Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2015

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{8}{3}$ este egal cu: a) $9$ b) $2$ c) $\frac{5}{3}$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Prețul unui stilou este $20$ de lei. După o reducere cu $10\%$, prețul stiloului va fi: a) $18$ lei b) $22$ lei c) $2$ lei d) $10$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $n$ este singurul număr natural din intervalul $[n,8)$, atunci $n$ este egal cu: a) $8$ b) $7$ c) $0$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Punctul $O$ este situat în interiorul triunghiului echilateral $ABC$ astfel încât $AO=BO=CO$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu: a) $60°$ b) $90°$ c) $120°$ d) $180°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Suma lungimilor muchiilor care au în comun vârful $A$ este egală cu $36$ cm. Lungimea muchiei $AB$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $18$ cm c) $24$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos este reprezentată dependența dintre distanța parcursă de un autocar și timpul în care este parcursă această distanță. Distanța parcursă de autocar în $120$ de minute este de:

a) $80$ km b) $40$ km c) $60$ km d) $100$ km

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ca cel pe care elevii trebuiau să îl deseneze pe foaia de examen.

Numărul fețelor laterale ale paralelipipedului (fără cele două baze, $ABCD$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$) este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $8$ d) $2$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma $\overline{abc}$, știind că sunt divizibile cu $5$ și au suma cifrelor egală cu $22$. Câte numere de acest fel există? a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un elev citește o carte în două zile. În prima zi el citește $47\%$ din numărul de pagini ale cărții, iar a doua zi citește cele $53$ de pagini care au mai rămas. Numărul de pagini ale cărții este egal cu: a) $113$ b) $147$ c) $100$ d) $53$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$. Valoarea expresiei $x\cdot (\sqrt{8}-\sqrt{2})$ este egală cu: a) $2\sqrt{2}$ b) $8$ c) $0$ d) $4$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul real $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ și numărul real $y=\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. Valoarea expresiei $x^2-y$ este egală cu: a) $5$ b) $8$ c) $11$ d) $2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E(x)={\left(x^2+x+1\right)}^2-{\left(x^2+x\right)}^2-x^2$, unde $x$ este număr real. Expresia $E(x)$, după simplificare, este egală cu: a) $(x-1{)}^2$ b) $(x+1{)}^2$ c) $x^2+1$ d) $2x+1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui parc în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=5$ hm și $AD=3$ hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele $EF$, $DP$, $DQ$, $BP$ și $BQ$, unde $E\in (AB)$, $F\in (CD)$ astfel încât $AE=CF=1$ hm, iar segmentele $DP$ și $BQ$ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele $D$, respectiv $B$, la dreapta $EF$.

Calculați lungimea aleii $EF$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou parcul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=5$ hm și $AD=3$ hm, cu aleile principale $EF$, $DP$, $DQ$, $BP$ și $BQ$, unde $E\in (AB)$, $F\in (CD)$ astfel încât $AE=CF=1$ hm, iar segmentele $DP$ și $BQ$ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele $D$, respectiv $B$, la dreapta $EF$, ca în figura alăturată.

Arătați că traseul $E\to P\to D$ și aleea $EF$ au aceeași lungime.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou parcul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=5$ hm și $AD=3$ hm, cu aleile principale $EF$, $DP$, $DQ$, $BP$ și $BQ$, unde $E\in (AB)$, $F\in (CD)$ astfel încât $AE=CF=1$ hm, iar segmentele $DP$ și $BQ$ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele $D$, respectiv $B$, la dreapta $EF$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că patrulaterul $DPBQ$ este paralelogram.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=8$ cm și $AB=8$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$. Punctul $M$ este situat pe muchia $VB$ astfel încât $EM\perp VB$.

Calculați aria triunghiului $BEF$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=8$ cm și $AB=8$ cm, cu punctele $E$ și $F$ mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, și punctul $M$ situat pe muchia $VB$ astfel încât $EM\perp VB$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului format de dreapta $VD$ cu planul $(ABC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=8$ cm și $AB=8$ cm, cu punctele $E$ și $F$ mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, și punctul $M$ situat pe muchia $VB$ astfel încât $EM\perp VB$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că muchia $VB$ este perpendiculară pe planul $(EMF)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{9}{3}=3$ (întâi înmulțirea, apoi adunarea).
2. a) Prețul după reducere $=20-10\%\cdot 20=20-2=18$ lei.
3. b) Intervalul $[n,8)$ conține numerele naturale $n,n+1,\dots ,7$, adică $8-n$ numere. Pentru ca $n$ să fie singurul, trebuie $8-n=1$, deci $n=7$.
4. c) Din $AO=BO=CO$, $O$ este centrul (circumscris) triunghiului echilateral $ABC$; unghiurile $AOB$, $BOC$, $COA$ sunt congruente și însumează $360°$, deci fiecare este $\frac{360°}{3}=120°$.
5. d) La vârful $A$ al cubului se întâlnesc $3$ muchii egale, deci $3\cdot AB=36$, de unde $AB=12$ cm.
6. a) Din grafic, la $30$ minute corespund $20$ km, la $60$ minute $40$ km, la $120$ minute $80$ km (dependență liniară, direct proporțională).

