Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2016

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4+4\cdot (12-3)$ este egal cu: a) $25$ b) $40$ c) $72$ d) $49$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{4}{3}=\frac{x}{6}$, atunci $\frac{x+4}{4}$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $(0,7)$ este egal cu: a) $6$ b) $7$ c) $0$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul pătratului $MNPQ$ este egal cu $24$ cm. Lungimea diagonalei $MP$ este egală cu: a) $6\text{cm}$ b) $12\text{cm}$ c) $6\sqrt{2}\text{cm}$ d) $3\sqrt{2}\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$ cu muchia de $5$ cm. Aria totală a cubului $ABCDEFGH$ este egală cu:

a) $150{\text{cm}}^2$ b) $125{\text{cm}}^2$ c) $30{\text{cm}}^2$ d) $100{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Într-o școală, pentru alegerea reprezentantului consiliului elevilor, au votat $600$ de elevi, pentru trei candidați: Ioana, Radu și Mihai. Ioana a obținut $10\%$ din voturi, iar Radu a obținut $50\%$ din voturi. Numărul elevilor care au votat pentru Mihai este egal cu: a) $300$ b) $60$ c) $200$ d) $240$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un cilindru circular drept are secțiunea axială dreptunghiul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este întotdeauna un(o): a) trapez b) pătrat c) dreptunghi d) romb

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul $\overline{ab}$, scris în baza $10$, știind că $\overline{ab}-\overline{ba}=a(b-1)$, unde $a$ și $b$ sunt numere diferite, prime între ele. Numărul $\overline{ab}$ este egal cu: a) $95$ b) $64$ c) $59$ d) $36$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un biciclist a parcurs în trei zile un traseu cu lungimea de $108$ km. În a doua zi biciclistul a parcurs cu $6$ km mai mult decât în prima zi, iar în a treia zi biciclistul a parcurs cu $6$ km mai mult decât în a doua zi. Distanța parcursă în prima zi este egală cu: a) $36\text{km}$ b) $42\text{km}$ c) $90\text{km}$ d) $30\text{km}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=mx-6$, unde $m$ este număr real. Numărul real $m$ pentru care punctul $M(4,2)$ aparține graficului funcției $f$ este egal cu: a) $-1$ b) $2$ c) $8$ d) $-2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=mx-6$, unde $m$ este număr real. Pentru $m=2$, distanța de la originea sistemului de coordonate $xOy$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ este egală cu: a) $3\sqrt{5}$ b) $\frac{18}{5}$ c) $\frac{6}{5}$ d) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x}{x-4}-\left(\frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}-2\right):\frac{1}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x-2$ b) depinde de $x$ c) $1$ d) $\frac{1}{2}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=9$ cm și punctele $E\in (AB)$ și $F\in (CD)$ astfel încât triunghiul $AEF$ este echilateral cu $AE=6$ cm.

Arătați că aria triunghiului $AEF$ este egală cu $9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=9$ cm și punctele $E\in (AB)$ și $F\in (CD)$ astfel încât triunghiul $AEF$ este echilateral cu $AE=6$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați lungimea diagonalei $AC$ a dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=9$ cm și punctele $E\in (AB)$ și $F\in (CD)$ astfel încât triunghiul $AEF$ este echilateral cu $AE=6$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $AC$ și $EF$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept, a cărui secțiune axială este triunghiul $AVB$, cu $AB=10$ cm și $VA=VB=13$ cm.

Arătați că $VO=12$ cm, unde $O$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cornetul pentru înghețată în formă de con circular drept, a cărui secțiune axială este triunghiul $AVB$, cu $AB=10$ cm și $VA=VB=13$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că raportul dintre aria totală și aria laterală a conului circular drept este egal cu $\frac{18}{13}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cornetul pentru înghețată în formă de con circular drept, a cărui secțiune axială este triunghiul $AVB$, cu $AB=10$ cm și $VA=VB=13$ cm, ca în figura alăturată.

