Al doilea examen oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2016

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 5-15$ este egal cu: a) $-30$ b) $0$ c) $30$ d) $60$

Exercițiul 2 · 5 puncte Zece caiete de același fel costă în total $20$ de lei. Cinci dintre aceste caiete costă în total: a) $10$ lei b) $4$ lei c) $20$ lei d) $40$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $M=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 4\}$ este egală cu: a) $(0,4)$ b) $[0,4)$ c) $[0,4]$ d) $(0,4]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui pătrat este egal cu $16$ cm. Lungimea laturii acestui pătrat este egală cu: a) $8$ cm b) $4$ cm c) $16$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza de $4$ cm și generatoarea de $10$ cm. Aria laterală a acestui cilindru este egală cu:

a) $40\pi {\text{cm}}^2$ b) $160\pi {\text{cm}}^2$ c) $16\pi {\text{cm}}^2$ d) $80\pi {\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Într-o școală, pentru alegerea reprezentantului consiliului elevilor, au votat $300$ de elevi. Rezultatele votului sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Numărul elevilor din școală care au votat pentru Radu este egal cu: a) $150$ b) $120$ c) $100$ d) $180$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată, are un număr de muchii egal cu:

a) $12$ b) $6$ c) $8$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $x+\frac{1}{x}=-2$, unde $x$ este număr real nenul, valoarea expresiei $x^2+\frac{1}{x^2}$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $-2$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Media aritmetică a două numere naturale este egală cu $9$. Știind că unul dintre numere este cu $2$ mai mare decât celălalt, numărul mai mare dintre cele două este egal cu: a) $8$ b) $9$ c) $10$ d) $11$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$, reprezentată grafic într-un sistem de coordonate $xOy$, ca în figura alăturată.

Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ (în punctul notat $M$ în figură) în punctul de coordonate: a) $(4,0)$ b) $(0,4)$ c) $(0,-4)$ d) $(-4,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$, reprezentată grafic într-un sistem de coordonate $xOy$, ca în figura alăturată.

Triunghiul determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$ este triunghiul $MON$, unde $M$ este intersecția cu axa $Ox$, $N$ este intersecția cu axa $Oy$, iar $O$ este originea. Triunghiul $MON$ este: a) dreptunghic isoscel b) echilateral c) oarecare (cu toate laturile diferite) d) obtuzunghic

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x^2-4}\right):\frac{2}{(x-2)(x+2)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$, este egală cu: a) depinde de $x$ b) $1$ c) $x-2$ d) $\frac{1}{2}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AB=150$ m, $BC=100$ m. Se consideră punctul $M$, mijlocul laturii $AB$, și punctul $N$ situat pe segmentul $DM$, astfel încât $DN=2\cdot MN$.

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $500$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AB=150$ m, $BC=100$ m, punctul $M$, mijlocul laturii $AB$, și punctul $N$ situat pe segmentul $DM$, astfel încât $DN=2\cdot MN$, ca în figura alăturată.

Arătați că punctele $A$, $N$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AB=150$ m, $BC=100$ m, punctul $M$, mijlocul laturii $AB$, și punctul $N$ situat pe segmentul $DM$, astfel încât $DN=2\cdot MN$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că aria triunghiului $AMN$ este egală cu $1250{\text{m}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată este reprezentarea unui tetraedru regulat $ABCD$, cu muchia $AB=4\sqrt{2}$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$.

Arătați că $AM=2\sqrt{6}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia $AB=4\sqrt{2}$ cm, și punctele $M$, $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$, ca în figura alăturată.

