Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2016, Varianta 3

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10-10:10$ este egal cu: a) $0$ b) $9$ c) $-9$ d) $1$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$, numărul $a\cdot b-12$ este egal cu: a) $12$ b) $-12$ c) $0$ d) $\frac{4}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi din intervalul $[-1,2)$ este egală cu: a) $2$ b) $1$ c) $3$ d) $0$

Exercițiul 4 · 5 puncte Suma lungimilor bazelor trapezului $ABCD$ este egală cu $20$ cm. Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea de: a) $10\text{cm}$ b) $20\text{cm}$ c) $5\text{cm}$ d) $40\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept, cu înălțimea $VO=8$ cm și raza bazei $AO=6$ cm. Generatoarea $VA$ a acestui con are lungimea egală cu:

a) $14\text{cm}$ b) $10\text{cm}$ c) $2\text{cm}$ d) $48\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos este reprezentat profitul, exprimat în mii lei, realizat de o firmă în ultimii cinci ani.

În perioada menționată, cel mai mare profit al firmei a fost înregistrat în anul: a) $2015$ b) $2011$ c) $2013$ d) $2012$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$, unde $a$ este număr real nenul, valoarea expresiei $a^2+\frac{1}{a^2}$ este egală cu: a) $\frac{17}{4}$ b) $\frac{25}{4}$ c) $\frac{21}{4}$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un test conține $10$ întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă $5$ puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad $2$ puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Un elev, care a răspuns la toate cele $10$ întrebări, a obținut $36$ de puncte. Numărul de întrebări din test la care acest elev a răspuns corect este egal cu: a) $9$ b) $7$ c) $8$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Valoarea $f(1)+f(4)$ este egală cu: a) $-2$ b) $2$ c) $1$ d) $-1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Distanța de la originea sistemului de coordonate $xOy$ la graficul funcției $f$ este egală cu: a) $3$ b) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ c) $3\sqrt{2}$ d) $\frac{3}{2}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{4}{x\left(x^2-4\right)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne 0$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x-2$ b) $\frac{1}{2}$ c) depinde de $x$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $ABCD$, cu $AB=10$ cm și $m(\angle ABC)=120°$.

Arătați că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $40$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$, cu $AB=10$ cm și $m(\angle ABC)=120°$, ca în figura alăturată.

Arătați că lungimea diagonalei $AC$ este egală cu $10\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$, cu $AB=10$ cm și $m(\angle ABC)=120°$. Pe laturile $AB$, $BC$, $CD$ și $DA$ ale rombului $ABCD$ se consideră punctele $M$, $N$, $P$, respectiv $Q$, astfel încât $MN\parallel AC$ și $MNPQ$ este pătrat, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $MN=5\left(3-\sqrt{3}\right)$ cm.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi echilateral, $AB=8\sqrt{3}$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$.

Arătați că aria laterală a prismei este egală cu $120\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi echilateral, $AB=8\sqrt{3}$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm, iar $M$ este mijlocul laturii $AB$, ca în figura alăturată.

