Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2016

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10\cdot 5-10$ este egal cu: a) $-50$ b) $40$ c) $50$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase cărți de același fel costă în total $24$ de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total … lei. Această sumă este egală cu: a) $12$ b) $8$ c) $18$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural care aparține intervalului $\left[1,4\right]$ este egal cu: a) $0$ b) $4$ c) $2$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=5$ cm și $BC=3$ cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu: a) $16{\text{cm}}^2$ b) $8{\text{cm}}^2$ c) $15{\text{cm}}^2$ d) $30{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului determinat de dreptele $AD$ și $A{A}^{\prime }$ este egală cu:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $180°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos este prezentată repartiția după vârstă a elevilor unui club sportiv.

Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de $7$ ani este egal cu: a) $80$ b) $100$ c) $140$ d) $120$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cubul $ABCDEFGH$, ca în figura alăturată, este un corp geometric cu $6$ fețe pătrate congruente.

Numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{b}=4$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale nenule, valoarea expresiei $\frac{3a-2b}{b}$ este egală cu: a) $12$ b) $4$ c) $10$ d) $-2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui obiect este de $360$ lei. După o reducere cu $p\%$ din prețul obiectului, noul preț va fi de $324$ lei. Numărul $p$ este egal cu: a) $10$ b) $36$ c) $4$ d) $90$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(0,4)$ b) $(4,0)$ c) $(-4,0)$ d) $(0,-4)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$, al cărei grafic intersectează axele de coordonate în punctele $M$ (pe $Ox$) și $N$ (pe $Oy$). Triunghiul $MON$, determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$, este: a) isoscel b) echilateral c) oarecare (scalen) d) dreptunghic, dar nu isoscel

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x-3)(x+2)}\right):\frac{5}{x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x$ b) $1$ c) $2$ d) $-2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren. $ABCD$ și $BEFC$ sunt paralelograme cu $AD=60$ m, $AB=BE=80$ m și punctele $A$, $B$ și $E$ coliniare. Se consideră punctele $M$ și $N$ pe laturile $BE$, respectiv $CD$, astfel încât $MN\perp BC$ și $BM=CN=60$ m.

Arătați că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $280$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou schița terenului din figura alăturată. $ABCD$ și $BEFC$ sunt paralelograme cu $AD=60$ m, $AB=BE=80$ m și punctele $A$, $B$ și $E$ coliniare. Se consideră punctele $M$ și $N$ pe laturile $BE$, respectiv $CD$, astfel încât $MN\perp BC$ și $BM=CN=60$ m.

Demonstrați că unghiul $DAB$ are măsura de $60°$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou schița terenului din figura alăturată. $ABCD$ și $BEFC$ sunt paralelograme cu $AD=60$ m, $AB=BE=80$ m și punctele $A$, $B$ și $E$ coliniare. Se consideră punctele $M$ și $N$ pe laturile $BE$, respectiv $CD$, astfel încât $MN\perp BC$ și $BM=CN=60$ m.

Demonstrați că aria suprafeței $CMEF$ este mai mică decât $2600{\text{m}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$, cu baza triunghiul $ABC$ și $AB=12$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6\sqrt{3}$ m, iar $VO$ este înălțimea piramidei.

Arătați că aria laterală a piramidei $VABC$ este egală cu $108\sqrt{3}{\text{m}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ din figura alăturată, cu baza triunghiul $ABC$ și $AB=12$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6\sqrt{3}$ m, iar $VO$ este înălțimea piramidei.

Arătați că volumul piramidei $VABC$ este egal cu $144\sqrt{2}{\text{m}}^3$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ din figura alăturată, cu baza triunghiul $ABC$ și $AB=12$ m. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6\sqrt{3}$ m, iar $VO$ este înălțimea piramidei.

Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii $VO$ la dreapta $VA$ este mai mică decât $3$ m.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10\cdot 5-10=50-10=40$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) Preț per carte $=24:6=4$ lei; trei cărți costă $3\cdot 4=12$ lei.
3. d) Intervalul $\left[1,4\right]$ conține toate numerele reale mai mari sau egale cu $1$ și mai mici sau egale cu $4$; cel mai mic număr natural din interval este $1$.
4. c) Aria dreptunghiului $=AB\cdot BC=5\cdot 3=15{\text{cm}}^2$.
5. a) $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $ABCD$, deci $A{A}^{\prime }\perp AD$; măsura unghiului este $90°$.
6. d) Din diagramă: la vârsta de $7$ ani corespund $120$ de elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Cubul $ABCDEFGH$ are $12$ muchii ($4$ pe baza inferioară, $4$ pe baza superioară și $4$ muchii laterale).
2. c) $\frac{3a-2b}{b}=\frac{3a}{b}-2=3\cdot \frac{a}{b}-2=3\cdot 4-2=12-2=10$.
3. a) $360-p\%\cdot 360=324\Rightarrow \frac{p}{100}\cdot 360=36\Rightarrow p=\frac{3600}{360}=10$.
4. b) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x-4=0\Rightarrow x=4$, deci punctul este $(4,0)$.
5. a) $M(4,0)$, deci $OM=4$; $N=f(0)=-4$, deci $ON=4$. Cum $OM=ON=4$, triunghiul $MON$ este isoscel.
6. c) $\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x+2{)}^2-(x-3{)}^2-25}{(x-3)(x+2)}=\frac{10x-30}{(x-3)(x+2)}=\frac{10}{x+2}$. Atunci $E(x)=\frac{10}{x+2}\cdot \frac{x+2}{5}=2$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(80+60)$ (2 p) $=2\cdot 140=280$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $BM=CN$ și $BM\parallel CN$ (ambele fac parte din laturile paralele $BE\parallel CD$), deci $BMCN$ este paralelogram; cum diagonalele sale $MN\perp BC$ sunt perpendiculare, $BMCN$ este romb (2 p). Rezultă $BM=MC=CN=NB=60$ m; cum $BC=AD=60$ m (laturi opuse în paralelogramul $ABCD$), triunghiul $BMC$ are toate laturile egale cu $60$ m, deci este echilateral, adică $m(\sphericalangle CBM)=60°$ (2 p). Cum $AD\parallel BC$ și $AB$ este secantă, $\sphericalangle DAB\equiv \sphericalangle CBM$, deci $m(\sphericalangle DAB)=60°$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $ME=BE-BM=80-60=20$ m, iar $CF=BE=80$ m (laturi opuse în paralelogramul $BEFC$) (1 p). Cum $BM\parallel CF$, rezultă $d(M,CF)=d(C,BM)$, iar în triunghiul echilateral $BMC$ cu latura $60$ m această distanță este înălțimea $\frac{60\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$ m (2 p). $CMEF$ este trapez, deci ${\mathcal{A}}_{CMEF}=\frac{(ME+CF)\cdot d(M,CF)}{2}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3}}{2}=1500\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (1 p). Cum $1500\sqrt{3}<2600\iff 15\sqrt{3}<26\iff \sqrt{675}<\sqrt{676}$ (adevărat), obținem ${\mathcal{A}}_{CMEF}<2600{\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria laterală a piramidei regulate $VABC$ este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=3\cdot \frac{VM\cdot BC}{2}=3\cdot \frac{6\sqrt{3}\cdot 12}{2}$ (2 p) $=3\cdot 36\sqrt{3}=108\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, iar $OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ m (unde $AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ m este mediana triunghiului echilateral $ABC$) (2 p). Rezultă $VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(6\sqrt{3}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{108-12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ m. Cum ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{m}}^2$, rezultă $V_{piramid\breve{a}}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}\cdot VO}{3}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}}{3}=144\sqrt{2}{\text{m}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $N$ este mijlocul segmentului $VO$, deci $VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}$ m, iar $AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ m. Din triunghiul dreptunghic $VOA$: $VA=\sqrt{A{O}^2+V{O}^2}=\sqrt{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2+{\left(4\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{48+96}=\sqrt{144}=12$ m (2 p). Fie $P\in VA$ cu $NP\perp VA$; cum $△VPN\sim △VOA$, avem $\frac{VN}{VA}=\frac{NP}{AO}$, deci $NP=\frac{VN\cdot AO}{VA}=\frac{2\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{3}}{12}=\frac{8\sqrt{18}}{12}=2\sqrt{2}$ m (2 p). Cum $2\sqrt{2}<3\iff \sqrt{8}<\sqrt{9}\iff 8<9$ (adevărat), obținem $NP<3$ m (1 p).

Examen oficial — sesiunea specială a Evaluării Naționale, Varianta 04, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2015-2016, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru sesiunea specială a Evaluării Naționale, clasa a VIII-a — Varianta 04, susținută efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2015-2016, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2016, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2016, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDEFGH$" și Exercițiul 4 (partea a) cerea „reprezentați grafic funcția"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (cubul $ABCDEFGH$, respectiv funcția $f(x)=x-4$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție (prețul cărților), un interval de numere naturale, aria dreptunghiului, unghiul dintre două muchii ale unui paralelipiped dreptunghic, citirea unei diagrame cu bare; cubul (numărul muchiilor), o expresie algebrică, o problemă cu reducere procentuală, funcția liniară $f(x)=x-4$, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (paralelograme — perimetru, unghi de $60°$, aria unui trapez) și geometrie în spațiu (piramidă triunghiulară regulată — arie laterală, volum, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.