iar $CD=4$ cm.

Calculați perimetrul triunghiului $BCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o piatră semiprețioasă în formă de piramidă triunghiulară regulată $ABCD$, cu baza triunghiul $BCD$. Se știe că $m(\sphericalangle CAD)=90°$, iar $CD=4$ cm.

Arătați că aria suprafeței laterale a piramidei este egală cu $12{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o piatră semiprețioasă în formă de piramidă triunghiulară regulată $ABCD$, cu baza triunghiul $BCD$. Se știe că $m(\sphericalangle CAD)=90°$, iar $CD=4$ cm.

Introducem piatra semiprețioasă într-un vas plin cu apă. Arătați că, la scufundarea completă a pietrei, din vas se varsă mai puțin de $4$ mililitri de apă. Se consideră cunoscut faptul că $1,4<\sqrt{2}<1,5$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $6\cdot 2+6=12+6=18$ (întâi înmulțirea, apoi adunarea).
2. a) $\frac{a}{15}=\frac{2}{5}\Rightarrow a=\frac{15\cdot 2}{5}=\frac{30}{5}=6$.
3. d) Intervalul $[10,13)$ conține $10$ (capătul din stânga este inclus), deci cel mai mic număr natural din interval este $10$.
4. c) Aria $=\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15{\text{cm}}^2$.
5. d) Patrulaterul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este o față laterală a prismei, cu $AB=B{B}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }=A^{\prime }A=5$ cm (pătrat), deci perimetrul $=4\cdot 5=20$ cm.
6. b) Din tabel: la vârsta de $13$ ani sunt $8$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $12$ muchii: $4$ pe baza $ABCD$, $4$ pe baza $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii laterale ($A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$).
2. c) $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, deci $\sqrt{3}+\sqrt{12}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(1+2-3)\sqrt{3}=0$.
3. a) $a+b=10$ și $a-b=2\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6$ (și $b=4$).
4. d) $f(0)=0+1=1$, $f(-1)=-1+1=0$, deci $f(0)+f(-1)=1+0=1$.
5. a) Graficul intersectează axa $Ox$ unde $f(x)=0$: $x+1=0\Rightarrow x=-1$, deci punctul $(-1,0)$.
6. c) $x-1-\frac{x^2}{x+2}=\frac{(x-1)(x+2)-x^2}{x+2}=\frac{x^2+x-2-x^2}{x+2}=\frac{x-2}{x+2}$. Deci $E(x)=\frac{x-2}{x+2}:\frac{x-2}{x+2}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului $ABCD$: $P=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (8+6)$ (3 p) $=28$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $P$ este mijlocul lui $(AD)$, deci $AP=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3$ m, iar $M$ este mijlocul lui $(AB)$, deci $AM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$ m. Aria triunghiului $APM$ (dreptunghic în $A$) $=\frac{AM\cdot AP}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6{\text{m}}^2$ (2 p). $MB=AB-AM=8-4=4$ m, deci aria trapezului $MBCN=\frac{(MB+NC)\cdot BC}{2}=\frac{(4+3)\cdot 6}{2}=21{\text{m}}^2$ (2 p). Aria gazonului $=\text{Aria}(APM)+\text{Aria}(MBCN)=6+21=27{\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD=AB\cdot BC=8\cdot 6=48{\text{m}}^2$ (2 p). Aria suprafeței cu flori $=\text{Aria}(ABCD)-\text{Aria gazon}=48-27=21{\text{m}}^2$, egală cu aria trapezului $MBCN$ (calculată la itemul anterior, $21{\text{m}}^2$) (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Piramida fiind regulată, baza $BCD$ este echilateral cu latura $CD=4$ cm, deci $P_{BCD}=3\cdot CD=3\cdot 4$ (3 p) $=12$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fața laterală $ACD$ este triunghi dreptunghic isoscel cu unghiul drept în $A$ ($AC=AD$, $m(\sphericalangle CAD)=90°$), deci apotema piramidei (înălțimea din $A$ pe ipotenuza $CD$) este $a_p=\frac{CD}{2}=\frac{4}{2}=2$ cm (2 p). Aria laterală $=\frac{P_{BCD}\cdot a_p}{2}=\frac{12\cdot 2}{2}=12{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Aria triunghiului echilateral $BCD$ (latura $4$) este $\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Înălțimea piramidei este $h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm (1 p). Volumul pietrei $=\frac{A_{BCD}\cdot h}{3}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{6}}{3}}{3}=\frac{8\sqrt{18}}{9}=\frac{8\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{8\sqrt{2}}{3}{\text{cm}}^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}$ ml (2 p). Deoarece $\sqrt{2}<1,5$, avem $8\sqrt{2}<8\cdot 1,5=12$, deci $V=\frac{8\sqrt{2}}{3}<\frac{12}{3}=4$ ml: din vas se varsă mai puțin de $4$ ml de apă (1 p).

Examen oficial de rezervă de Evaluare Națională, Varianta 1, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2012–2013, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 (partea b) de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de REZERVĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 1, susținut de absolvenții clasei a VIII-a care au avut nevoie de sesiunea de rezervă în anul școlar 2012–2013, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document diferit de examenul principal din aceeași sesiune (Varianta 3, disponibil separat pe site). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial de rezervă.

Notă de transparență privind formatul: în 2013, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul de rezervă din 2013, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" și Exercițiul 4 (partea b) cerea „reprezentați grafic funcția"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, respectiv funcția $f(x)=x+1$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calculul cu ordinea operațiilor, o proporție, intervale de numere naturale, aria unui triunghi, o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral (perimetrul unei fețe laterale), citirea unui tabel de frecvențe; elementele cubului, radicali, un sistem sumă-diferență, funcția liniară, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (dreptunghi — arii compuse: gazon și flori) și geometrie în spațiu (piramidă triunghiulară regulată — perimetrul bazei, aria laterală, volumul și o estimare cu inegalități între radicali).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.