Arătați că $C^{\prime }M=13$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghi echilateral, $AB=8\sqrt{3}$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm, iar $M$ este mijlocul laturii $AB$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $C$ la planul $(AB{C}^{\prime })$ este egală cu $\frac{60}{13}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10-10:10=10-1=9$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Din $\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$, prin înmulțire încrucișată: $a\cdot b=3\cdot 4=12$, deci $a\cdot b-12=12-12=0$.
3. d) Intervalul $[-1,2)$ conține numerele întregi $-1$, $0$ și $1$; suma lor este $-1+0+1=0$.
4. a) Linia mijlocie a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor: $\frac{20}{2}=10$ cm.
5. b) Din teorema lui Pitagora în triunghiul $VOA$, dreptunghic în $O$: $VA=\sqrt{V{O}^2+A{O}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm.
6. c) Din grafic, cel mai mare profit ($100$ mii lei) a fost înregistrat în anul $2013$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ are $8$ vârfuri, $6$ fețe și $12$ muchii.
2. a) ${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}$, deci $a^2+\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4}$.
3. c) Fie $n$ numărul de întrebări la care elevul a răspuns corect: $5n-2(10-n)=36\iff 7n-20=36\iff 7n=56\iff n=8$.
4. d) $f(1)=1-3=-2$ și $f(4)=4-3=1$, deci $f(1)+f(4)=-2+1=-1$.
5. b) Graficul intersectează $Ox$ în $M(3,0)$ (din $x-3=0$), deci $OM=3$, și $Oy$ în $N(0,-3)$, deci $ON=3$. Triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$, deci distanța de la $O$ la grafic este $\frac{OM\cdot ON}{MN}=\frac{3\cdot 3}{\sqrt{3^2+3^2}}=\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
6. d) $\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x(x+2)-2(x-2)(x+2)+x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{8}{x(x^2-4)}$. Atunci $E(x)=\frac{8}{x(x^2-4)}:\frac{4}{x(x^2-4)}=\frac{8}{4}=2$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne 0$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-un romb, toate laturile sunt congruente: $AB=BC=CD=DA=10$ cm (3 p). Perimetrul este ${\mathcal{P}}_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 10=40$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $\{O\}=AC\cap BD$. Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor, deci $AO\perp BD$ și $m(\angle ABO)=\frac{m(\angle ABC)}{2}=60°$ (2 p). În triunghiul dreptunghic $ABO$: $AO=AB\cdot \sin 60°=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm, deci $AC=2\cdot AO=10\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din $MN\parallel AC$ rezultă $△BMN\sim △BAC$, deci $\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}$ (1 p). Cum $MNPQ$ este pătrat și $AC\perp BD$, rezultă $MQ\parallel BD$, deci $△AMQ\sim △ABD$, de unde $\frac{MQ}{BD}=\frac{AM}{AB}$ (1 p). Unghiul $\angle BAD=180°-120°=60°$ (unghiuri consecutive suplementare în romb) și $AB=AD=10$ cm, deci triunghiul $ABD$ este echilateral, adică $BD=10$ cm (1 p). Din $MN=MQ$ (pătrat) și $\frac{BM}{BA}+\frac{AM}{AB}=1$ rezultă $MN\left(\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}\right)=1$, deci $MN=\frac{AC\cdot BD}{AC+BD}=\frac{10\sqrt{3}\cdot 10}{10\sqrt{3}+10}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ (1 p). Raționalizând: $MN=\frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}=5\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=5(3-\sqrt{3})$ cm (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul bazei este $P_{bazei}=3\cdot AB=3\cdot 8\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ cm (2 p). Aria laterală este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=P_{bazei}\cdot A{A}^{\prime }=24\sqrt{3}\cdot 5=120\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este echilateral, iar $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $CM$ este mediană (și înălțime): $CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=12$ cm (2 p). Triunghiul $C^{\prime }CM$ este dreptunghic în $C$ (deoarece $C{C}^{\prime }\perp$ planul bazei), deci $C^{\prime }M=\sqrt{C{C}^{\prime 2}+C{M}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $CM\perp AB$ (mediană-înălțime în triunghiul echilateral) și $C{C}^{\prime }\perp AB$ (muchie laterală perpendiculară pe planul bazei), deci $AB\perp$ planul $(C{C}^{\prime }M)$ (2 p). Fie $P$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $C^{\prime }M$; cum $AB\perp (C{C}^{\prime }M)$ și $CP\subset (C{C}^{\prime }M)$, rezultă $CP\perp AB$; împreună cu $CP\perp C^{\prime }M$, obținem $CP\perp$ planul $(AB{C}^{\prime })$, deci $d\left(C,(AB{C}^{\prime })\right)=CP$ (2 p). $CP$ este înălțimea din $C$ în triunghiul dreptunghic $C{C}^{\prime }M$, deci $CP=\frac{C{C}^{\prime }\cdot CM}{C^{\prime }M}=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}$ cm (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă din anul școlar 2015–2016, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 3, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de REZERVĂ din anul școlar 2015–2016, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document diferit de examenul din sesiunea principală din același an (o altă variantă, cu alte enunțuri). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2016, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2016, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două sarcini de la Subiectul al II-lea, care în original erau cerințe de desen/reprezentare grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$" și Exercițiul 4 cerea „reprezentați grafic funcția $f$"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$, respectiv funcția $f(x)=x-3$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu împărțire, o proporție, suma numerelor întregi dintr-un interval, linia mijlocie a trapezului, generatoarea unui con circular drept, citirea unui grafic cu bare; paralelipiped dreptunghic (elemente), calcul cu o expresie de tipul $a+\frac{1}{a}$, o problemă cu punctaj la un test cu răspunsuri corecte/greșite, funcția liniară $f(x)=x-3$ (valori și distanța de la origine la grafic), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (romb cu unghi de $120°$ — perimetru, diagonală, pătrat înscris) și geometrie în spațiu (prismă dreaptă cu bază triunghi echilateral — arie laterală, lungime de segment și distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.