Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2015

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20:2-10$ este egal cu: a) $-2,5$ b) $0$ c) $10$ d) $-10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{6}=\frac{25}{3}$, atunci $a$ este egal cu: a) $150$ b) $30$ c) $50$ d) $75$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural din intervalul $[2,6]$ este egal cu: a) $6$ b) $3$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui triunghi echilateral este egal cu $18$ cm. Lungimea unei laturi a acestui triunghi este egală cu: a) $6\text{cm}$ b) $18\text{cm}$ c) $9\text{cm}$ d) $54\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei $AO=3$ cm și înălțimea $VO=4$ cm. Generatoarea $VA$ a acestui con este egală cu:

a) $7\text{cm}$ b) $5\text{cm}$ c) $12\text{cm}$ d) $1\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna mai.

Cea mai mică temperatură măsurată în acea săptămână a fost de: a) $19°C$ b) $16°C$ c) $12°C$ d) $13°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se desenează, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $24$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați media aritmetică a numerelor naturale care sunt divizori ai lui $7$. Media aritmetică calculată este egală cu: a) $4$ b) $3,5$ c) $7$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numerele $x$ și $y$ sunt direct proporționale cu numerele $3$ și $4$, știind că $y$ este cu $14$ mai mare decât $x$. Numărul $x$ este egal cu: a) $56$ b) $42$ c) $14$ d) $28$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$. Valoarea $f(5)$ este egală cu: a) $5$ b) $-5$ c) $0$ d) $10$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(0,-5)$ b) $(-5,0)$ c) $(0,5)$ d) $(5,0)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -1$ și $x\ne 1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $\frac{1}{x+1}$ b) $x+1$ c) $\frac{1}{x-1}$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura de mai jos este schița unui steag format din două trapeze dreptunghice $ABCD$ și $EFCD$, cu $AE\perp DC$, în care $AB=EF=8$ dm, $DC=6$ dm, $AD=2\sqrt{3}$ dm și punctul $D$ este mijlocul segmentului $AE$.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $14\sqrt{3}{\text{dm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou steagul format din două trapeze dreptunghice $ABCD$ și $EFCD$, cu $AE\perp DC$, în care $AB=EF=8$ dm, $DC=6$ dm, $AD=2\sqrt{3}$ dm și punctul $D$ este mijlocul segmentului $AE$, ca în figura alăturată.

Calculați lungimea segmentului $BF$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou steagul format din două trapeze dreptunghice $ABCD$ și $EFCD$, cu $AE\perp DC$, în care $AB=EF=8$ dm, $DC=6$ dm, $AD=2\sqrt{3}$ dm și punctul $D$ este mijlocul segmentului $AE$, ca în figura alăturată.

Arătați că unghiul $BCF$ are măsura de $120°$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura de mai jos este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu înălțimea de $4$ m și latura bazei de $8$ m.

Arătați că perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $32$ m.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu înălțimea de $4$ m și latura bazei de $8$ m, ca în figura alăturată.

Arătați că aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu $64\sqrt{2}{\text{m}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu înălțimea de $4$ m și latura bazei de $8$ m, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre planul unei fețe laterale a piramidei și planul bazei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $20:2-10=10-10=0$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Din $\frac{a}{6}=\frac{25}{3}$, prin înmulțire încrucișată: $3a=6\cdot 25=150$, deci $a=50$.
3. d) Intervalul $[2,6]$ conține toate numerele reale mai mari sau egale cu $2$ și mai mici sau egale cu $6$; cel mai mic număr natural din interval este $2$.
4. a) Perimetrul triunghiului echilateral $=3\cdot \text{latura}$, deci latura $=18:3=6$ cm.
5. b) Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$: $VA=\sqrt{V{O}^2+A{O}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm.
6. c) Din tabel, cea mai mică valoare este $12°C$ (vineri).

