Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2014

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $7\cdot 3+14:2$ este egal cu: a) $35$ b) $21$ c) $28$ d) $17,5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Patru caiete de același tip costă $8$ lei. Trei caiete de același tip costă: a) $6\text{lei}$ b) $8\text{lei}$ c) $2\text{lei}$ d) $24\text{lei}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural par care aparține intervalului $(-2,3]$ este numărul: a) $3$ b) $0$ c) $4$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui pătrat este egal cu $20$ cm. Aria pătratului este egală cu: a) $100{\text{cm}}^2$ b) $25{\text{cm}}^2$ c) $400{\text{cm}}^2$ d) $10{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$, în care $BC=6$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat $ABCD$ este egală cu:

a) $36\text{cm}$ b) $24\text{cm}$ c) $18\text{cm}$ d) $30\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase, după sportul la care sunt înscriși în cadrul unui club sportiv.

Numărul elevilor din clasă care sunt înscriși la volei este egal cu: a) $7$ b) $26$ c) $16$ d) $10$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$.

Numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $8$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\frac{5}{3}-\frac{3}{7}$ și $b=\frac{1}{3}+\frac{3}{7}$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $2$ b) $-1$ c) $1$ d) $0$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o clasă sunt $27$ de elevi. Numărul băieților din clasă reprezintă $80\%$ din numărul fetelor din clasă. Numărul băieților din acea clasă este egal cu: a) $12$ b) $15$ c) $9$ d) $18$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. Valoarea sumei $f(-2)+f(2)$ este egală cu: a) $8$ b) $-4$ c) $0$ d) $-8$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. Fie $O$ originea sistemului de coordonate $xOy$, $A$ punctul de pe graficul funcției $f$ care are abscisa egală cu $2$, iar $B$ punctul de pe graficul funcției $f$ care are ordonata egală cu $2$, ca în figura alăturată.

Aria triunghiului $OAB$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $6$ d) $1$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x+1}{x^2+1}:\frac{(x-1{)}^2-x(x-2)}{x^2+1}$, unde $x$ este număr real. Soluția reală a ecuației $E(x)=1$ este egală cu: a) $1$ b) $-1$ c) $0$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unei zone de agrement în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AB=30$ m și lățimea $BC=20$ m. În interiorul zonei de agrement se află un lac în formă de cerc cu raza de $10$ m. Cercul intersectează latura $AB$ în punctul $P$ și latura $BC$ în punctul $M$, astfel încât $PB=BM=MC$.

Calculați aria suprafeței lacului.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura alăturată este schița unei zone de agrement în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AB=30$ m și lățimea $BC=20$ m. În interiorul zonei de agrement se află un lac în formă de cerc cu raza de $10$ m. Cercul intersectează latura $AB$ în punctul $P$ și latura $BC$ în punctul $M$, astfel încât $PB=BM=MC$.

Determinați aria triunghiului $DPM$ (evidențiat cu linie punctată în figură).

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura alăturată este schița unei zone de agrement în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AB=30$ m și lățimea $BC=20$ m. În interiorul zonei de agrement se află un lac în formă de cerc cu raza de $10$ m. Cercul intersectează latura $AB$ în punctul $P$ și latura $BC$ în punctul $M$, astfel încât $PB=BM=MC$.

În exteriorul lacului, zona de agrement este acoperită cu gazon. Verificați dacă aria suprafeței acoperite cu gazon este mai mică decât aria suprafeței lacului. Se consideră cunoscut faptul că $3,14<\pi <3,15$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic un cort în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$, în care $VA=AB=4$ m. Intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ ale bazei se notează cu $O$.

Arătați că $OA=OV$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic un cort în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$, în care $VA=AB=4$ m. Intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ ale bazei se notează cu $O$.

Calculați câți metri pătrați de pânză sunt necesari pentru confecționarea cortului, știind că toate fețele sunt din pânză, inclusiv podeaua. Se neglijează pierderile de material.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic un cort în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$, în care $VA=AB=4$ m. Intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ ale bazei se notează cu $O$.