În cornet se pune înghețată. Știind că $700$ de grame de înghețată au un volum de $1000$ ml, arătați că în interiorul cornetului avem mai puțin de $221$ de grame de înghețată. Se consideră cunoscut faptul că $3,14<\pi <3,15$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $4+4\cdot (12-3)=4+4\cdot 9=4+36=40$ (întâi paranteza, apoi înmulțirea, apoi adunarea).
2. d) Din $\frac{4}{3}=\frac{x}{6}$, prin înmulțire încrucișată: $3x=24$, deci $x=8$. Atunci $\frac{x+4}{4}=\frac{8+4}{4}=\frac{12}{4}=3$.
3. a) Intervalul $(0,7)$ conține toate numerele reale strict mai mari decât $0$ și strict mai mici decât $7$; cel mai mare număr natural din interval este $6$.
4. c) Latura pătratului $=\frac{24}{4}=6$ cm, deci diagonala $MP=6\sqrt{2}$ cm.
5. a) Aria totală a cubului $=6\cdot {\text{muchia}}^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150{\text{cm}}^2$.
6. d) Mihai a obținut $100\%-10\%-50\%=40\%$ din voturi, adică $40\%\cdot 600=240$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Secțiunea axială a unui cilindru circular drept, obținută prin tăierea cu un plan ce conține axa cilindrului, este întotdeauna un dreptunghi (pătrat doar în cazul particular în care înălțimea este egală cu diametrul).
2. a) $\overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$. Condiția devine $9(a-b)=a(b-1)$, adică $9a-9b=ab-a\Rightarrow 10a-ab=9b\Rightarrow a=\frac{9b}{10-b}$. Testând cifrele $b=1,\dots ,9$, valorile pentru care $a$ este cifră sunt: $b=1\Rightarrow a=1$ (se elimină, deoarece $a$ și $b$ trebuie să fie diferite), $b=4\Rightarrow a=6$ (se elimină, $(6,4)$ nu sunt prime între ele, $\gcd (6,4)=2$) și $b=5\Rightarrow a=9$ (cu $9\ne 5$ și $\gcd (9,5)=1$, deci prime între ele). Rezultă $\overline{ab}=95$.
3. d) Notând cu $x$ distanța parcursă în prima zi: $x+(x+6)+(x+12)=108\Rightarrow 3x+18=108\Rightarrow 3x=90\Rightarrow x=30$ km.
4. b) $M(4,2)$ aparține graficului: $f(4)=4m-6=2\Rightarrow 4m=8\Rightarrow m=2$.
5. d) Pentru $m=2$, $f(x)=2x-6$. Graficul intersectează axa $Ox$ în $A(3,0)$ (din $2x-6=0$) și axa $Oy$ în $B(0,-6)$, deci $OA=3$, $OB=6$. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Distanța de la $O$ la dreapta $AB$ este $\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{3\cdot 6}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
6. c) $\frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}-2=\frac{(x-4{)}^2+(x-2{)}^2-2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)}=\frac{[(x-4)-(x-2){]}^2}{(x-2)(x-4)}=\frac{4}{(x-2)(x-4)}$. Împărțind la $\frac{1}{x-2}$ (adică înmulțind cu $x-2$): $\frac{4}{(x-2)(x-4)}\cdot (x-2)=\frac{4}{x-4}$. Atunci $E(x)=\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x-4}=\frac{x-4}{x-4}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Fie $P\in AE$ astfel încât $FP\perp AE$ (înălțimea triunghiului echilateral $AEF$ din $F$). Atunci $FP=\frac{AE\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm (2 p). Aria triunghiului este ${\mathcal{A}}_{AEF}=\frac{AE\cdot FP}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Ca mai sus, $FP=3\sqrt{3}$ cm. Cum $F\in CD$, $AB\parallel CD$ și $FP\perp AE$ (deci $FP\perp AB$ și $FP\perp CD$), segmentul $FP$ este chiar distanța dintre laturile paralele $AB$ și $CD$, adică $BC=FP=3\sqrt{3}$ cm (2 p). Din teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=9^2+(3\sqrt{3}{)}^2=81+27=108$, deci $AC=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din itemul anterior, $BC=AD=3\sqrt{3}$ cm. Triunghiul $ADF$ este dreptunghic în $D$, deci $D{F}^2=A{F}^2-A{D}^2=6^2-27=36-27=9$, adică $DF=3$ cm, deci $FC=DC-DF=9-3=6$ cm (2 p). Cum $AE=6\text{cm}=FC$ și $AE\parallel FC$, patrulaterul $AECF$ este paralelogram (1 p). Cum, în plus, $AF=AE=6$ cm (laturi alăturate egale), $AECF$ este romb, iar diagonalele unui romb sunt perpendiculare, deci $AC\perp EF$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $O$ fiind mijlocul lui $AB$, $AO=\frac{AB}{2}=5$ cm (2 p). Triunghiul $AVO$ este dreptunghic în $O$, deci $V{O}^2=V{A}^2-A{O}^2=13^2-5^2=169-25=144$, de unde $VO=12$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Raza bazei este $r=AO=5$ cm, iar generatoarea (apotema) este $VA=13$ cm. Aria laterală este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=\pi \cdot r\cdot VA=\pi \cdot 5\cdot 13=65\pi {\text{cm}}^2$, iar aria bazei este ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=\pi r^2=25\pi {\text{cm}}^2$, deci aria totală este ${\mathcal{A}}_{total\breve{a}}=65\pi +25\pi =90\pi {\text{cm}}^2$ (3 p). Raportul cerut este $\frac{{\mathcal{A}}_{total\breve{a}}}{{\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}}=\frac{90\pi }{65\pi }=\frac{90}{65}=\frac{18}{13}$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cu $r=5$ cm și $VO=h=12$ cm, volumul conului este $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 12=100\pi {\text{cm}}^3=100\pi$ ml (2 p). Masa înghețatei este $\frac{700\cdot 100\pi }{1000}=70\pi$ grame (1 p). Din $\pi <3,15$ rezultă $70\pi <70\cdot 3,15=220,5<221$, deci în interiorul cornetului avem mai puțin de $221$ de grame de înghețată (2 p).

Modelul oficial de subiect de Evaluare Națională, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2015–2016. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), pentru anul școlar 2015–2016 — un subiect-model distribuit oficial înaintea examenului, ca material de pregătire, nu un test susținut efectiv la o dată de examen. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2016, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2016, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, care în original era o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un cilindru circular drept cu secțiunea axială $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$"; el a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (cilindrul circular drept cu secțiunea axială $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu paranteze, o proporție, un interval de numere reale, perimetrul și diagonala pătratului, aria totală a cubului, citirea unei diagrame de procente; secțiunea axială a cilindrului circular drept, o proprietate a cifrelor unui număr de două cifre, o problemă cu distanțe parcurse în trei zile, funcția liniară $f(x)=mx-6$ (determinarea parametrului și distanța de la origine la grafic), o expresie algebrică rațională; geometrie plană (dreptunghi cu triunghi echilateral înscris — arie, diagonală, perpendicularitatea diagonalelor via romb) și geometrie în spațiu (con circular drept — un cornet de înghețată: înălțime, raportul ariilor, volum și masă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.