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $6$ fețe pătrate; fiecare față are $4$ muchii, iar fiecare muchie e comună la $2$ fețe, deci numărul muchiilor este $\frac{6\cdot 4}{2}=12$ (cele $4$ muchii ale bazei $ABCD$, cele $4$ muchii ale bazei $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și cele $4$ muchii laterale).
2. a) $7$ este număr prim, deci singurii lui divizori naturali sunt $1$ și $7$; media lor aritmetică este $\frac{1+7}{2}=4$.
3. b) Din $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$ rezultă $x=3k$ și $y=4k$. Din $y-x=14$: $4k-3k=14\Rightarrow k=14$, deci $x=3\cdot 14=42$ (și $y=4\cdot 14=56$).
4. c) $f(5)=5-5=0$.
5. d) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x-5=0\Rightarrow x=5$, deci punctul este $(5,0)$.
6. a) $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}$. Cum $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, împărțirea la $\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x+3}{x-1}$ dă $E(x)=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x-1}{x+3}=\frac{1}{x+1}$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$, $x\ne -1$ și $x\ne 1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Trapezul $ABCD$ este dreptunghic, cu $AD\perp DC$ (deoarece $AD$ face parte din $AE\perp DC$), deci $AD$ este înălțimea trapezului $ABCD$ (2 p). Aria trapezului este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AB+DC}{2}\cdot AD=\frac{8+6}{2}\cdot 2\sqrt{3}=7\cdot 2\sqrt{3}=14\sqrt{3}{\text{dm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AB\parallel DC$ (bazele trapezului $ABCD$) și $EF\parallel DC$ (bazele trapezului $EFCD$), deci $AB\parallel EF$; cum $AB=EF=8$ dm, patrulaterul $ABFE$ este paralelogram (3 p). În paralelogramul $ABFE$, laturile opuse $BF$ și $AE$ sunt congruente, deci $BF=AE=2\cdot AD=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ dm (deoarece $D$ este mijlocul lui $AE$) (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie $M\in AB$ și $P\in EF$ astfel încât $CM\perp AB$ și $CP\perp EF$; atunci $CM=CP=AD=2\sqrt{3}$ dm și $BM=FP=AB-DC=8-6=2$ dm, deci triunghiurile dreptunghice $CMB$ și $CPF$ sunt congruente (catete respectiv congruente) (2 p). Din $\text{tg}(\sphericalangle BCM)=\frac{BM}{CM}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ rezultă $m(\sphericalangle BCM)=m(\sphericalangle FCP)=30°$; cum punctele $M$, $C$, $P$ sunt coliniare, $m(\sphericalangle MCP)=180°$, deci $m(\sphericalangle BCF)=180°-2\cdot 30°=120°$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are $4$ laturi congruente, fiecare de $8$ m (3 p). Perimetrul este $P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 8=32$ m (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fie $M$ mijlocul laturii $BC$ și $O$ centrul pătratului $ABCD$ (intersecția diagonalelor); atunci $\{O\}=AC\cap BD$ și triunghiul $VMO$ este dreptunghic în $O$, cu $OM=\frac{AB}{2}=4$ m (apotema bazei) și $VO=4$ m (înălțimea piramidei), de unde $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ m (2 p). Aria laterală este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=\frac{P_{ABCD}\cdot VM}{2}=\frac{32\cdot 4\sqrt{2}}{2}=64\sqrt{2}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $VM\perp BC$ (apotema laterală) și $OM\perp BC$ (apotema bazei), unghiul dintre planul feței laterale $(VBC)$ și planul bazei $(ABC)$ este $m(\sphericalangle VMO)$ (3 p). În triunghiul dreptunghic $VMO$, $VO=OM=4$ m, deci $\text{tg}(\sphericalangle VMO)=\frac{VO}{OM}=1$, de unde $m(\sphericalangle VMO)=45°$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 5, susținut de absolvenții clasei a VIII-a la sesiunea specială din anul școlar 2014–2015, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 5 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 5, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a la sesiunea specială din anul școlar 2014–2015, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2015, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2015, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" și Exercițiul 5 (partea b a exercițiului 4 original) cerea „reprezentați grafic funcția $f$"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, respectiv funcția $f(x)=x-5$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, un interval de numere naturale, perimetrul triunghiului echilateral, generatoarea unui con circular drept, citirea unui tabel de temperaturi; cubul (numărul muchiilor), media aritmetică a divizorilor unui număr, mărimi direct proporționale, funcția liniară $f(x)=x-5$, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (un steag format din două trapeze dreptunghice — arie, paralelogram, unghi de $120°$) și geometrie în spațiu (piramida patrulateră regulată — perimetrul bazei, aria laterală și unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.