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $2$ baze ($ABCD$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$) și $4$ fețe laterale: $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, $DA{A}^{\prime }{D}^{\prime }$.
2. b) $\overline{abc}$ divizibil cu $5$ înseamnă $c=0$ sau $c=5$. Dacă $c=0$, atunci $a+b=22$, imposibil (maximum $9+9=18$). Dacă $c=5$, atunci $a+b=17$, cu soluțiile $(a,b)=(9,8)$ sau $(8,9)$, deci numerele sunt $985$ și $895$ — există $2$ astfel de numere.
3. c) Notând cu $x$ numărul de pagini: $47\%\cdot x+53=x\Rightarrow 53=x-0,47x=0,53x\Rightarrow x=\frac{53}{0,53}=100$ pagini.
4. d) $x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$. Cum $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, avem $\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$, deci $x\cdot (\sqrt{8}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$.
5. a) $y=\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=3$. Cum $x=2\sqrt{2}$ (calculat mai sus), $x^2=8$, deci $x^2-y=8-3=5$.
6. b) $(x^2+x+1{)}^2-(x^2+x{)}^2=\left[(x^2+x+1)-(x^2+x)\right]\cdot \left[(x^2+x+1)+(x^2+x)\right]=1\cdot (2x^2+2x+1)=2x^2+2x+1$. Atunci $E(x)=2x^2+2x+1-x^2=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Fie $M$ piciorul perpendicularei din $F$ pe $AB$ ($M\in AB$). Cum $AB=5$ hm, $AE=1$ hm și $CF=1$ hm, rezultă $EM=AB-AE-CF=5-1-1=3$ hm, iar $FM=AD=3$ hm, unde $FM\perp AB$ (2 p). Triunghiul $EMF$ este dreptunghic în $M$, deci, prin teorema lui Pitagora, $EF=\sqrt{E{M}^2+F{M}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ hm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Segmentul $DP$ este drumul cel mai scurt de la $D$ la dreapta $EF$, deci $DP\perp EF$. Cum $EM=FM=3$ hm (unde $M$ este piciorul perpendicularei din $F$ pe $AB$) și unghiul din $M$ este drept, triunghiul $EMF$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\sphericalangle FEM)=45°$; cum $AB\parallel DC$, rezultă $m(\sphericalangle EFD)=45°$ (2 p). Triunghiul $DPF$ este dreptunghic în $P$ (căci $DP\perp EF$) și are $m(\sphericalangle DFP)=45°$, deci este dreptunghic isoscel, adică $PD=PF$ (1 p). Cum $P\in (EF)$, avem $EP+PF=EF$; cum $PD=PF$, rezultă $EP+PD=EP+PF=EF$, deci traseul $E\to P\to D$ și aleea $EF$ au aceeași lungime (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $DF=DC-CF=5-1=4$ hm și $BE=AB-AE=5-1=4$ hm, deci $DF=BE$. Cum $\sphericalangle PFD\equiv \sphericalangle QEB$ (unghiuri corespunzătoare formate de $AB\parallel DC$ cu $EF$) și $DP\perp EF$, $BQ\perp EF$ (deci $\sphericalangle DPF\equiv \sphericalangle BQE=90°$), rezultă $△PFD\equiv △QEB$ (I.U.), de unde $DP=BQ$ (3 p). Cum $DP\perp EF$ și $BQ\perp EF$, obținem $DP\parallel BQ$; cum $DP=BQ$, patrulaterul $DPBQ$ are o pereche de laturi opuse paralele și congruente, deci $DPBQ$ este paralelogram (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $BE=\frac{AB}{2}=4$ cm și $BF=\frac{BC}{2}=4$ cm (căci $ABCD$ este pătrat cu latura $8$ cm) (2 p). Cum $\sphericalangle EBF=\sphericalangle ABC=90°$, triunghiul $BEF$ este dreptunghic în $B$, deci ${\mathcal{A}}_{BEF}=\frac{BE\cdot BF}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fie $\{O\}=AC\cap BD$; cum piramida $VABCD$ este regulată, $VO\perp (ABC)$, deci unghiul dintre $VD$ și planul $(ABC)$ este $m(\sphericalangle VDO)$ (2 p). Diagonala pătratului este $BD=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm; cum piramida este regulată, $VD=VA=8$ cm și $VB=VA=8$ cm. Din $V{B}^2+V{D}^2=8^2+8^2=128=(8\sqrt{2}{)}^2=B{D}^2$, triunghiul $VBD$ este dreptunghic isoscel în $V$, deci $m(\sphericalangle VDO)=m(\sphericalangle VDB)=45°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $BE=BF=4$ cm, $\sphericalangle MBE\equiv \sphericalangle MBF$ (din simetria piramidei regulate față de planul $(VBD)$) și $MB$ este latură comună, deci $△MBE\equiv △MBF$ (L.U.L.) (2 p). Rezultă $m(\sphericalangle BMF)=m(\sphericalangle BME)=90°$ (căci $EM\perp VB$), deci $FM\perp VB$; cum $EM\perp VB$ și $FM\cap EM=\{M\}$, cu $EM,FM\subset (EMF)$, obținem $VB\perp (EMF)$ (3 p).

Simulare oficială de Evaluare Națională, anul școlar 2014–2015, elaborată de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și III sunt reproduse integral (Subiectul I adaptat la formatul grilă cu 3 distractori adăugați per item; Subiectul al III-lea integral autentic — enunț și rezolvare). Subiectul al II-lea este adaptat la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală: „desenați un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$"), în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Aceasta este simularea OFICIALĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, susținută efectiv de elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2014–2015, publicată de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2015, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra această simulare în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2015, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, care în original era o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$"; el a fost reformulat ca o întrebare factuală cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu fracții, procente (reducere de preț), un interval de numere naturale, triunghi echilateral (punct egal depărtat de vârfuri), un cub (suma muchiilor la un vârf), citirea unui grafic distanță-timp; un paralelipiped dreptunghic (fețe), numere naturale divizibile cu $5$ cu sumă de cifre dată, o problemă cu procente (pagini citite dintr-o carte), calcul cu radicali (raționalizare de numitor), o expresie algebrică (pătrat perfect); geometrie plană (parc dreptunghiular — lungimi, paralelogram) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — arie, unghi dreaptă-plan, perpendicularitate pe plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.