Determinați distanța de la punctul $O$ la o față laterală a piramidei patrulatere regulate $VABCD$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $7\cdot 3+14:2=21+7=28$ (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea).
2. a) Prețul unui caiet este $8:4=2$ lei, deci trei caiete costă $3\cdot 2=6$ lei.
3. d) Numerele naturale din $(-2,3]$ sunt $0,1,2,3$; cel mai mare dintre ele care este par este $2$.
4. b) Latura pătratului este $20:4=5$ cm, deci aria este $5^2=25{\text{cm}}^2$.
5. a) Tetraedrul regulat are $6$ muchii, toate egale cu $BC=6$ cm, deci suma lungimilor este $6\cdot 6=36$ cm.
6. d) Din tabel, numărul elevilor înscriși la volei este $10$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Cubul $ABCDEFGH$ are $12$ muchii.
2. c) $a=\frac{5}{3}-\frac{3}{7}=\frac{35-9}{21}=\frac{26}{21}$ și $b=\frac{1}{3}+\frac{3}{7}=\frac{7+9}{21}=\frac{16}{21}$. Media aritmetică $=\frac{a+b}{2}=\frac{\frac{42}{21}}{2}=\frac{2}{2}=1$.
3. a) Notăm cu $f$ numărul fetelor și cu $b$ numărul băieților: $f+b=27$ și $b=\frac{80}{100}\cdot f$. Înlocuind, $b=\frac{4}{5}(27-b)\Rightarrow 5b=108-4b\Rightarrow 9b=108\Rightarrow b=12$.
4. d) $f(-2)=2\cdot (-2)-4=-8$ și $f(2)=2\cdot 2-4=0$, deci $f(-2)+f(2)=-8+0=-8$.
5. b) $f(2)=0\Rightarrow A(2,0)$; $f(x)=2\Rightarrow 2x-4=2\Rightarrow x=3\Rightarrow B(3,2)$. Aria triunghiului $OAB=\frac{OA\cdot y_B}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2$ ($OA$ fiind pe axa $Ox$, iar $y_B$ ordonata lui $B$).
6. c) $(x-1{)}^2-x(x-2)=x^2-2x+1-x^2+2x=1$, deci $E(x)=\frac{x+1}{x^2+1}:\frac{1}{x^2+1}=\frac{x+1}{x^2+1}\cdot (x^2+1)=x+1$. $E(x)=1\iff x+1=1\iff x=0$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria suprafeței lacului $=\pi \cdot r^2=\pi \cdot 10^2$ (3 p) $=100\pi {\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiurile dreptunghice din colțurile dreptunghiului au ariile: ${\mathcal{A}}_{ADP}=\frac{AD\cdot AP}{2}=\frac{20\cdot 20}{2}=200{\text{m}}^2$ (cu $AP=AB-PB=30-10=20$), ${\mathcal{A}}_{PBM}=\frac{PB\cdot BM}{2}=\frac{10\cdot 10}{2}=50{\text{m}}^2$, ${\mathcal{A}}_{DCM}=\frac{DC\cdot CM}{2}=\frac{30\cdot 10}{2}=150{\text{m}}^2$ (cu $CM=BC-BM=20-10=10$) (3 p). Aria triunghiului $DPM={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{ADP}-{\mathcal{A}}_{PBM}-{\mathcal{A}}_{DCM}=600-200-50-150=200{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Aria suprafeței cu gazon este ${\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{lac}=600-100\pi$. Comparând cu aria lacului: $(600-100\pi )-100\pi =600-200\pi =200(3-\pi )$ (3 p). Cum $\pi >3$ (din $3,14<\pi <3,15$), rezultă $200(3-\pi )<0$, deci aria suprafeței acoperite cu gazon este mai mică decât aria suprafeței lacului (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $OA=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ m (2 p). În triunghiul dreptunghic $VOA$ (dreptunghic în $O$): $V{A}^2=V{O}^2+O{A}^2\Rightarrow V{O}^2=16-8=8\Rightarrow VO=2\sqrt{2}$ m, deci $OA=OV$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fiecare față laterală este un triunghi echilateral cu latura $4$ m, cu apotema (înălțimea) $\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ m (2 p). Aria bazei ${\mathcal{A}}_b=4^2=16{\text{m}}^2$ (1 p). Aria laterală ${\mathcal{A}}_l=\frac{P_{bazei}\cdot \text{apotema}}{2}=\frac{16\cdot 2\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (1 p). Aria totală de pânză ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_b+{\mathcal{A}}_l=16+16\sqrt{3}=16(1+\sqrt{3}){\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $d(O,VBC)=OM$, unde $M$ este piciorul perpendicularei duse din $O$ pe $VN$, $N$ fiind mijlocul laturii $BC$ (3 p). Cu $OV=2\sqrt{2}$ m, $ON=2$ m și $VN=2\sqrt{3}$ m: $OM=\frac{OV\cdot ON}{VN}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ m (2 p).

Model oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2013-2014. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 a) de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcina de desen, respectiv de demonstrație, originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE) pentru anul școlar 2013-2014. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în modelul din 2014, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2014, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, incompatibili cu formatul grilă în forma lor originală: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDEFGH$" (sarcină de construcție grafică) — a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (cubul $ABCDEFGH$); Exercițiul 4 a) cerea o demonstrație („Arătați că $f(-2)+f(2)=-8$") — a fost reformulat ca întrebare de calcul, păstrând identic rezultatul numeric din documentul oficial ($-8$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calculul cu ordinea operațiilor, proporționalitatea directă, intervale de numere reale și numere naturale, perimetrul și aria pătratului, tetraedrul regulat (suma muchiilor), citirea unui tabel de date; cubul (numărul muchiilor), media aritmetică a două numere scrise ca sume/diferențe de fracții, procente (numărul băieților dintr-o clasă), funcția liniară (valori ale funcției, aria unui triunghi în sistemul de axe), o expresie algebrică cu fracții (simplificare și ecuație); geometrie plană (cerc tangent laturilor unui dreptunghi — aria cercului, aria unui triunghi, compararea a două arii folosind $3,14<\pi <3,15$) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — relația $OA=OV$, aria totală, distanța de la un punct la o față laterală).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.