Arătați că volumul tetraedrului $ABCD$ este egal cu $\frac{64}{3}{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia $AB=4\sqrt{2}$ cm, și punctele $M$, $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că unghiul dintre dreptele $AB$ și $MN$ are măsura egală cu $45°$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $3\cdot 5-15=15-15=0$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) Zece caiete costă $20$ lei, deci un caiet costă $2$ lei; cinci caiete costă $5\cdot 2=10$ lei.
3. c) $M=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 4\}$ se scrie sub formă de interval închis $[0,4]$.
4. b) Latura pătratului $=\text{perimetrul}:4=16:4=4$ cm.
5. d) Aria laterală a cilindrului $=2\pi rg=2\pi \cdot 4\cdot 10=80\pi {\text{cm}}^2$.
6. a) $50\%$ din $300$ elevi $=\frac{50}{100}\cdot 300=150$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $8$ vârfuri, $6$ fețe și $12$ muchii ($4$ muchii pe baza $ABCD$, $4$ pe baza $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii laterale).
2. b) Ridicând la pătrat relația $x+\frac{1}{x}=-2$: $x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=4$, adică $x^2+2+\frac{1}{x^2}=4$, deci $x^2+\frac{1}{x^2}=4-2=2$.
3. c) Notând cu $x$ numărul mai mic, media aritmetică este $\frac{x+(x+2)}{2}=9$, deci $2x+2=18$, $x=8$; cele două numere sunt $8$ și $10$, iar cel mai mare este $10$.
4. d) $f(x)=0\Rightarrow x+4=0\Rightarrow x=-4$, deci graficul intersectează axa $Ox$ în punctul $(-4,0)$.
5. a) $M(-4,0)$ și $N(0,4)$, deci $OM=4$ și $ON=4$; triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$ (unghiul dintre axele $Ox$ și $Oy$) și, cum $OM=ON$, este isoscel — deci $MON$ este dreptunghic isoscel.
6. b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2-x}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}$. Atunci $E(x)=\frac{2}{(x-2)(x+2)}:\frac{2}{(x-2)(x+2)}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este $P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(150+100)$ (3 p) $=2\cdot 250=500$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $DM$ este mediană în triunghiul $ADB$ (căci $M$ este mijlocul lui $AB$) și, cum $N\in (DM)$ astfel încât $DN=2\cdot MN$, obținem că punctul $N$ este centrul de greutate al triunghiului $ADB$ (2 p). $AO$ este mediană în triunghiul $ADB$, unde $\{O\}=AC\cap BD$ (căci $O$ este mijlocul lui $BD$ într-un dreptunghi), deci $N\in AO$, adică punctele $A$, $N$ și $C$ sunt coliniare (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din asemănarea triunghiurilor $AMN$ și $CDN$ (cu $AM\parallel DC$, $AM=\frac{AB}{2}=75$ m, $DC=AB=150$ m), rezultă $\frac{d(N,AM)}{d(N,DC)}=\frac{AM}{DC}=\frac{1}{2}$; cum $d(N,AM)+d(N,DC)=AD=100$ m, obținem $d(N,AM)=\frac{AD}{3}=\frac{100}{3}$ m (3 p). Aria triunghiului $AMN$ este ${\mathcal{A}}_{AMN}=\frac{AM\cdot d(N,AM)}{2}=\frac{75\cdot \frac{100}{3}}{2}=\frac{2500}{2}=1250{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $M$ (mediana $AM$ din triunghiul echilateral $ABC$ este și înălțime), cu $AB=4\sqrt{2}$ cm și $BM=\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}$ cm, deci $A{M}^2=A{B}^2-B{M}^2=(4\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{2}{)}^2=32-8=24$ (3 p). Rezultă $AM=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria bazei $BCD$ (triunghi echilateral cu latura $4\sqrt{2}$ cm) este ${\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, iar înălțimea tetraedrului este $h=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm (2 p). Volumul este $V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{BCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{192}{3}=\frac{64}{3}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Segmentul $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $ABD$, unde $P$ este mijlocul segmentului $BD$, deci $NP\parallel AB$, de unde $m(\sphericalangle (AB,MN))=m(\sphericalangle (NP,MN))$ (2 p). Cum $AM=DM=2\sqrt{6}$ cm (mediane în fețele echilaterale ale tetraedrului) și $N$ este mijlocul lui $AD$, rezultă $MN=4$ cm; de asemenea, $MP=2\sqrt{2}$ cm și $NP=2\sqrt{2}$ cm (linii mijlocii), iar $M{N}^2=M{P}^2+N{P}^2$ ($16=8+8$), adică triunghiul $MNP$ este dreptunghic (în $P$) și isoscel, deci $m(\sphericalangle (NP,MN))=m(\sphericalangle MNP)=45°$ (3 p).

Al doilea examen oficial de rezervă la Evaluarea Națională, Varianta 09, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2015-2016, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 (partea a) de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este al doilea examen oficial de rezervă la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 09, destinat absolvenților clasei a VIII-a care au susținut proba de rezervă în anul școlar 2015-2016, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document distinct de examenul principal și de prima sesiune de rezervă din același an — o a doua variantă de rezervă, cu alt enunț și alt barem. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2016, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2016, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție/reprezentare grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$", iar Exercițiul 4 (partea a) cerea „reprezentați grafic funcția $f$"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, respectiv funcția $f(x)=x+4$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calculul cu numere întregi (ordinea operațiilor), o proporție (preț unitar), un interval de numere reale, perimetrul pătratului, aria laterală a cilindrului circular drept, citirea unei diagrame de procente; paralelipipedul dreptunghic (numărul muchiilor), calcul algebric cu $x+\frac{1}{x}$, media aritmetică a două numere naturale, funcția liniară $f(x)=x+4$ (intersecții cu axele, aria triunghiului determinat de grafic și axe), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (un teren dreptunghiular — perimetru, coliniaritate, aria unui triunghi) și geometrie în spațiu (un tetraedru regulat — mediană, volum și unghiul dintre două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.